第16章 二次根式（章末提升测试卷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

第16章 二次根式（章末提升测试卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在式子：中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 6．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 7．高空物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（为重力加速度，）．若一物体从的高空下落，则落到地面的时间大约为（    ） A． B． C． D． 8．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则化简可得（    ） A． B． C． D．1 9．如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 11．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．比较大小： （填“>”或“<”“=”）． 13．如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 14．观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    三、解答题（共9小题，满分54分） 15．计算: (1)； (2). 16．已知，求的值． 17．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 18．已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 19．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 20．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 21．像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 22．阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ (3)由线段、、、首尾相连围成一个图形，连接、，与相交于点，和的面积分别是6和12，设的面积为，的面积为，求面积的最小值． 23．【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如： 的有理化因式是，的有理化因式是． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如，． 【知识理解】 （1）填空： 的有理化因式是 ； （2）计算：；； 【启发运用】 （3）计算：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式（章末提升测试卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在式子：中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各式分析判断即可得解． 【详解】解：，是二次根式， 无意义， 是二次根式， 是三次根式， 是二次根式， 无意义， 综上所述，是二次根式的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，故选项符合题意； B. ，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C. ，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则和二次根式的乘除法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 6．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 7．高空物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（为重力加速度，）．若一物体从的高空下落，则落到地面的时间大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，当时即可求出的值，解题的关键是掌握二次根式的化简． 【详解】解：当时，， ∴， ∵ ∴， 故选：． 8．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则化简可得（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数和图象和性质，二次根式的化简，熟记一次函数的图象和性质是解题的关键．首先根据一次函数的位置确定，然后化简二次根式． 【详解】解：∵若一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴ ， 故选D． 9．如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长．先求出两个小正方形的边长，然后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可． 【详解】解：∵积为12的小正方形的边长为：， 面积为18小正方形的边长为：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴余下部分的面积为． 故选A． 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 11．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答素为：． 12．比较大小： （填“>”或“<”“=”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，先比较两个二次根式的平方，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13．如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得，， ， ， ， ． 14．观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    【答案】 【分析】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意，如图：    ∴有序数对的数是； 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上， ∵，， ∴是第9列的第8个数； ∴数位置为有序数对是． 故答案为：；． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题． 三、解答题（共9小题，满分54分） 15．计算: (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和和多项式除以单项式法则． （1）根据完全平方公式和多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法则和绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∵ ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键． 17．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案． 【详解】解∶由题图可知，， ，，，， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，利用二次根式的性质化简，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握实数与数轴的相关知识并运用数形结合思想是解题的关键． 18．已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 【答案】（1）-4，；（2） 【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：-4，； （2）根据（1）的结论，得： ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解． 19．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 20．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)，方法见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案； （2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案； （3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案； 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解：由题意可得， ， ； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法． 21．像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 22．阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ (3)由线段、、、首尾相连围成一个图形，连接、，与相交于点，和的面积分别是6和12，设的面积为，的面积为，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米 (3)面积的最小值为 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，则，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， ∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴的最小值为． 23．【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如： 的有理化因式是，的有理化因式是． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如，． 【知识理解】 （1）填空： 的有理化因式是 ； （2）计算：；； 【启发运用】 （3）计算：． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）由即可求解； （）分式中分子、分母同时乘以即可得出结论； 分式中分子、分母同时乘以即可得出结论； （）利用分母有理化化为即可； 本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，分母有理化，数字类的规律探索，熟练掌握分母有理数的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴的有理化因式是， 故答案为：； （） ； ； （）原式 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$