第八章 实数（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版2024）

第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的为（   ） A．0.2 B．0 C． D． 2．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．的大小在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．数轴上点A表示的数是，点，分别位于点的两侧，且到点的距离相等．若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 7．已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 9．已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 10．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．比较大小： （填“”或“”）． 12． ． 13．计算：= ． 14．在实数范围内定义一种运算“★”，其规则为，根据这个规则，方程：的解为 ． 15．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 16．设，则的值为 ． 3、 解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~24题每小题10分。 17．计算： (1) (2) (3) (4) 18．求下列方程中x的值． (1)； (2)． 19．已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 20．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 21．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 22．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 23．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 24．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的为（   ） A．0.2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：是有理数， 是无理数， 故选： C． 2．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；根据可进行求解． 【详解】解：由可知：8的立方根是2； 故选A． 3．的大小在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握解答的方法是解题关键．根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】， ， 即， 故选：D． 4．数轴上点A表示的数是，点，分别位于点的两侧，且到点的距离相等．若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上表示实数，一元一次方程，熟练掌握利用数轴表示实数是解题关键． 先根据点，点的位置关系，即可判断点C的位置，进而求解； 【详解】解：点表示的数是，点，分别位于点的两侧，且到点的距离相等； 设点表示的数为， 又点表示的数是， 点在的左侧， ， 解得：， 故选：D 5．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 6．已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 7．已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的大小估算，实数的大小比较，解题的关键是算出a，b，c的值． 先根据平方根，立方根的概念得出，再根据无理数的大小估算得出，进而即可比较． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：C． 8．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 9．已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质，根据题意得到a的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵一个数a的绝对值是， ， 或． 故选：C． 10．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据运算规则即可求解． 【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误； ④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①③． 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 因为，，所以． 【详解】解：∵， ， ∴ 故答案为： ． 12． ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解题的关键是根据立方根的定义来解答． 【详解】解：， 故答案为： 13．计算：= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．首先因为，所以，又因为，所以可得：原式，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 14．在实数范围内定义一种运算“★”，其规则为，根据这个规则，方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下实数的运算，新定义下，根据新定义得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 16．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 3、 解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~24题每小题10分。 17．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）8；（2）；（3）-10；（4）-2.75； 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的意义逐项化简，再进一步计算即可； （2）先根据绝对值、算术平方根、立方根的意义逐项化简，再进一步计算即可； （3）先根据绝对值、有理数乘方、算术平方根、立方根的意义逐项化简，再按有理数的运算法则计算即可； （4）先根据算术平方根、立方根的意义逐项化简，再进一步计算即可； 【详解】(1) =4+3+1 =8； (2) =7-3-1++ =； (3) =3-4+-8 =3-4-1-8 =-10； (4) =-3-0-+0.5+ =-2.75. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解答本题的关键. 18．求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义，解方程，即可求解； （2）根据立方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：； （2）解： ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 19．已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； ∴； （2）解：，， ， 的立方根是2． 20．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【答案】(1)右；一； (2)0.235；23.5； (3)19.13；191.3 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 21．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为 (2)的平方根为 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）利用例题结合，进而得出答案； （2）利用例题结合，，可求得a与b的值，进而得出答案． 【详解】（1）解： ，即， 的整数部分为，的小数部分为； （2）解： ，即， 的整数部分为，小数部分为， ，即， 的整数部分为， 则， 的平方根为． 22．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) ； (2)． 【分析】（）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； 本题考查了无理数的估算，解题的关键是读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 23．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：； （3）解：原式 ． 24．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$