第4章 三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第4章 三角形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列是四个同学画△ABC的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知钝角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数可能是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 4．（3分）用四根长度分别为3cm，4cm，6cm，7cm的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A．13cm B．14cm C．16cm D．17cm 5．（3分）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 7．（3分）如图，下列算式表示△ABC的面积求法的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．30 C．42 D．48 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝　 　． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　s时，CF＝AB． 11．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点为格点，则∠1+∠2＝　 　°． 12．（3分）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝20°，则∠DFC＝　 　． 13．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是32，则△ABE的面积为　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，求证：AB∥DF． 15．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD． 16．（8分）如图，点B、C、E在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE． （1）试说明：△ACB≌△DCE． （2）若∠A＝45°，∠ACB＝50°，求∠E的度数． 17．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD＝20°，AB＝AD． （1）请判断BC和DE的数量关系，并说明理由； （2）若∠C＝40°，∠D＝20°，求∠EAB的度数． 18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADC和△ABE分别是以AC，AB为腰的等腰直角三角形，BE与CD相交于点F． （1）求证∠FBC＝∠FCB； （2）连接AF，求证AF⊥BC． 19．（12分）【模型理解】（1）如图1，AB和CD交于点O，求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； 【模型应用】（2）如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求证：∠B+∠D＝2∠E． 20．（12分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，AB＝9cm，点P从点C出发，沿C→D→C方向以3cm/s的速度运动，点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s． （1）求证：AB∥CD； （2）连接PQ，当线段PQ经过点O时，求t的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 三角形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列是四个同学画△ABC的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A、BD 不是△ABC的高，不符合题意； B、BD 是△ABC的高，符合题意； C、BD 不是△ABC的高，不符合题意； D、BD 不是△ABC的高，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）已知钝角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数可能是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】由钝角三角形的两锐角度数小于90°，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形内角和为180°，钝角大于90°， ∴三角形的两锐角度数之和小于90°， ∵有一个锐角等于50°， ∴另一个锐角的度数小于90°﹣50°＝40°． 只有A符合题意， 故选：A． 3．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 4．（3分）用四根长度分别为3cm，4cm，6cm，7cm的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A．13cm B．14cm C．16cm D．17cm 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、3+4＞6，长度分别为3cm，4cm，6cm的小木棒能摆成三角形，摆成的三角形周长可能是13cm，故A不符合题意； B、3+4＝7，长度分别为3cm，4cm，7cm的小木棒不能摆成三角形，摆成的三角形周长不可能是14cm，故B符合题意； C、3+6＞7，长度分别为3cm，6cm，7cm的小木棒能摆成三角形，摆成的三角形周长可能是16cm，故C不符合题意； D、4+6＞7，长度分别为4cm，6cm，7cm的小木棒能摆成三角形，摆成的三角形周长可能是17cm，故D不符合题意． 故选：B． 5．（3分）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 【分析】根据三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心， ∴BG＝2GE， ∵BE＝BG+GE＝15， ∴BG＝10， 故选：D． 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 7．（3分）如图，下列算式表示△ABC的面积求法的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：AC•BD是△ABC的面积． 故选：C． 8．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．30 C．42 D．48 【分析】由AAS可证△ABF≌△DEF，可得S△ABF＝S△DEF，即可求解． 【详解】解：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABF和△DEF中， ， ∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴S△ABF＝S△DEF， ∴阴影部分的面积＝S△ACDAC•AD＝24， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝　60°　． 【分析】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，根据三角形内角和为180°，可得出各角的度数均为60°． 【详解】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C， 又∠A+∠B+∠C＝180°， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°， 故答案为60°． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　s时，CF＝AB． 【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s． 【详解】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB， 在△CEF和△ACB中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm， ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：5（s）； ②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：2（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB； 故答案为：2或5． 11．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点为格点，则∠1+∠2＝　90　°． 【分析】通过证明△ABE≌△DCE（SAS），得出∠1＝∠DCE，即可解答． 【详解】解：如图，BE＝CE，AE＝DE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴∠1＝∠DCE， ∴∠1+∠2＝∠DCE+∠2＝90°， 故答案为：90． 12．（3分）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝20°，则∠DFC＝　115°　． 【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝100°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝35°，利用对顶角相等得∠CGF＝35°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC． 【详解】解：设DF交AC于点G， ∵图中是一副直角三角板， ∴∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°， ∵∠EAB＝20°， ∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝100°， ∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝35°， ∴∠CGF＝∠AGD＝35°， ∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝115°． 故答案为：115°． 13．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是32，则△ABE的面积为　8　． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可解答． 【详解】解：∵△ABC的面积是32，AD是BC边上的中线， ∴， ∵BE是△ABD中AD边上的中线， ∴S△ABD8． 故答案为：8． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，求证：AB∥DF． 【分析】由BE＝FC，得BC＝FE，根据三边对应相等的两个三角形全等，可得出△ABC≌△DFE，则∠B＝∠F，即可得到结论． 【详解】证明：∵BE＝FC，BC＝BE+EC，FE＝FC+EC， ∴BC＝FE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SSS）， ∴∠B＝∠F， ∴AB∥DF． 15．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD． 【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论． 【详解】证明：如图，连接AC， 在△ACE和△ACF中， ， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴CB＝CD． 16．（8分）如图，点B、C、E在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE． （1）试说明：△ACB≌△DCE． （2）若∠A＝45°，∠ACB＝50°，求∠E的度数． 【分析】（1）根据的性质求出∠B＝∠E，∠A＝∠D，利用ASA即可证明△ACB≌△DCE； （2）根据全等三角形的性质求出∠A＝∠D＝45°，再结合对顶角相等、三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E，∠A＝∠D， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（ASA）； （2）∵△ACB≌△DCE， ∴∠A＝∠D＝45°， 又∵∠DCE＝∠ACB＝50°， ∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝85°． 17．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD＝20°，AB＝AD． （1）请判断BC和DE的数量关系，并说明理由； （2）若∠C＝40°，∠D＝20°，求∠EAB的度数． 【分析】（1）根据边角边证△CAB≌△EAD即可； （2）根据全等三角形的性质可得∠B＝∠D＝20°，根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝120°，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：（1）BC＝DE；理由如下： ∵∠CAE＝∠BAD＝20° ∴CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB， ∴∠CAB＝∠EAD， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△CAB≌△EAD（SAS）， ∴BC＝DE； （2）∵△CAB≌△EAD， ∴∠B＝∠D＝20°， ∴∠B+∠C+∠CAB＝180°， ∵∠C＝40°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣20°＝120°， ∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝120°﹣20°＝100°． 18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADC和△ABE分别是以AC，AB为腰的等腰直角三角形，BE与CD相交于点F． （1）求证∠FBC＝∠FCB； （2）连接AF，求证AF⊥BC． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ABD≌△AEC，（SAS），得BD＝CE，再证明△BCD≌△CBE（SSS），即可解决问题； （2）由（1）知：BF＝FC，根据AB＝AC，得AF是BC的垂直平分线，即可解决问题． 【详解】证明：（1）∵AB＝AC，△ADC和△ABE分别是以AC、AB为腰的等腰直角三角形， ∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAC＝∠EAB＝90°，BE＝CD， ∴∠DAB＝90°﹣∠DAE＝∠EAC， ∴△ABD≌△AEC，（SAS）， ∴BD＝CE， ∵CD＝BE，BC＝BC， ∴△BCD≌△CBE（SSS）， ∴∠BCD＝∠CBE， ∴BF＝FC； （2）由（1）知：BF＝FC， ∵AB＝AC， ∴AF是BC的垂直平分线， ∴AF⊥BC． 19．（12分）【模型理解】（1）如图1，AB和CD交于点O，求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； 【模型应用】（2）如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求证：∠B+∠D＝2∠E． 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）中模型可得∠B+∠D+∠DCE+∠BAF＝2∠E+∠ECF+∠EAD，再根据角平分线得到∠DCE＝∠ECF，∠BAF＝∠EAD，解答即可． 【详解】证明：（1）在△AOC中，A+∠C+∠AOC＝180°， 在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD＝180°， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）同（1）中模型可得，在AE、CB相交线中，有∠B+∠BAF＝∠E+∠ECF， 在AD、EC相交线中，有∠D+∠DCE＝∠E+∠EAD， ∴∠B+∠D+∠DCE+∠BAF＝2∠E+∠ECF+∠EAD， ∵AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠DCE＝∠ECF，∠BAF＝∠EAD， ∴∠B+∠D＝2∠E． 20．（12分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，AB＝9cm，点P从点C出发，沿C→D→C方向以3cm/s的速度运动，点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s． （1）求证：AB∥CD； （2）连接PQ，当线段PQ经过点O时，求t的值． 【分析】（1）利用SAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质求出∠A＝∠D，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）利用ASA证明△COP≌△BOQ，根据全等三角形的性质求出BQ＝CP，分当0≤t≤3时，当3＜t≤6时，求解即可． 【详解】（1）证明：∵∠AOB和∠DOC是对顶角， ∴∠AOB＝∠DOC， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：如图， 当线段PQ经过点O时， ∵△AOB≌△DOC， ∴∠B＝∠C，AB＝CD＝9cm， 在△BOQ和△COP中， ， ∴△COP≌△BOQ（ASA）， ∴BQ＝CP， 当0≤t≤3时，3t＝9﹣t， 解得：； 同理可得：当3＜t≤6时，18﹣3t＝9﹣t， 解得：； 综上所述，当线段PQ经过点O时，t的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$