专题05 勾股定理易错必刷题型专训（84题28个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 勾股定理易错必刷题型专训（84题28个考点） 【易错必刷一 勾股定理的证明方法】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了学生对定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有 个． 【答案】4 【分析】根据图形的特点，以及两个正方形的面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：因为大正方形的面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴由勾股定理得：，故①正确； ∵四个直角三角形全等，由图形可知：，故②正确； 由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积可得： ，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 综上，①②③④都正确， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，正确的解读图形，获取有效信息，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 【易错必刷二 以弦图为背景的计算题】 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且， 由题意可知：，，， ∵， 即， 则， ∴， 解得． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 【易错必刷三 勾股定理与无理数】 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∴ ∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 8．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图， 中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理求出，从而得出，再由点在数轴上表示的数为得出，最后根据，即可得到答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， 以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于， ， 点在数轴上表示的数为， ， ， 点表示的数为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)， (2)①作图见解析，；②作图见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数， 对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案； 对于（2）①，将图3分成4个直角三角形和1个小正方形，再图4中拼成正方形，进而得出正方形的边长； ②以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作. 【详解】（1）解：对角线的长为， 所以点A，点B表示的数是； 故答案为：； （2）解：①如图所示， 正方形的面积为5，所以边长； 故答案为：； ②如图所示，点M即为所求作． 【易错必刷四 勾股数问题】 10．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 12．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且） 表1 a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 表2 a b c 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 (1)根据表1中的规律，当时，______，______． (2)仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______，，b，c之间的数量关系是______． (3)我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在中，当，时，求直角边b的值． 【答案】(1)60；61 (2)； (3) 【分析】本题考查了勾股数的应用，能根据表中的数据得出规律是解此题的关键． （1）根据表中的数据得出规律求解即可； （2）根据表中的数得出规律即可； （3）根据得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，a、b、c之间的数量关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是，a、b、c之间的数量关系是； （3）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ∵， ∴． 故选：C． 14．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ∴， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积为：5． 故答案为：5． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解． （1）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得； （2）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 由题意得，，， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 在中，， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴． 【易错必刷六 勾股定理与网格问题】 16．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使为等腰三角形，此时腰长为 ． 【答案】或或5 【分析】分为底边和腰两种情况解答即可． 本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：连接，且，如图，当为腰时，此时； 如图，当为底边时，此时； 如图，当为底边时，此时； 综上所述，符合题意的等腰三角形顶点C，使得等腰三角形的腰长为或或5． 故答案为：或或5． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点D所表示的数为，点E所表示的数为 【分析】（1）可看作是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，再结合正方形的性质画图即可． （2）由题意可得，由数轴的定义可知点E所表示的数为． （3）由题意画出数轴，在数轴上取点A，使点A表示的数为2，作直角三角形，使，则，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交数轴于点D，E，则点D所表示的数为，点E所表示的数为． 本题考查了无理数与勾股定理，数轴与实数，勾股定理与网格，在数轴上表示实数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 【易错必刷七 勾股定理与折叠问题】 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 20．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 21．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 【易错必刷八 利用勾股定理求两条线段的平方和】 22．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 24．（23-24七年级下·全国·假期作业）在中，．若，则 ． 【答案】18 【易错必刷九 利用勾股定理证明线段平方关系】 25．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 27．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值. 【详解】∵在中，∠ABC=90°, ∴, ∴, ∵, =4, =6, ∴=6-4=2. 故答案为2. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，观察图形明确直角三角形的边长的平方是正方形的面积是解题的关键. 【易错必刷十 用勾股定理构造图形解决问题】 28．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 30．（23-24七年级上·山东威海·期中）有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度，将秋千往前水平推送（水平距离）时，踏板离地面的垂直高度为（）．求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得． 设，则． 在中，可得． 解得． ∴绳索的长度是． 【易错必刷十一 已知两点坐标求两点距离】 31．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 32．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点，连接，点D是x轴上一点，若是以为底边的等腰三角形，则D点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，等腰三角形定义，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键．设，根据两点间距离公式，结合等腰三角形定义，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：设， ∵点、点， ∴， ， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴D点的坐标为． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任意两点间的距离． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，可以利用垂直于轴的距离公式进行计算即可． 【详解】（1）解：点，， ， 即，两点间的距离是； （2）解：点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， ， 即，两点间的距离是9． 【易错必刷十二 用勾股定理解三角形】 34．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，点是的中点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，根据长方形的性质可得，，再结合E是的中点，即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，从而得到结果． 【详解】∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 故选：C． 35．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质．构造辅助线证是等腰三角形是解题的关键．过点D作于F，过点D作于G，得到， ，，，证，再求出，即可求得． 【详解】解：如图，过点D作于F，过点D作于G， ，，，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）先根据角平分线的判定得出是的角平分线，然后根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：因为，，且， 所以是的角平分线， 因为在中，， 所以是的中点． （2）解：因为是的中点，， 所以， 因为，， 所以， ， 所以， 答：的面积为． 【易错必刷十三 判断三边能否构成直角三角形】 37．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股逆定理等知识，如果最大的边长的平方等于较小的两边长的平方和，那么这个三角形就是直角三角形，据此性质逐项依次判断即可解题． 【详解】解：A．，不是直角三角形，不符合题意； B．，是直角三角形，不符合题意； C．，不是直角三角形，不符合题意； D．，不是直角三角形，不符合题意， 故选：B． 38．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 【详解】解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 39．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】是直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可． 【详解】解：是直角三角形．证明如下：    ∵ ∴是直角三角形． 【易错必刷十四 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 40．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 41．（24-25八年级·上海静安·课后作业）已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状． 【答案】ABC是等腰直角三角形，见解析 【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题． 【详解】利用两点的距离公式，可得 AB= ， AC= ， BC= ， 所以AC=BC，AB2=AC2+BC2 所以△ABC是直角三角形， 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 42．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形 【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB， ∴BD2＋CD2＝BC2 ∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144． ∴CD＝12． （2）在△ACD中，∵CD⊥AB， ∴CD2＋AD2＝AC2 ∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256． ∴AD＝16． ∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25． （3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625， ∴AB2＝BC2＋AC2 ∴△ABC是直角三角形． 【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】 43．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．在 中，先利用三角形内角和得出，再利用勾股定理得出，进而勾股定理的逆定理得出，即可得出的度数． 【详解】解： ， ， 在 中， ， ， ． 44．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【答案】(1)是；见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； （2）解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 45．（2024八年级上·辽宁·专题练习）如图，在中，于． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，利用公式即可解出． （1）利用勾股定理求出和则可； （2）运用勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形． 【详解】（1）解：∵且，， ∴为直角三角形， ∴在中，， 在中， ； （2）解：为直角三角形． 理由：∵， ， ∴， ∴， ∴根据勾股定理的逆定理，为直角三角形． 【易错必刷十六 勾股定理逆定理的实际应用】 46．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． (1)求的长度； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【答案】(1)25米 (2)46800元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出和的面积，得到四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， （米）， 的长度为25米． （2）解：由（1）得，米， 又米，米， ， ， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 运动型塑胶地板每平方米200元， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）． 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 47．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键． （1）由题意得，根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的一条路，理由如下： （千米）， （千米）， ， ， 是村庄到河边最近的一条路； （2）解：由（1）知，， ， , ， ， （千米）． 48．（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 答：蔬菜区边的长为； （2）解：∵，，， ∴，而， ∴， ∴， 花卉区的面积为：． 答：花卉区的面积为． 【易错必刷十七 求梯子滑落高度】 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【答案】小巷的宽度为2.7米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先在中，利用勾股定理求出梯子的长度，再在中，利用勾股定理求出的长，即可得到答案. 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴． ∴（米）． 在中， ∵，米，， ∴， ∴． ∵， ∴米． ∴米． 答：小巷的宽度为2.7米． 50．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，一架5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为3米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的顶端沿墙向上移动米，则底端向内移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端距离地面有高 (2)底端向内移动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，再根据勾股定理求出的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴，负值舍去， 答：这架梯子的顶端距离地面有高； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴，负值舍去， ∴， 答：底端向内移动了． 51．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】(1)米 (2)14米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； （2）解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 【易错必刷十八 求旗杆高度】 52．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面于点，在主梁上的点拉两条斜拉索，，经测量，，，，求主梁上的点到桥面的高度． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得：， ． ∴主梁上的点到桥面的高度． 53．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践 笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下： 课题 测量旗杆的高度相关问题探究 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，绳子 示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）． 提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？ 解决问题 如右图，过点作于点．根据题意得米，米．…… 请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程． 【答案】旗杆的高度的长为米，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于点．根据题意得米，米．设旗杆的高度的长为米，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点．根据题意得米，米．所以． 设旗杆的高度的长为米，则米，米． 在中，根据勾股定理，． 所以，． 解，得． 54．（24-25八年级上·山西临汾·期末）项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为8.5米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米． （2）解：米 由题意可得：米 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 【易错必刷十九 求小鸟飞行距离】 55．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 56．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？ 【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中． 【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24． 过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24， ∴在Rt△AEC中， AC2=CE2+AE2=102+242． ∴AC=26，26÷5=5.2（s）． 答：它至少需要5.2s才能赶回巢中． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度． 57．（23-24八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ． 【答案】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为秒后飞机的位置，如图所示，，， 则 ∴米， ∴米/秒 故答案为：． 【易错必刷二十 求大树折断前的高度】 58．（24-25八年级下·江西赣州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 59．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意知，，，即，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，即， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴ 树折断处与地面的距离（即的长）为． 60．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明： （1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求得到，即； （3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4； 图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25； 故答案为：4；25； （2）由（1）所求可得， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，由题意得，尺，尺，， ∴， ∴尺或尺（舍去）， ∴木杆折断之前有尺， 【易错必刷二十一 解决水杯中筷子问题】 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 在中：由勾股定理得， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 62．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 63．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】池塘水深12尺，芦苇高13尺 【分析】根据题意得，由图可知是直角三角形，，设池塘水深尺，则芦苇高尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设池塘水深尺，则芦苇高尺， 根据题意得，是直角三角形， ， ， 解方程，得， ∴芦苇高为：(尺)， 答：池塘水深12尺，芦苇高13尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键． 【易错必刷二十二 解决航海问题】 64．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的性质，平角的定义得到为直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： 为直角三角形 ， ． 答：两点间的距离是． 65．（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 66．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)2.5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要2.5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【易错必刷二十三 求河宽】 67．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 68．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 69．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 【易错必刷二十四 求台阶上地毯长度】 70．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得米， ∵米， ∴米， ∴则米， 故选：B． 71．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 72．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 【易错必刷二十五 判断汽车是否超速】 73．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】没有超速 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得， ∴小汽车的速度为． ， ∴这辆小汽车没有超速． 74．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键． 求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在中，； 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 75．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 【易错必刷二十六 判断是否受台风影响】 76．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【答案】(1)受噪音影响，见解析； (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键 （1）根据点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下： 点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响， ， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则， ， ， 由勾股定理得： ， ∵汽车速度为 ∴影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 77．（24-25八年级上·江西吉安·期末）2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，见解析 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离． 过点作，垂足为，由勾股定理得，由三角形面积公式得到，由，判断农场A会受到台风的影响 【详解】解：会受到台风的影响． 理由：如图，过点作，垂足为． 在中， ，，， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴农场会受到台风的影响． 78．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 【易错必刷二十七 选址使到两地距离相等】 79．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 80．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 81．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【易错必刷二十八 求最短路径问题】 82．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 【答案】内蚂蚁能爬到点 【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ， ． ， ， 内蚂蚁能爬到点． 83．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 84．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1） 解：如图所示， 线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2） 解：根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 勾股定理易错必刷题型专训（84题28个考点） 【易错必刷一 勾股定理的证明方法】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有 个． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【易错必刷二 以弦图为背景的计算题】 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 6．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【易错必刷三 勾股定理与无理数】 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图， 中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ． 9．（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【易错必刷四 勾股数问题】 10．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 12．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且） 表1 a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 表2 a b c 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 (1)根据表1中的规律，当时，______，______． (2)仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______，，b，c之间的数量关系是______． (3)我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在中，当，时，求直角边b的值． 【易错必刷五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 14．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【易错必刷六 勾股定理与网格问题】 16．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使为等腰三角形，此时腰长为 ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【易错必刷七 勾股定理与折叠问题】 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 20．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 21．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【易错必刷八 利用勾股定理求两条线段的平方和】 22．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    24．（23-24七年级下·全国·假期作业）在中，．若，则 ． 【易错必刷九 利用勾股定理证明线段平方关系】 25．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 27．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则 ． 【易错必刷十 用勾股定理构造图形解决问题】 28．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 30．（23-24七年级上·山东威海·期中）有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度，将秋千往前水平推送（水平距离）时，踏板离地面的垂直高度为（）．求绳索的长度． 【易错必刷十一 已知两点坐标求两点距离】 31．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点，连接，点D是x轴上一点，若是以为底边的等腰三角形，则D点的坐标为 ． 33．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【易错必刷十二 用勾股定理解三角形】 34．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，点是的中点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 36．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的面积． 【易错必刷十三 判断三边能否构成直角三角形】 37．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 39．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 【易错必刷十四 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 40．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 41．（24-25八年级·上海静安·课后作业）已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状． 42．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】 43．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 44．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 45．（2024八年级上·辽宁·专题练习）如图，在中，于． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【易错必刷十六 勾股定理逆定理的实际应用】 46．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． (1)求的长度； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 47．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 48．（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【易错必刷十七 求梯子滑落高度】 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 50．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，一架5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为3米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的顶端沿墙向上移动米，则底端向内移动多少米？ 51．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【易错必刷十八 求旗杆高度】 52．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面于点，在主梁上的点拉两条斜拉索，，经测量，，，，求主梁上的点到桥面的高度． 53．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践 笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下： 课题 测量旗杆的高度相关问题探究 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，绳子 示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）． 提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？ 解决问题 如右图，过点作于点．根据题意得米，米．…… 请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程． 54．（24-25八年级上·山西临汾·期末）项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【易错必刷十九 求小鸟飞行距离】 55．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 56．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？ 57．（23-24八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ． 【易错必刷二十 求大树折断前的高度】 58．（24-25八年级下·江西赣州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，，则的长为 ． 59．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）． 60．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【易错必刷二十一 解决水杯中筷子问题】 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 62．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 63．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【易错必刷二十二 解决航海问题】 64．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离． 65．（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 66．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【易错必刷二十三 求河宽】 67．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 68．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 69．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【易错必刷二十四 求台阶上地毯长度】 70．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 71．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 72．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 【易错必刷二十五 判断汽车是否超速】 73．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 74．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 75．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【易错必刷二十六 判断是否受台风影响】 76．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 77．（24-25八年级上·江西吉安·期末）2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 78．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【易错必刷二十七 选址使到两地距离相等】 79．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 80．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 81．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【易错必刷二十八 求最短路径问题】 82．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 83．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 84．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 学科网（北京）股份有限公司 $$