第16章 二次根式（6大重难点题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

第16章 二次根式（6大重难点题型） 题型一 二次根式有意义的条件 1．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 2．（20-21八年级下·安徽芜湖·期末）若，则 ． 3．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ． 4．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）已知x，y是实数，且满足，则的值为 ． 5．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）在函数中，自变量的取值范围是 ． 6．（21-22八年级下·安徽黄山·期末）先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：．求的值． 8．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 题型二 二次根式的混合运算 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 11．（23-24八年级下·安徽六安·期末）计算：． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： 15．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算：． 16．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）计算： (1) (2) 18．（23-24八年级下·安徽宣城·期中） （1）； （2）． 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）计算： (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算． 例：． 请仿照例子计算：． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整数部分得到该无理数的小数部分.例如的整数部分是1，则是的小数部分. (1)的小数部分是______； (2)已知无理数的整数部分是，小数部分是，求的值. 22．（2024八年级下·安徽·专题练习）在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如： (1)请你按照上述方法将化成一个式子的平方； (2)将下列等式补充完整 ，并证明这个等式； (3)若且、、均为正整数，则 ． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 题型三 分母有理化 24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 25．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”． (1)若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值． (2)若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值． 27．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考： 材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)化简； (2)计算：的值． 28．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 29．（2024八年级下·安徽·专题练习）若、互为倒数，且，则 (1)你能直接写出下列各数的倒数吗？ ①；②；③； (2)先化简，再求值：已知，，求的值． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）； (2)应用：利用这一规律计算：； (3)拓展：． 31．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 32．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，解决问题． 材料：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面计算过程： ； ； . 解答下列问题． (1)仿照上面的解题过程化简： (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的规律，请化简 ． (4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由． 34．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 35．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 36．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简； (3)化简：． 37．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． (1)利用有理化因式化简，其结果为______． (2)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 38．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们已经知道，根据平方差公式可得，因为无理数与无理数的乘积为有理数，所以我们称无理数与无理数互为有理化因式．例如：，所以无理数与无理数互为有理化因式． (1)无理数的有理化因式是______． (2)计算． 39．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 题型四 二次根式的化简求值 41．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 42．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 43．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 44．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 45．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据，得， ，即． 把作为整体代入，得． 请你用上述方法，解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 46．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：． 且，， ． 请同学们解决下列问题； (1)填空：______，______； (2)化简：； (3)计算：． 47．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）学习二次根式后，小晨在自己日常运算过程中，多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况，为使计算结果最简，小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律：化简 如果你能找到两个数，，使 且 则 从而化简 例如： (1)根据以上规律完成以下化简． ， (2)若 且，，均为正整数，则 ． 48．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）阅读下列材料回答问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，则，，那么便有（）．如：，，，，． (1)填空： ； ； (2)化简： ①； ②； (3)计算：． 49．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值． 50．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点 表示的数是，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值： 其中是的算术平方根． 51．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 题型五 二次根式的应用 52．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米. (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为元/平方米，求这个广场铺地砖的费用. 53．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 54．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 55．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 题型六 二次根式的规律探究 56．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式再解答问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面个等式的规律，猜想第④个式子，并验证； (2)按照上面各个等式反映的规律，试写出用含（为正整数）的式子表示的等式． 57．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照以上规律，写出第4个等式：______________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 58．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________________________； (2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）； (3)计算：． 59．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 60．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 61．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 62．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 63．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式（6大重难点题型） 题型一 二次根式有意义的条件 1．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且， 故选C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（20-21八年级下·安徽芜湖·期末）若，则 ． 【答案】2021 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，然后化简绝对值可以得到，即可得到. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2021. 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性，得出，，推出，同理，得出，即，，推出，得出，代入已知等式可变为，移项、开平方得出，利用代入法求式子的值． 【详解】解：∵等式在实数范围内成立， ∴，， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， 把代入已知条件，则， ∴， ∴原式． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，根据二次根式的非负性求出a的值和代入法求分式的值是解本题的关键． 4．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）已知x，y是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】20 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 将代入可得， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． 5．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得且， 且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟记分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 6．（21-22八年级下·安徽黄山·期末）先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：    ， ∵，x−3≥0，6−2x≥0， ∴x=3，y=1 ， ∴原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数为非负数才有意义． 7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：．求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出，继而得出，，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知： ，即． 且． ，即： 得：， ． 8．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 题型二 二次根式的混合运算 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，再计算二次根式的乘法与加减法即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】0 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简为最简二次根式再合并同类二次根式． 【详解】解： 11．（23-24八年级下·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解： ． 13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法分配律展开，再计算乘除法，然后根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的化简、乘除法与减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先计算二次根式的除法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法与减法即可得． 【详解】解：原式 ． 15．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘除法，化简二次根式，再计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 16．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式． 17．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算是解题关键； （1）根据二次根式的加减混合运算法则求解即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式计算求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 18．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】题目主要考查二次根式的加减运算及乘法运算，利用平方差公式及完全平方公式计算是解题关键 （1）先将二次根式化简，去括号，然后计算加减法即可； （2）利用完全平方公式及平方差公式、积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）先利用二次根式的性质化简各式，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法、除法，同时化简绝对值，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算． 例：． 请仿照例子计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．先将和分别提取公因式和，，再根据平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算，即得答案． 【详解】原式 ． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整数部分得到该无理数的小数部分.例如的整数部分是1，则是的小数部分. (1)的小数部分是______； (2)已知无理数的整数部分是，小数部分是，求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分，根式的混合运算： （1）根据夹逼法求出根数的范围即可得到答案； （2）根据夹逼法求出根数的范围得到整数部分及小数部分，再代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分是：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 则的整数部分是7，即， ∴的小数部分是， ∴． 22．（2024八年级下·安徽·专题练习）在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如： (1)请你按照上述方法将化成一个式子的平方； (2)将下列等式补充完整 ，并证明这个等式； (3)若且、、均为正整数，则 ． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)或． 【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】（）利用题中的方法，把分成与的和，把分成与的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可； （）把和写成与，然后利用完全平方公式写成平方式即可； （）利用完全平方公式把等式右边展开，则，，然后利用有理数的整除性确定和的值，再计算对应的的值； 本题考查了二次根式的运算和因式分解，灵活运用二次根式的性质和因式分解是解题的关键． 【详解】（1） ； （2）； 证明如下： ； 故答案为； （3）∵， ∴， ∴，， ∵、、均为正整数， ∴与的值为和或和， ∴的值为或， 故答案为或． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式运算及实数大小比较，先平方得，求出，比较大小得，即可求解；能熟练进行无理数运算及大小比较是解题的关键． 【详解】解：设， 两边平方得 ， 所以， 又因为， 所以． 题型三 分母有理化 24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)＝14 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、分式化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式将分母有理化，然后代入字母的值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． （2）根据分式的混合运算法则，并结合完全平方公式化简式子，然后代入（1）中式子的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：． 25．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)194 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是采用分母有理化对x、y进行化简， （1）运用平方差公式对对x、y进行化简，求出，再对所求式子进行变形即可求解， （2）对所求式子进行变形，代入数值即可； 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：由（1）可知：， ， 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”． (1)若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值． (2)若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法．熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴m的值为． （2）解：由题意知，， ， ， 解得，， ∴a的值为3． 27．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考： 材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)化简； (2)计算：的值． 【答案】(1)2 (2)9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案； （2）依次把每一项分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解： （2） 28．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化； （1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）①； ②； （2）原式； （3）∵ ∴原式． 29．（2024八年级下·安徽·专题练习）若、互为倒数，且，则 (1)你能直接写出下列各数的倒数吗？ ①；②；③； (2)先化简，再求值：已知，，求的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)10 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了无理数倒数的特点和分式的运算，此类题型的特点是，利用平方差找到无理数的有理化因式；化简求值的题目要把所求的代数式化简后利用分母有理化的方法，把最后结果有理化． （1）直接根据题意可写出各数的倒数； （2）化简后要注意最后结果要分母有理化． 【详解】（1）解： ①， ∴的倒数是； ②， ∴的倒数是； ③， ∴的倒数是； （2）， ， 原式． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）； (2)应用：利用这一规律计算：； (3)拓展：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；数字的变化类，分母有理化， （1）从数字找规律，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， （3）解： ， …… ∴ 31．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【答案】(1)①；② (2)44 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出，结合规律代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， …， ， ∴ ． 32．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，解决问题． 材料：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 【答案】(1)与互为有理化因式，理由见解析； (2)； (3)． 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】（）求出两个式子的积即可判断； （）利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，分母有理化即可； （）利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，先分母有理化，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： ，因为乘积的结果中不含根号，所以它们互为有理化因式． （2）解：； （3）解：原式， ， ， ． 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面计算过程： ； ； . 解答下列问题． (1)仿照上面的解题过程化简： (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的规律，请化简 ． (4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据例题进行计算即可求解． （2）根据题中的算式，直接得出规律即可； （3）利用（2）中规律展开，然后去括号合并即可． （4）根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：由题目计算过程可得：， 故答案为：； （3）解：原式 ． （4）解：∵理由如下， 根据（2）中的规律可得：，， ∵， ∴， ∴． 34．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索： （1）观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即； （2）根据（1）的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推可知； （2）证明：∵（是正整数且）， ∴ ； ， ∴． 35．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）∵， ∴， ∴．即． ∴， ∴． 36．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】此题考查了估算无理数的大小，平方差公式，二次根式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握各自的性质是解本题的关键. （1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可； （2）估算的整数部分，进而表示出小数部分确定出，代入原式计算即可求出值； （3）原式各项分母有理化，计算即可求出值. 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴，即， ∵是的小数部分， ∴， ∴， （3） ] 37．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． (1)利用有理化因式化简，其结果为______． (2)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查阅读理解，涉及平方差公式、分母有理化、二次根式混合运算等知识，读懂材料中的分母有理化方法，由平方差公式将分母根号去掉即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据题中阅读材料的方法，分子分母同时乘以，运用二次根式混合运算法则求解即可得到答案； （2）根据题中阅读材料的方法，利用分母有理化将分母中的根式去掉，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ． 38．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们已经知道，根据平方差公式可得，因为无理数与无理数的乘积为有理数，所以我们称无理数与无理数互为有理化因式．例如：，所以无理数与无理数互为有理化因式． (1)无理数的有理化因式是______． (2)计算． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的乘法计算： （1）根据题意计算求解即可； （2）分别对两个式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴无理数的有理化因式是， 故答案为：； （2）解：原式 ． 39．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 【答案】(1)5 (2)2； (3) 【知识点】分母有理化、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）根据，得到，即可求解； （2）根据，得到，进而确定m、n的值，即可求解； （3）根据代入m和n的值整理得到，然后根据，为有理数解出、，即可求解． 【详解】（1）∵， ， 的整数部分是； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的整数部分和小数部分 ∴，； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数 ∴， ∴， ∴． 题型四 二次根式的化简求值 41．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值是解题的关键． 先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除、加减运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 42．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，先由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件求出的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得：或， ，即， ， ， ． 43．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】（）求出、的值，再代入代数式计算即可求解； （）求出、的值，再利用完全平方公式的变形运算求出的值，把、的值代入代数式通分后的结果中计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ，， ； （2）解：，， ，， ， ． 44．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再利用完全平方公式把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据，得， ，即． 把作为整体代入，得． 请你用上述方法，解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 46．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：． 且，， ． 请同学们解决下列问题； (1)填空：______，______； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：，； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ． 47．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）学习二次根式后，小晨在自己日常运算过程中，多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况，为使计算结果最简，小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律：化简 如果你能找到两个数，，使 且 则 从而化简 例如： (1)根据以上规律完成以下化简． ， (2)若 且，，均为正整数，则 ． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】利用二次根式的性质化简、完全平方公式分解因式 【分析】 本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算； （1）用题干的方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可； （2）计算的平方，与进行对比即可求出a值． 【详解】（1）解： （2）解： 且、、均为正整数， ， ，， 当，或，时，； 当，或，时，； 故答案为：或． 48．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）阅读下列材料回答问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，则，，那么便有（）．如：，，，，． (1)填空： ； ； (2)化简： ①； ②； (3)计算：． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题． （1）根据题目所给的化简方法进行解答即可； （2）根据题目所给的化简方法进行解答即可； （3）根据分数的性质得出，再根据题目所给的化简方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∴； ∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 49．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值： （1）根据无理数的估算方法得到，据此可得答案； （2）根据无理数的估算方法得到，进而得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴无理数的整数部分是7， ∴无理数的小数部分是， ∴， ∴ ． 50．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点 表示的数是，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值： 其中是的算术平方根． 【答案】(1)小明 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题考查了二次根式的性质化简； （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴ ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明． （2）解： ∵是的算术平方根，则， ∴， ∴ ∴原式 51．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，，……，， ． 题型五 二次根式的应用 52．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米. (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为元/平方米，求这个广场铺地砖的费用. 【答案】(1)米； (2)元； 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．： （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 广场的周长为：， ∴广场的周长为米；. （2）解：铺地砖的面积为：（平方米）， ∴这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 53．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【知识点】二次根式的应用、完全平方公式在几何图形中的应用、整式加减的应用 【分析】本题考查了二次根式的运用、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差即可求解． 【详解】（1）解长方体体积相同，高相同， 甲、乙底面积相同． ． ， ． ． 甲盒子的侧面积； （2）解：①由②可知， 故答案为：； ②由题意，， ， 均为非负数，， ， 即， ． ， ， ． 54．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)是的倍 (2)下落的高度是11.25m 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、二次根式的应用、算术平方根的实际应用 【分析】（1）将代入进行计算即可，将代入，计算与的比值即可得出结论； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，（s， 当时，（s， ， 是的倍． （2）解：当时，， 解得， 下落的高度是11.25m． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的运算，算术平方根的应用，解题关键是掌握二次根式的性质和运算． 55．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【答案】(1) (2) 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键； （1）先求解，再代入公式计算即可； （2）先求解，，，再代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 题型六 二次根式的规律探究 56．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式再解答问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面个等式的规律，猜想第④个式子，并验证； (2)按照上面各个等式反映的规律，试写出用含（为正整数）的式子表示的等式． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，观察式子找出规律是解题的关键． （1）根据题中等式的规律计算即可，并验证； （2）找出第个等式的左边为，右边为，列出等式即可． 【详解】（1）解：， 验证：左边右边． （2）解：由题可知第个等式为：． 57．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照以上规律，写出第4个等式：______________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． （1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案； （2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 由以上式子可得：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． 故第4个等式为：； 故答案为：． （2）解：由（1）的规律可得第个等式为：， 证明：等式左边， 为正整数， 等式左边， 又右边， 等式左边=等式右边， ． 58．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________________________； (2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查二次根式的运算和规律探索． （1）仿照前面的等式即可解答； （2）仿照前面的等式即可解答； （3）利用（2）中的规律变形，再裂项计算即可． 【详解】（1）观察规律，可得：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 59．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键． （1）利用题中等式的规律即可得到； （2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式； （3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；… ∴第⑥个式子为． （2）根据题干规律可得：第n个式子为． （3）根据（2）中规律可得： 原式 ． 60．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 61．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 62．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； (2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； (3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 63．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 16 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$