专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 勾股定理的证明方法压轴 题型二 用勾股定理解三角形压轴 题型三 网格中的勾股定理压轴 题型四 勾股定理与折叠问题 题型五 勾股定理的逆定理压轴 题型六 勾股定理的应用 题型七 勾股定理中的最短路径 题型八 勾股定理的最值问题 题型九 用勾股定理解决等腰三角形存在性问题 题型十 勾股定理综合 【经典例题一 勾股定理的证明方法压轴】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1） ； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 4．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 5．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【经典例题二 用勾股定理解三角形压轴】 6．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，连接，C是上一点，，连接交于D点，若，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 10．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 【经典例题三 网格中的勾股定理压轴】 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 12．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画图（画图过程用虚线，画图结果用实线） 图1                           图2 (1)的周长为_________； (2)如图1中画的边上的高； (3)如图1中画的角平分线； (4)作线段使且（不与重合），在图2中画出点F． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期末）【阅读学习】 如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，，，，可知，所以点就是的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（小正方形的顶点）上，，，三个点中，___________是的勾股点； (2)如图3，为等边三角形，过点作的垂线，点D在该垂线上，连接，以为边在其右侧作等边，连接，． ①求证：； ②判断点是否为的勾股点，并说明理由； ③若，，直接写出等边的边长：_____________． 【经典例题四 勾股定理与折叠问题】 16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 17．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在中，，，，点D是边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 19．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【经典例题五 勾股定理的逆定理压轴】 21．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 23．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 24．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 25．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）数形结合是数学中的一种重要思想方法，它将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，通过“以数解形”或“以形助数”的方式，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． （1）如图，在中，，过作，，，则 ． 画一画：以数解形 （2）如图，线段，过点作直线，用直尺和圆规在直线上找一点，使得，要求使用两种不同方法．（不写作法，保留作图痕迹） 探究应用： （3）如图，在中，，，用直尺和圆规在线段上找一点，使得到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题六 勾股定理的应用】 26．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 27．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 28．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【经典例题七 勾股定理中的最短路径】 31．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 35．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【经典例题八 勾股定理的最值问题】 36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               37．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）问题提出 (1)如图①，在中，，，．若点是边上一点，则的最小值为 ； 问题探究 (2)如图②，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值； 问题解决 (3)某市一湿地公园内有一条四边形型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时，的长．（路面宽度忽略不计） 38．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，线段把的面积平分？ (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)点在运动过程中，在边上是否存在一点使得最小？若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 39．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至， ①求证：； ②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小. （2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.    40．（2022·山东德州·一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【经典例题九 用勾股定理解决等腰三角形存在性问题】 41．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． (1)若P点在边上且满足，则此时________； (2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 43．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 44．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 45．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【经典例题十 勾股定理综合】 46．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 47．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 48．（24-25八年级上·北京平谷·期末）【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 49．（2023·江西九江·模拟预测）已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”． (1)如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”； (2)如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长； (3)如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 50．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，点D是边上一点，连接，过点B作的垂线，垂足为E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为直角边作等腰直角（B，E，F三点按顺时针排列），，连接，过点C作交直线于点G，猜想与的数量关系并证明； (3)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 勾股定理的证明方法压轴 题型二 用勾股定理解三角形压轴 题型三 网格中的勾股定理压轴 题型四 勾股定理与折叠问题 题型五 勾股定理的逆定理压轴 题型六 勾股定理的应用 题型七 勾股定理中的最短路径 题型八 勾股定理的最值问题 题型九 用勾股定理解决等腰三角形存在性问题 题型十 勾股定理综合 【经典例题一 勾股定理的证明方法压轴】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1） ； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为 ． 【答案】 3 40 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． （1）过点H作于点M，根据得到，四边形是矩形，继而得到．证明得到，结合正方形的性质，得到，计算即可． （2）根据(1)，设，则，， 根据得到，继而得到，，利用图形面积分割法计算即可． 【详解】（1）过点H作于点M， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴． ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）根据（1），设，则，， 根据 ∴， ∴，， ∵四边形的面积为22， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：40． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 【答案】36 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①；② 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明 （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可； 熟知数形结合思想的运用是关键 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， 故答案为：90，； （2）方法一∶ 方法二： 根据上面的方法可得出 5．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键是利用运用这些知识． （1）利用梯形面积公式和图形由三个直角三角形拼成表示出面积，再简单计算即可； （2）先证明，进而可得，由可证明，在中，求即可解答； （3）由是边的中线，可得，设，则，，由勾股定理得：，，即，可得，进而得到，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点作于点， 是边的中线， ， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即， 得：， ， ， ， ， 即， ． 【经典例题二 用勾股定理解三角形压轴】 6．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，连接，C是上一点，，连接交于D点，若，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，则，可证是等腰直角三角形，，如图，延长交的延长线于，则，，如图，将绕着点逆时针旋转到，连接，证明，则，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，可求，由，可得，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图，延长交的延长线于， ∴， ∴， 如图，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，过作于点，作于点，由折叠性质可知，，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到得距离为，则，再通过等面积法得出，，然后由列出解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，作于点， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 设，点到得距离为，则， ∴，， ∴，，即，， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【答案】 10 6 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得； （2）由勾股定理可求BD的长； （3）由直角三角形的性质可求，可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵，， ， ； （3）解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 的面积 【经典例题三 网格中的勾股定理压轴】 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③ 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； ③把看成点到两点和的距离之差，当点和重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②， ， 的面积， 设点到边的距离， 的面积， 点到边的距离， 故答案为：2，； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③把式看成点到两点和的距离之差，即， 点在直线上，且在点右边时，，有最大值， 最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理． 12．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②图见解析，；③图见解析， (2)有最小值，最小值为10 【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即；    ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接，      故在中，，则， 在中，，故， 即； （2）解：有最小值； 理由如下：设，则，如图：   ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画图（画图过程用虚线，画图结果用实线） 图1                           图2 (1)的周长为_________； (2)如图1中画的边上的高； (3)如图1中画的角平分线； (4)作线段使且（不与重合），在图2中画出点F． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据网格特点，取格点H，连接交于D，利用全等三角形的判定与性质证得可得出结论； （3）取格点P，连接，交于E，连接，根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （4）在图2中，取格点H，作射线，由（1）中知，取格点M、N，连接交射线于S，则，根据平行线的性质得到，，，作射线，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，进而，则；取格点K、T，连接并延时交射线于F，则，利用平行线的性质得到，再由等腰三角形的等角对等边得到，进而，故点F即为所求作． 【详解】（1）解：，，， ∴的周长为：， 故答案为：； （2）解：在图1中，取格点H，连接交于D，则线段即为所求作； 理由：取格点W，则， ∴， ∴， ∴，即为边上的高； （3）解：在图1中，取格点P，连接，交于E，则线段即为所求作． 理由：取格点Q，连接，， ∵，P为的中点， ∴，则线段为的角平分线； （4）解：在图2中，取格点H，作射线，取格点M、N，连接交射线于S，作射线，取格点K、T，连接并延时交射线于F，则点F即为所求作． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识，解答的关键是熟悉网格特点，熟练掌握相关知识的联系与运用，属于中考常考题型． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期末）【阅读学习】 如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，，，，可知，所以点就是的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（小正方形的顶点）上，，，三个点中，___________是的勾股点； (2)如图3，为等边三角形，过点作的垂线，点D在该垂线上，连接，以为边在其右侧作等边，连接，． ①求证：； ②判断点是否为的勾股点，并说明理由； ③若，，直接写出等边的边长：_____________． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②是的勾股点，理由见解析；③或． 【分析】（1）利用勾股定理求出，，，即可判断是否为的勾股点， ，同理； （2）①根据等边三角形性质，利用SAS证明； ②由得，再利用勾股定理得，等量代换即可证明结论； ③于，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ 故不是的勾股点； ∵，，， ∴ 故不是的勾股点； ∵，，， ∴ 故不是的勾股点； 故答案为：． （2）①证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴， ∴（SAS）． ②是的勾股点，理由如下 ∵ ∴ 又∵ ∴ 由，得： ∴是的勾股点． ③∵，，且为的勾股点 ∴ ①当在下方时，作于 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ②当在上方时，作于 同理：，， ∴ 故等边的边长为：或 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解，以及利用勾股定理求各线段的长． 【经典例题四 勾股定理与折叠问题】 16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】延长交于点,作,垂足为，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为， 在中，, ， 为的中点， , ， ,解得， 由翻折的性质可知, ,， ， ， ， ， , , , 为直角三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，能灵活运用面积法求高是解决此题的关键． 17．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于， 由翻折的性质可得：， 为等边三角形， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ，， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 18．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在中，，，，点D是边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键. 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，当 时，得到，根据，得到，根据含的直角三角形性质和勾股定理得到， ；当时，，，得到，． 【详解】由折叠知，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图2，若， 则， ∴， ∵， ∴； ∴为直角三角形时，的长为：2或4． 故答案为：2或4． 19．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵长方形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【经典例题五 勾股定理的逆定理压轴】 21．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． 延长至点E，使，连接，结合是的中线证明，得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵， ∴ ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 故选：C ． 22．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作于，过点作于，由可得，，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形的面积可得，然后证明，得到，最后利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，则， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查理勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴ ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故①错误； ∵， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故②错误； ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故④正确； 综上，正确的说法有③④， 故答案为：③④． 24．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 25．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）数形结合是数学中的一种重要思想方法，它将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，通过“以数解形”或“以形助数”的方式，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． （1）如图，在中，，过作，，，则 ． 画一画：以数解形 （2）如图，线段，过点作直线，用直尺和圆规在直线上找一点，使得，要求使用两种不同方法．（不写作法，保留作图痕迹） 探究应用： （3）如图，在中，，，用直尺和圆规在线段上找一点，使得到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形内角和定理的应用以及基本作图； （1）设，根据勾股定理可得，根据，可得，两式得出，即可求解； （2）方法一：如图所示，以为圆心，的长为半径，在上截取，再截取，交于点，点即为所求；方法二，如图所示，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为直径作弧，交于点，则点即为所求， （3）作，，则，以的长为半径，在上截取，过点作交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）设， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （2）方法一：如图所示，以为圆心，的长为半径，在上截取，再截取，交于点，点即为所求； 理由如下，如图所示，连接， ∵ ∴在中，， ∴， 在中， ∵ ∴在中， ∴， ∴ ∴是直角三角形，且 方法二，如图所示，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为直径作弧，交于点，则点即为所求， 理由如下， ∵ ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，作，，则，以的长为半径，在上截取，过点作交于点，则点即为所求； 理由如下，连接， 设，，则， ∵， 在中， 在中， 在中， ∴ 【经典例题六 勾股定理的应用】 26．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【详解】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m， 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22， 如图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52， ∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题． 27．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【详解】解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 28．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【详解】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 【经典例题七 勾股定理中的最短路径】 31．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 32．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 33．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移） 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为：，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 ∴的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 35．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【经典例题八 勾股定理的最值问题】 36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 37．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）问题提出 (1)如图①，在中，，，．若点是边上一点，则的最小值为 ； 问题探究 (2)如图②，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值； 问题解决 (3)某市一湿地公园内有一条四边形型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时，的长．（路面宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的长为200米，的长为400米 【分析】（1）过作于，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法可得； （2）作关于直线的对称点，连接交于，由关于直线对称，可知，而共线，故此时最小，最小值为的长度，根据，点是的中点，可得，再用勾股定理可得答案； （3）作关于的对称点，连接，交于，作关于的对称点，连接，延长交于，连接，连接交于，交于，由关于对称，关于对称，，又，共线，知此时最小，根据，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米． 【详解】（1）解：过作于，如图： 由垂线段最短可知，时，的值最小， 故答案为：； （2）作关于直线的对称点，连接交于，如图： ∵关于直线对称， 共线， ∴此时最小，最小值为的长度， ∵点是的中点， ∵关于直线对称， 在中， ∴的最小值为； （3）作关于的对称点，连接，交于，作关于的对称点，连接，延长交于，连接，连接交于，交于，如图： ∵关于对称，关于对称， ∴， ∴， ∵共线， ∴此时最小， ∵， ∴， ∵关于对称， ∴米， ∴， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∵关于对称，， ∴共线，米，， 米米， 米 在中，米， 在中，米， 米， 答：的长为200米，的长为400米． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形，含角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题． 38．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，线段把的面积平分？ (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)点在运动过程中，在边上是否存在一点使得最小？若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2); (3)在边上是存在一点使得最小最小值为 【分析】（1）先求出的长，根据题意可得为的中点，求得的长度，即可求解； （）为等腰三角形，点只能在上且，设，则，由勾股定理求解即可； （）作点关于的对称点，过点作的垂线段，交于点，交于点，连接，则垂线段即为所求的的最小值，根据面积相等求解即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，由勾股定理得， ∵线段把的面积分成相等的两部分， ∴为的中点，． ∴点运动的路径长为． 运动的时间为（秒） 所以． （2）解：为等腰三角形，点只能在上且， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； （3）解：作点关于的对称点，过点作的垂线段，交于点，交于点，连接， 则垂线段即为所求的的最小值， ∵，， ∴ ∴，即最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的中线，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 39．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至， ①求证：； ②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小. （2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.    【答案】（1）①证明见解析部分 ②， （2） 【分析】（1）①证明，可得结论； ②利用两点之间线段最短以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．求出的值，可得结论． 【详解】（1）①证明：，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ； ②解：， 当，，，共线时，的值最小， 此时， ， ； （2）解：如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．    ，， 是等边三角形， ， ， ， 当，，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 40．（2022·山东德州·一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【答案】(1)150° (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答； （2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答； （3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答． 【详解】（1）解：∵， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°， 由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， ∵32+42=52 ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°； 故答案为：150°； （2）证明：∵点P为△ABC的费马点， ∴， ∴， 又∵， ∴APD为等边三角形 ∴，， ∴， ∴， 在△APC和△ADE中， ∴ (ASA)； ∴， ∵， ∴BE＝PA＋PB＋PC； （3）解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， 把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B， ∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B， ∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°， ∴C、P、A′、P′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键． 【经典例题九 用勾股定理解决等腰三角形存在性问题】 41．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）． (1)若P点在边上且满足，则此时________； (2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或12或13 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值． （2）过P作于D，设，则，在中，，列方程求解即可得到t的值． （3）分四种情况：当P在上且时，当P在上且时，过C作于D，当P在上且时，当P在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ∵，，， ， 在中，， ， 解得：， , ， 故答案为：； （2）如图，过P作于D， 平分， ∵， ∴（） ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， （3）①如图，当P在上且时， ； ②如图，当P在上且时，过C作于D， ，， 在中，， ， ； ③如图，当P在上且时， ， ； ④如图，当P在上且时， ，而， ， ， 是的中点，即， ； 综上所述，当或或12或13 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)3 (2)6或或12或13 (3)4或12 【分析】（1）过点M作于D，证明，得出，由勾股定理列方程，即可求得答案； （2）分情况讨论：①M在边上时，求出的长，即得答案；②点M在边上时，有三种情况，分别求出的值，即得答案；③在边上时，不能构成三角形；由此即得答案； （3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：过点M作于D， 则， 平分， ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， 即当t为3时，平分； （2）解:①当点M在上，如图，时，， 则； ②当点M在上，时，过点C作于D， ， ， 在中，， ，为边上的高， ， ， ， 则， 当时，， ， ， 当时， ，， ， ， ， ③当点M在边上时，不能构成三角形； 综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形； （3）解：分两种情况： ①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； ②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； 为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 故答案为：4或12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，一元一次方程的应用，正确画出图形变换时的图形是解题的关键． 43．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 44．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能；证明见解析 (2)，   、、、 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的的综合题，解题的关键是分情况讨论思想的运用． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据翻折的性质和勾股定理即可求解； 根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明见下： 连接， 如图：  ， ， ， ； （2）解：设，则，又， 根据翻折可知： ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， 所以、两点的坐标为，； 如图：    当点在轴正半轴上且时， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ， ； 当点在轴正半轴上且时， ， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、． 45．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2)的值为或； (3)当或或或3时，为等腰三角形． 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 【经典例题十 勾股定理综合】 46．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3； (3)线段的长为． 【分析】（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到； （2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案； （3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； （3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 【点睛】本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 47．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)不满足，关系式为 【分析】（1）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，得，，根据勾股定理的应用，即可； （2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，根据勾股定理，则，进行解答，即可； （3）过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，根据勾股定理，则，即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：； （3）解：与a，b不满足（2）的关系式，存在新的数量关系式为：， 证明：如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即． 【点睛】本题是三角形的全等综合问题，考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是遇中点作辅助线构建全等三角形解决问题． 48．（24-25八年级上·北京平谷·期末）【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；证明见解析 【分析】（1）根据即可证明，进而可以解决问题； （2）①根据题意即可补全图形； ②延长到点，使，证明，得，，所以，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴在证明时，使用的判定依据是， 故答案为：； （2）①解：如图，即为补全的图形； ②． 证明：如图，延长到点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 49．（2023·江西九江·模拟预测）已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”． (1)如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”； (2)如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长； (3)如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能， 【分析】（1）根据，求出，根据，，求出，即可证明结论； （2）先求出，得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． （3）分三种情况讨论：当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；其中只有第一种情况存在求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P是的一个“勾股点”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， ∴在中，； （3）解：点D可以是的“勾股点”． 由题意可知，分三种情况讨论． ①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时，点D是的“勾股点”． 由题可知， ∴． 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴此种情况不成立． ③当时，点D是的“勾股点”． ∵在中，， ∴是锐角， ∴此种情况不成立． 综上，点D可以是的“勾股点”，的长是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质，作出相应的辅助线，并注意分类讨论． 50．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，点D是边上一点，连接，过点B作的垂线，垂足为E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为直角边作等腰直角（B，E，F三点按顺时针排列），，连接，过点C作交直线于点G，猜想与的数量关系并证明； (3)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由，得到，根据垂直的定义得到，求得，等量代换得到结论； （2）过C作于H，得到，由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，求得； （3）①根据等腰直角三角形的性质得到，如图2，过A作于M，求得，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，根据即可求解；②如图3，过C作于H，过A作于M，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的面积公式求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， 证明：过C作于H， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， 如图2，过A作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图3，过C作于H，过A作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质定理，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$