6.3.4&6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示【8大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.3.4&6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 · 考点一：由坐标判断坐标是否共线问题 · 考点二：由向量平行（共线）求参数 · 考点三：由坐标解决三点共线问题 · 考点四：数量积和模的向量坐标运算 · 考点五：向量垂直的坐标表示问题 · 考点六：向量垂直和数量积的参数问题 · 考点七：向量的夹角问题 · 考点八：平面向量数乘和数量积的综合 【知识梳理】 知识一：平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 题型二：由向量平行（共线）求参数 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．2 5．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）若向量与向量方向相同，则实数（    ） A． B． C．2 D．－2 6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，若，则的值为（    ） A．2 B． C．18 D．6 题型三：由坐标解决三点共线问题 7．（20-21高一下·浙江·期末）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 8．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·江苏无锡）向量，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或-11 D．或 题型四：数量积和模的向量坐标运算 10．（23-24高一下·山东济南·期中）已知正方形的边长为，，，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 11．（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 12．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五：向量垂直的坐标表示问题 13．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 15．（23-24高一下·北京延庆·期中）若，，且，则x的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 题型六：向量垂直和数量积的参数问题 16．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 题型七：向量的夹角问题 19．（23-24高一下·天津南开·期末）已知为单位向量，向量，且，则（    ） A．135° B．60° C．45° D．30° 20．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知为BC的中点，则为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型八：平面向量数乘和数量积的综合 22．（23-24高一下·福建漳州）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 23．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 25．（23-24高一下·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高一下·福建莆田）已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（     ） A．. B． C．或 D．或 26．（22-23高二下·四川宜宾·期中）已知，向量，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习），则（    ） A． B． C． D．2 28．（23-24高一下·浙江·期中）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 30．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知为坐标原点，，，，若为直线OC上一动点，当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 32．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在梯形中，，点为边上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 34．（23-24高一下·福建福州·期中）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 35．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知向量，，，则（    ） A．在上的投影数量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的正弦值是 D． 36．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 37．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量，，是与同向的单位向量，则（    ） A． B．与可以作为一组基底 C． D．向量在向量上的投影向量为 38．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（    ）． A．时，则的最小值为 B．时，则的最大值为4 C．时，则 D．时，则 三、填空题 39．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知向量，，若，则正数的值为 ． 40．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知正方形的边长为，为的中点，点在上，，则 ． 41．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量与的夹角为，则等于 ． 42．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知平面向量，满足，，，则 ． 43．（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 44．（23-24高一下·湖北·期中）已知正方形的边长为2，E为边BC的中点，为边CD的中点，为线段AB上的动点，则的最小值为 . 四、解答题 45．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 46．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 47．（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； (3)若向量满足，求的值． 48．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 49．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间的值域为，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.4&6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 · 考点一：由坐标判断坐标是否共线问题 · 考点二：由向量平行（共线）求参数 · 考点三：由坐标解决三点共线问题 · 考点四：数量积和模的向量坐标运算 · 考点五：向量垂直的坐标表示问题 · 考点六：向量垂直和数量积的参数问题 · 考点七：向量的夹角问题 · 考点八：平面向量数乘和数量积的综合 【知识梳理】 知识一：平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，，所以不共线，A错误； 对于B，，所以共线，B正确； 对于C，，所以不共线，C错误； 对于D，，所以不共线，D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由平面向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项. 【详解】因为零向量不能作为基底，所以A错误． 因为，所以与共线，B错误． 因为，所以与不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，C正确． 因为，所以与共线，D错误． 故选：C 3．（22-23高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标公式逐项计算判断即可. 【详解】因为，，所以， 对选项A：因为，所以两向量共线，A正确； 对选项B：因为，所以两向量不共线，B错误； 对选项C：因为，所以两向量不共线，C错误； 对选项D：因为，所以两向量不共线，D错误； 故选：A. 题型二：由向量平行（共线）求参数 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量平行的充要条件计算得解. 【详解】因为，，， 所以，解得， 故选：C 5．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）若向量与向量方向相同，则实数（    ） A． B． C．2 D．－2 【答案】C 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求出未知量的值，再结合题意检验即可得解. 【详解】由题意可得即， 解得或， 当时，，此时，所以向量与向量方向相同，符合题意； 当时，，此时，所以向量与向量方向相反，不符合. 所以. 故选：C. 6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，若，则的值为（    ） A．2 B． C．18 D．6 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再由列方程可求出的值 【详解】由题意得， 因为，， 所以，解得. 故选：A 题型三：由坐标解决三点共线问题 7．（20-21高一下·浙江·期末）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解. 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 8．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解. 【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以, 故选：D 9．（22-23高一下·江苏无锡·阶段练习）向量，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或-11 D．或 【答案】A 【分析】根据共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由，，， 得，， 又，，三点共线， 则， 即，解得或， 故选：A. 题型四：数量积和模的向量坐标运算 10．（23-24高一下·山东济南·期中）已知正方形的边长为，，，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得. 【详解】如图建立平面直角坐标，则，，，， ，， ． 故选：C．    11．（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果. 【详解】由可得； 所以. 故选：A 12．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，然后对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案． 【详解】因为，所以， 又，，，解得， ，且，， 即向量与的夹角为． 故选：A． 题型五：向量垂直的坐标表示问题 13．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 14．（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 即，解得． 故选：D. 15．（23-24高一下·北京延庆·期中）若，，且，则x的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 【答案】C 【分析】由向量垂直可以得到数量积为0，进而列出方程求解. 【详解】由题设， 由题，得，解得或. 故选：C. 题型六：向量垂直和数量积的参数问题 16．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 17．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的坐标运算，结合平行，垂直的坐标结论可解. 【详解】设向量，则. 由，得 解得,故向量的坐标为. 故选：A. 18．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据垂直得出，再根据夹角坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 题型七：向量的夹角问题 19．（23-24高一下·天津南开·期末）已知为单位向量，向量，且，则（    ） A．135° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【分析】利用向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，又， 所以. 故选：C. 20．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知为BC的中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示，借助夹角公式计算即得. 【详解】由，得，又，则， 于是，所以． 故选：D 21．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，四边形为直角梯形，建立平面直角坐标系，利用向量夹角公式运算得解. 【详解】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 题型八：平面向量数乘和数量积的综合 22．（23-24高一下·福建漳州）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】（1）求出的坐标，再求出模即可； （2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可； （3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由，知，所以． （2）由，知,, 因为， 所以，解得： （3）由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 23．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可； （3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可. 【详解】（1），， ； （2）由，知与夹角的余弦值为； （3）， 由与垂直， 则， 解得. 25．（23-24高一下·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，. (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据向量的加、减及数乘运算表示即可； （2）根据题意求出及P的坐标，再求，的坐标，利用夹角公式求解即可； （3）假设存在满足题意的,根据列出方程，看方程是否有解即可. 【详解】（1）因为,且, 所以,即,, 所以 （2）当为线段的中点时，， 所以, 所以 所以. （3）假设存在满足题意的, 则 则 所以, ， 所以, 故, 整理得,, 方程显然无根, 即不存在实数使得. 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高一下·福建莆田）已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（     ） A．. B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解即得. 【详解】依题意，若，则，而， 因此，则点的坐标是； 若，则，则点的坐标是， 所以点的坐标是或. 故选：C 26．（22-23高二下·四川宜宾·期中）已知，向量，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断. 【详解】若向量，则，即 解得：或, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 27．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习），则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据模长的坐标表示可得，根据模长结合数量积可得，进而可求. 【详解】因为，则， 又因为，即，解得， 则，所以. 故选：A. 28．（23-24高一下·浙江·期中）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算律计算即可. 【详解】因为,所以, 所以, 又因为,所以, 则在上的投影向量为. 故选：A. 29．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 【答案】C 【分析】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 30．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知为坐标原点，，，，若为直线OC上一动点，当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的模的坐标求法表示出，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，设，则， 所以， 当且仅当时，取得最小值，此时， 所以，即，故A正确. 故选：A 31．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 【答案】C 【分析】对于A，根据与共线的单位向量的定义将两坐标除以模长，取两个方向即得；对于B，根据投影向量的定义计算即得；对于C，设出所求向量，由和联立方程组求解；对于D，由计算即得. 【详解】对于A，由可得，，故共线的单位向量的坐标为或，故A正确； 对于B，因在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，设与垂直的单位向量为，则有，解得，或， 即与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 对于D，由， 解得.故D正确. 故选：C. 32．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在梯形中，，点为边上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设，从而得到，即可求出结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 因为，所以， 设，所以， 得到，因为，所以， 故选：C. 二、多选题 33．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 34．（23-24高一下·福建福州·期中）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对A，根据向量共线的坐标表示即可判断；对B，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对C，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对D，根据向量的几何意义即可判断. 【详解】对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误； 对B，由题意知，所以，故B正确 对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误； 对D，向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD 35．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知向量，，，则（    ） A．在上的投影数量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的正弦值是 D． 【答案】AD 【分析】由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断. 【详解】因为，，， 所以，， 即，所以， 对于A，在上的投影数量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B错误； 对于C，，所以， 故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD 36．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【分析】对于A,验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C,移项之后在平方求解即可；对于D,在向量上的投影向量为,据此求解即可. 【详解】对于A,因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B,因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C,因为，所以，即， 所以，所以，解得，故C错误； 对于D,因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 37．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量，，是与同向的单位向量，则（    ） A． B．与可以作为一组基底 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合向量运算的坐标表示及投影向量的意义，逐项计算判断. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，不共线，可以作为一组基底，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量，D正确. 故选：BCD 38．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（    ）． A．时，则的最小值为 B．时，则的最大值为4 C．时，则 D．时，则 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，依次对每一选项进行判断． 【详解】解：如图，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，    则依题意有，，，则，， 因为，所以． 对于A，因为，所以，， 当时，最小，最小值为，故A对； 对于B，因为，，，所以当时，有最大值，最大值为4，故B对； 对于C，因为，，所以，故C对； 对于D，因为，，不能求出其值，故D错． 故选：ABC． 三、填空题 39．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知向量，，若，则正数的值为 ． 【答案】 【分析】求出向量，利用平面向量垂直的坐标表示可求得正数的值. 【详解】因为向量，，则， 因为，则，可得， 因为，解得. 故答案为：. 40．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知正方形的边长为，为的中点，点在上，，则 ． 【答案】 【分析】建系，根据平面向量的坐标运算求解. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示，则、、、、， 因为，则，可得，， 所以. 故答案为：. 41．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量与的夹角为，则等于 ． 【答案】 【分析】利用夹角求出，，再求，即可求解． 【详解】由，得，又， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 42．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知平面向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】由两边同时平方后代值即可求得，再由求模公式计算即可． 【详解】因为，所以， 因为，所以两边同时平方得：， 即，解得， 所以． 故答案为：． 43．（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系并标点，利用向量数量积的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，    过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 44．（23-24高一下·湖北·期中）已知正方形的边长为2，E为边BC的中点，为边CD的中点，为线段AB上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示结合二次函数性质求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 所以，，因为E为边BC的中点，为边CD的中点， 所以，，故，， 得到， 由二次函数性质得，对称轴为，故当时取得最小值， 此时，则的最小值为. 故答案为： 四、解答题 45．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 46．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 47．（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； (3)若向量满足，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量的夹角公式计算即得. （2）利用平面向量共线的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得. （3）利用向量相等构造方程求得，再利用坐标求模即得结果. 【详解】（1）由向量，得， 于是，而， 所以. （2）由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. （3）依题意，即， 于是，解得，所以. 48．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 【答案】(1)-7 (2)3 【分析】（1）先写出的坐标，再由，求解即可； （2）根据，展开运算，利用配方法，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. （2）当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. 49．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简的解析式。由公式得最小正周期； （2）当时，，其中时，单调递减，求的取值范围即可； （3）时，，结合正弦函数图象可知， 有，求解的取值范围即可． 【详解】（1）向量，， 函数， 所以函数的最小正周期. （2）当时，， 其中，即时，的单调递减， 所以当时，函数的单调递减区间是； （3）时，， 若函数在区间的值域为，则函数在区间的值域为 结合正弦函数图象可知， 有，解得， 即的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$