专题06 正弦（型）函数的图象与性质9种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题06 正弦（型）函数的图象与性质 9种常考压轴题归类 知识点一、正弦函数的图象 ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 知识点二、周期函数 1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 知识点三、正弦函数的性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 最值 当()时，;当()时，; 对称性 对称中心为(),对称轴为直线() 知识点四、正弦型函数的概念及图象 1、正弦型函数的定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 2、对函数正弦型函数图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 3、的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 4、“五点法”画正弦型函数的图象 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π 0 A 0 －A 0 知识点五、正弦型函数的性质 1、定义域与值域：定义域为R，值域为 2、周期： 3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； 当时，函数是非奇非偶函数； 4、单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 知识点六、三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 压轴题型一：五点作图法 满分技法 使用五点作图法时, 先确定正弦函数的周期, 找出五个关键点(最大值点、最小值点及与x轴的交点)。计算这些点的横坐标和纵坐标,并描点连线,注意函数的趋势和光滑性。 1．（2024高一·福建福州·期末）已知函数 (1)求出函数的单调减区间； (2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 2．（2024高三·全国月考）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 3．（2024高一·上海·课堂例题）作出函数的大致图象. 压轴题型二：正弦（型）函数的周期性 满分技法 确定正弦型函数的周期,主要看 的值,周期 。 4．（2024高一·湖北荆州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南郑州·模拟预测）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 6．（2024高一·江苏连云港·期末）设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024高一·河南洛阳·期末）设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 8．（2024高一·天津·期末）已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（     ） A． B．π C． D．2π 压轴题型三：正弦（型）函数的奇偶性 满分技法 判断正弦型函数的奇偶性, 先看其解析式是否满足 。特别地,若函数为 ,分析 的值对奇偶性的影响,如 为 的奇数倍时是奇函数。 9．（2024高三·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024高三·云南昆明月考）已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 11．（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．是奇函数 B． C．在上递增 D．在上递增 12．（2024高一·四川凉山·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 13．（2024高一·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·北京丰台·模拟预测）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2024高二·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 压轴题型四：正弦（型）函数的对称性 满分技法 正弦型函数的对称轴为过最大值点或最小值点且垂直于x轴的直线,对称中心是与x轴的交点。通 过解方程 (对称轴)或 (对称中心)来求。 16．（2024高三·北京月考）已知通数中，则对下列结论判断正确的为（   ） ①； ②直线是图象的一条对称轴； ③在上单调递减； ④点是图象的一个对称中心； ⑤向左平移个单位得到的函数为偶函数． A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①③⑤ 17．（2024高一·河南许昌·期末）若函数与有相同的对称轴，则的所有可能取值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024高一·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高三·安徽合肥月考）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 压轴题型五：正弦（型）函数的单调性 满分技法 牢记标准正弦函数的单调区间，对于正弦型函数，把它的自变量整体代入标准单调区间，解不等式得到函数的单调区间，注意系数正负对单调性的影响。 20．（2024·山西吕梁·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一·湖南邵阳月考）已知函数，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是（    ） A．对称轴方程是x=+kπ（k∈Z） B．对称中心坐标是（+kπ，0）（k∈Z） C．在区间（﹣，）上单调递增 D．在区间（﹣π，﹣）上单调递减 22．（2024·湖南常德·模拟预测）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．为偶函数 B．最大值为 C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为 23．（2024高一·广东深圳·期末）已知函数下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．当时，取得最大值 D． 24．（2024高三·四川甘孜·期中）设函数，则下列结论中正确的是（    ） ①的图象关于点对称 ； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减; ④在上的最小值为0. A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 25．（2024高一·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 26．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 27．（2024高一·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（2024高一·浙江宁波·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 29．（2024高一·北京东城·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型六：正弦（型）函数的最值或值域 满分技法 明确正弦函数的值域范围，考虑函数中系数对函数值的伸缩、平移作用，通过分析自变量取值范围，确定函数能取得的最大值和最小值，进而得到值域。 31．（2024高一·广东·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 32．（2024高一·湖南衡阳·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．（2024·天津·模拟预测）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；                        ②在区间上单调递增； ③在上有4个零点；            ④的值域是. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 34．（2024高一·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 35．（2024高三·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（2024高一·广西南宁·期末）设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2024高三·江苏泰州月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型七：根据图象求函数解析式 满分技法 先观察图象的周期，由此确定函数中与周期相关的参数；再看图象的最值，确定函数的振幅；接着找图象上特殊点，如与坐标轴交点，代入函数一般式求解剩下参数，从而确定函数解析式。 38．（2025高三·北京月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A． B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴 39．（2024高一·云南红河·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 40．（2024高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 41．（2024高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（   ） A． B． C． D． 压轴题型八：函数图象的变换 满分技法 函数图象的变换主要包括平移、伸缩和对称。平移时注意“左加右减,上加下减”的原则；伸缩要 看和对图象的影响；对称变换则根据对称轴的方程进行。复合变换时,按顺序逐步进行,注意每一步对图象的影响。 42．（2024高一·全国月考）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D．8 43．（2024高三·江西月考）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 44．（2024高一·广东广州·期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 45．（2025·贵州安顺·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型九：正弦（型）函数的图象性质综合 满分技法 综合考虑周期性、奇偶性、对称性、单调性和最值等性质，分析这些性质之间的联系和影响。遇到问题时，结合多个性质从不同角度思考，利用已知条件逐步推导求解。 46．（2024高一·山西晋城·期末）将函数 图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于点 中心对称 D．的图象关于直线 对称 47．（2024高三·天津月考）关于函数有如下四个命题： 甲：该函数图象的一个对称中心为； 乙：该函数在上单调递增； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲. B．乙 C．丙 D．丁 48．（2024高三·天津滨海新月考）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 49．（2024高三·天津月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 50．（2024高一·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 一、单选题 1．（2024高三·山东月考）已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·山东德州月考）函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·江西九江月考）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·山西吕梁·期末）已知函数，若存在常数，使为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2024高三·甘肃月考）若方程 在区间 上有 4 个不同的实根，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024高一·山东烟台·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．若在上有3个零点，则 8．（2024高三·云南楚雄·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．在上单调递减 9．（2024高三·江苏无锡月考）已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（   ） A．ω的最小值为 B．若在区间上有且仅有2个对称中心．则 C．若在区间上单调递减，则 D．不可能是的零点 10．（2024高三·山西太原·期末）已知函数的图象关于对称，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期 B．的图象关于点对称 C．在上递增 D．在上递减 三、填空题 11．（2024高三·江西·期末）函数在上的值域是，则的取值范围是 12．（2024高一·河北石家庄·期末）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是 . 13．（2024高一·北京东城·期末）已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为 ． 14．（2024高一·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 四、解答题 15．（2024高一·广东阳江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 16．（2024高一·河南·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若函数在区间上的值域为，求m的取值范围． 17．（2024高一·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 18．（2024高一·四川宜宾·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)若，满足，求 19．（2024高一·广东惠州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在上的单调递增区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 正弦（型）函数的图象与性质 9种常考压轴题归类 知识点一、正弦函数的图象 ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 知识点二、周期函数 1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 知识点三、正弦函数的性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 最值 当()时，;当()时，; 对称性 对称中心为(),对称轴为直线() 知识点四、正弦型函数的概念及图象 1、正弦型函数的定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 2、对函数正弦型函数图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 3、的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 4、“五点法”画正弦型函数的图象 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π 0 A 0 －A 0 知识点五、正弦型函数的性质 1、定义域与值域：定义域为R，值域为 2、周期： 3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； 当时，函数是非奇非偶函数； 4、单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 知识点六、三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 压轴题型一：五点作图法 √满分技法 使用五点作图法时, 先确定正弦函数的周期, 找出五个关键点(最大值点、最小值点及与x轴的交点)。计算这些点的横坐标和纵坐标,并描点连线,注意函数的趋势和光滑性。 1．（2024高一·福建福州·期末）已知函数 (1)求出函数的单调减区间； (2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)2. 【分析】（1）利用正弦函数的单调递减区间列出不等式并求解即得. （2）通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图. （3）在同一坐标系内作出两个函数在上的图象，观察图象即可得解. 【解析】（1）函数，由， 得， 所以函数的单调减区间是. （2）列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图象如图： （3）在同一坐标系内作出函数与在的图象，如图： 观察图象，曲线与的交点个数为2. 2．（2024高三·全国月考）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化为分段函数，按五点法作图列出五点即可. 【解析】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 故第三个点的坐标是， 故选：C. 3．（2024高一·上海·课堂例题）作出函数的大致图象. 【答案】作图见解析 【分析】先根据“五点作图法”的五个点进行列表，然后在平面直角坐标系中作出函数在一个周期内的图象，则函数的大致图象可得. 【解析】列表如下： 则函数的大致图象如图所示： 压轴题型二：正弦（型）函数的周期性 √满分技法 确定正弦型函数的周期,主要看 的值,周期 。 4．（2024高一·湖北荆州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的周期概念求解． 【解析】由已知最小正周期是， 故选：C． 5．（2025·河南郑州·模拟预测）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得到函数的最小正周期，再用最小正周期公式可解. 【解析】由，是函数两个相邻的最值点， ， 所以，即. 故选：A. 6．（2024高一·江苏连云港·期末）设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可. 【解析】由，且为正数，可得，解得. 故选：C. 7．（2024高一·河南洛阳·期末）设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【解析】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：C 8．（2024高一·天津·期末）已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】D 【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，分别得出最小正周期即可求解. 【解析】根据已知条件函数的一条对称轴为，又由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 当分别取最小正数和最大负数时，， 所以两个函数最小正周期的差为. 故选：D. 压轴题型三：正弦（型）函数的奇偶性 √满分技法 判断正弦型函数的奇偶性, 先看其解析式是否满足 。特别地,若函数为 ,分析 的值对奇偶性的影响,如 为 的奇数倍时是奇函数。 9．（2024高三·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，构造奇函数，再根据奇函数的性质即可得解. 【解析】， 令， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为， 因为， 所以函数是奇函数， 所以，即，所以. 故选：B. 10．（2024高三·云南昆明月考）已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案. 【解析】设，由于， 故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称． 又，所以的图象关于对称， 即，由，所以， 故选：A． 11．（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．是奇函数 B． C．在上递增 D．在上递增 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可判A；根据复合函数的单调性并求出最值判断B、C、D 【解析】因为，所以定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数；故A对； 令，所以在单调递增， 所以，即，又在单调递增， 所以在单调递增，故D对； 因为是奇函数，所以在上递增，故C对， 综上，，则，故B错； 故选： B 12．（2024高一·四川凉山·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】设与相加可得答案. 【解析】因为，所以， 设， 可得 ，解得. 故选：C. 13．（2024高一·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，结合诱导公式及五点作图法分析计算得解. 【解析】依题意，且，函数的最小正周期， 令满足, 且（）,则， 由，得五点作图法的最左边端点为， 由是奇函数，得， 由是偶函数，得, 当时，，，此时； 当时，，，此时, 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标. 14．（2024·北京丰台·模拟预测）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】因为，则， ， 若是奇函数，则，解得， 若是偶函数，则，解得， 所以若是偶函数且是奇函数，则， 所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立； 由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立， 所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 15．（2024高二·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【解析】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 压轴题型四：正弦（型）函数的对称性 √满分技法 正弦型函数的对称轴为过最大值点或最小值点且垂直于x轴的直线,对称中心是与x轴的交点。通 过解方程 (对称轴)或 (对称中心)来求。 16．（2024高三·北京月考）已知通数中，则对下列结论判断正确的为（   ） ①； ②直线是图象的一条对称轴； ③在上单调递减； ④点是图象的一个对称中心； ⑤向左平移个单位得到的函数为偶函数． A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】需要对函数的周期性，对称性和单调性，图像变换性质逐个分析，通过计算和推理来判断各个结论的正确性. 【解析】判断①，对于,最小正周期为,则.①正确. 判断②，当时， ，此时函数不是取得最值，所以直线不是图象的一条对称轴，②错误. 判断③，令，解得. 当时，函数的单调递减区间是，所以在上单调递减，③正确. 判断④，对于正弦函数，其对称中心为. 对于函数，令，. ，此时，所以点不是图象的一个对称中心，④错误. 、 判断⑤，向左平移个单位，根据“左加右减”原则，得到 . 因为，所以是偶函数，⑤正确. 故选：D. 17．（2024高一·河南许昌·期末）若函数与有相同的对称轴，则的所有可能取值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出函数的对称轴为，函数的对称轴为，根据两函数有相同的对称轴可得，判断的可能取值为，再逐一验证是否成立即可. 【解析】函数的对称轴为， 函数的对称轴为， 因为函数与有相同的对称轴， 则， 化为， 因为等式右边是奇数，所以不可能为偶数， 因为，所以的可能取值为， 当时，；当时，； 当时，； 综上，的所有可能取值的个数为3， 故选：C. 18．（2024高一·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【解析】令，解得， 若函数在区间上有且仅有5条对称轴， 则函数在上由小到大的第1条对称轴为， 第2条对称轴为，第3条对称轴为， 第4条对称轴为，第5条对称轴为， 第6条对称轴为，由题意知，， 解得，故D正确. 故选：D 19．（2024高三·安徽合肥月考）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可. 【解析】由的图象关于直线对称可得，， 而，故，. 若，则，故由可知在上有最小值. 所以，. 故选：A． 压轴题型五：正弦（型）函数的单调性 √满分技法 牢记标准正弦函数的单调区间，对于正弦型函数，把它的自变量整体代入标准单调区间，解不等式得到函数的单调区间，注意系数正负对单调性的影响。 20．（2024·山西吕梁·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可. 【解析】因为开口向下，对称轴为， 可知内层函数在区间上单调递增， 当，；当，； 可知， 又因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误. 故选：A. 21．（2024高一·湖南邵阳月考）已知函数，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是（    ） A．对称轴方程是x=+kπ（k∈Z） B．对称中心坐标是（+kπ，0）（k∈Z） C．在区间（﹣，）上单调递增 D．在区间（﹣π，﹣）上单调递减 【答案】D 【分析】根据，利用正弦函数的性质验证求解. 【解析】因为， 令，解得，故A错误； 令，解得，对称中心坐标是，故B错误； 当时，，函数不单调，故C错误； 当时，，函数单调递减，故D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．（2024·湖南常德·模拟预测）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．为偶函数 B．最大值为 C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为 【答案】C 【分析】去绝对值，转化为分段函数，作出函数图象，利用二倍角公式和三角函数的性质逐项判断. 【解析】 如图所示： A. 因为，故为偶函数. B.如图，最大值为. C.由图象，在区间上不单调，故错误 D.由图象，的最小正周期为， 故选：C 【点睛】本题主要考查二倍角公式和三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题. 23．（2024高一·广东深圳·期末）已知函数下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．当时，取得最大值 D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数周期公式可求周期，即可判断A；求出函数单调递减区间，可判断B；将带入解析式计算，可判断C；求出的值可判断D. 【解析】对于选项A：的最小正周期为，故选项A错误； 对于选项B：令，得， 所以在上单调递减，B错误； 对于选项C：， 显然当时，取得最大值，C正确； 对于选项D： ，故，D错误. 故选：C 24．（2024高三·四川甘孜·期中）设函数，则下列结论中正确的是（    ） ①的图象关于点对称 ； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减; ④在上的最小值为0. A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①②选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，③选项，求出，由判断单调性，④选项，求出，由求出最小值. 【解析】对于①，当，，故①正确； 对于②,当，，故②正确； 对于③，当，，则在单调递减，故③正确； 对于④，当，，则在上单调递增，在单调递减，则，故④错误. 故选：A. 25．（2024高一·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【解析】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 26．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【解析】由，为图象的对称轴，得，则， 由在上单调，得，解得， 当时，，由，得，此时， 当时，，当时取得最大值1， 即在上不单调，不满足题意； 当时，，由，得，此时， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 所以的最大值为9. 故选：B 27．（2024高一·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可. 【解析】函数在区间上单调递增且， 所以，解得， 由，则，则， 所以，解得，即正数的取值范围为. 故选：A 28．（2024高一·浙江宁波·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数，对数函数单调性进行放缩，再来比较大小. 【解析】, , , , 由上可得：， 故选：A. 29．（2024高一·北京东城·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【解析】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 30．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，，进而可得，，即得. 【解析】由，得， 则， 解得． 又， ∴， 故，即． 由，得， 则，解得， 因为， 故，即， 综上所述，的取值范围为． 故选：A. 压轴题型六：正弦（型）函数的最值或值域 √满分技法 明确正弦函数的值域范围，考虑函数中系数对函数值的伸缩、平移作用，通过分析自变量取值范围，确定函数能取得的最大值和最小值，进而得到值域。 31．（2024高一·广东·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据对勾函数的单调性以及三角函数的值域即可求解. 【解析】因为，令，则， 由于在单调递减，在单调递增， 故在单调递减， 故，即函数的最大值为， 当时，，函数无最小值， 故选：C． 32．（2024高一·湖南衡阳·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的对称轴，利用正弦函数图象及性质可得区间的端点对应图象上的点关于对称轴对称使得最小，由此求出即可得答案. 【解析】函数中，由，解得， 因此函数的图象对称轴为，周期为， 由正弦函数图象性质知，要使在区间的最大值与最小值的差最小， 当且仅当图象上的点关于的图象对称轴对称， 由的任意性及函数的周期性，不妨取的图象对称轴和， 当对称轴为时，，，， ，； 当对称轴为时，，，， ，， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：确定函数在区间上的图象关于函数的图象对称轴对称是求解问题的关键. 33．（2024·天津·模拟预测）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；                        ②在区间上单调递增； ③在上有4个零点；            ④的值域是. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】函数的定义域为， ， 所以是偶函数，①正确. 当时，， 令，， 函数在区间上单调递增， ，开口向上，对称轴为，故在上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间上单调递增，②正确. ，在区间上，， ，所以在区间上，至少有个零点， 根据对称性可知，在区间上至少有个零点，所以③错误. 由上述分析可知，所以④错误. 综上所述，正确的为①②. 故选：A 34．（2024高一·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可. 【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以 所以， 所以. 故选：B 35．（2024高三·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【解析】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得，解得. 故选：D. 36．（2024高一·广西南宁·期末）设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题中条件，求出，令，，依次列举其最值点和零点，再由题意，得出，求解即可. 【解析】因为，，所以， 令，， 则函数中大于的最值点与零点依次是： 又函数在区间恰有三个最值点和两个零点， 所以只需，解得； 故选：C 37．（2024高三·江苏泰州月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数的问题，根据值域即可求实数的取值范围. 【解析】设，则， 所以，且，又的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 压轴题型七：根据图象求函数解析式 √满分技法 先观察图象的周期，由此确定函数中与周期相关的参数；再看图象的最值，确定函数的振幅；接着找图象上特殊点，如与坐标轴交点，代入函数一般式求解剩下参数，从而确定函数解析式。 38．（2025高三·北京月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A． B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴 【答案】C 【分析】先根据图象得出及周期进而得出判断A，再代入计算判断B，代入验证对称中心及对称轴判断C，D. 【解析】根据图象和题目条件可知，， 所以，解得，A正确； 将代入，可得，解得，B正确； 所以， 令得，， C错误， 令得，，故是函数的一条对称轴，D正确， 故选：C． 39．（2024高一·云南红河·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据函数图象求解析式，结合正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【解析】由图得：，所以最小正周期，则， 当，得，所以， 又，所以，则， 则，故A不正确； 则，不是奇函数，故B不正确； 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 当时，，则在区间上不单调，故D不正确； 故选：C. 40．（2024高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据给定的图象，求出函数的解析式，再逐项分析求解即可. 【解析】观察函数图象，，函数的最小正周期,解得， ，由，得， ，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得， 函数的图象的对称轴为直线，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的单调递增区间为，D正确. 故选：D 41．（2024高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得. 【解析】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，. 故选：B. 压轴题型八：函数图象的变换 √满分技法 函数图象的变换主要包括平移、伸缩和对称。平移时注意“左加右减,上加下减”的原则；伸缩要 看和对图象的影响；对称变换则根据对称轴的方程进行。复合变换时,按顺序逐步进行,注意每一步对图象的影响。 42．（2024高一·全国月考）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】由题可知，是该函数的周期的整数倍，根据可得答案. 【解析】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即， 解得，又，故其最小值为． 故选： B. 43．（2024高三·江西月考）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据三角函数的性质得，，求解. 【解析】因为， 所以，，， 即得，，， 故得，， 当时，的最小值是. 故选：B 44．（2024高一·广东广州·期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数变换即可求解. 【解析】. 故选：D. 45．（2025·贵州安顺·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的平移原则即可得到答案. 【解析】，则. 故选：B. 压轴题型九：正弦（型）函数的图象性质综合 √满分技法 综合考虑周期性、奇偶性、对称性、单调性和最值等性质，分析这些性质之间的联系和影响。遇到问题时，结合多个性质从不同角度思考，利用已知条件逐步推导求解。 46．（2024高一·山西晋城·期末）将函数 图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于点 中心对称 D．的图象关于直线 对称 【答案】D 【分析】根据图像的平移变换先求出，即可判断AB，计算即可判断CD. 【解析】因为函数 图象上的所有点向右平移得函数， 所以， 因为，故A，B错误； ，故C错误；，故D正确. 故选：D. 47．（2024高三·天津月考）关于函数有如下四个命题： 甲：该函数图象的一个对称中心为； 乙：该函数在上单调递增； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲. B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】对四个命题分别为假命题逐一分析，求出对应函数的解析式，结合正弦型函数的基本性质推导即可得出结论. 【解析】若甲为假命题，则乙丙丁正确，即函数图象的一条对称轴方程为， 可得，则， 因为，可得，即， 当时，，即函数在上单调递增； 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得到函数为奇函数， 且，此时，甲为假命题，乙丙丁均为真命题，合乎题意； 若乙为假命题，则丙为真命题，可得函数，由上可知，丁为真命题，甲为假命题，不合乎题意； 若丙为假命题，则甲为真命题，即该函数图象的一个对称中心为， 可得，则， 因为，可得，则函数解析式为， 将该函数的图象向右平移个单位长度， 可得到函数，该函数不是奇函数， 即丁为假命题，不合乎题意； 若丁为假命题，由丙为真命题可知，函数解析式为， 则，即甲为假命题，不合乎题意. 故选：A. 48．（2024高三·天津滨海新月考）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，由正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项. 【解析】对于A选项， ， 因为，所以，可得，A错； 对于B选项，因为，则， 所以函数图象关于点对称，B错； 对于C选项，函数图象向右移个单位后， 得到函数的图象， 由题意可知，函数为偶函数， 所以，解得， 因为，当时，取最小值，C错； 对于D选项，当时，， 故当时，即当时，函数取最大值， 且，D对. 故选：D. 49．（2024高三·天津月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质计算依次判断即可求解. 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故①错误； 函数的最小正周期，但是， 故为非奇非偶函数，即②错误； 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故③正确； 因为，所以不是零点，故④错误； 故选：A 50．（2024高一·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】B 【分析】先根据平移变换的知识求出，根据三角函数的对称性性质将和代入求值检验即可判断选项AD；根据函数图象结合即可判断B；令，求出即可求出的单调递增区间进而得解. 【解析】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解曲线与直线的所有交点中相邻交点距离的最小值时树形结合根据图象性质即可求解. 一、单选题 1．（2024高三·山东月考）已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合函数与方程的关系转化为函数交点问题，再结合正弦函数的对称性求解即可. 【解析】因为，所以，故， 而方程在区间上有两个不相等的实数根， 且令，则在区间上有两个不相等的实数根， 故，，两个根为， 则与在区间上有两个不同的交点， 记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称， 则，解得，而， 得到，即，故C正确. 故选：C 2．（2024高三·山东德州月考）函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数的单调递增区间及零点，由条件列不等式可求结论. 【解析】由，，， 可得， 所以函数的单调递增区间为，， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，所以， 由，，， 可得，， 所以函数的零点的集合为，， 因为函数在上恰有三个零点， 所以，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 故选：D. 3．（2024高三·江西九江月考）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程解得，得到的可能取值，根据题意可得，解出的取值范围即可. 【解析】由方程，可得， 所以， 当时，， 所以的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是， 故选：D 4．（2024高三·山西吕梁·期末）已知函数，若存在常数，使为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，再由为奇函数得到，再由正弦型函数的奇偶性求参数. 【解析】解：因为， 所以， 因为存在常数，使为奇函数，则， 所以， 此时为偶函数， 所以， 因为，所以的最小值为． 故选：D． 5．（2024高一·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【解析】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 6．（2024高三·甘肃月考）若方程 在区间 上有 4 个不同的实根，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得的范围，再结合与曲线的交点即可求解； 【解析】设，得 ， 则问题转化为直线与曲线 在 上有 4 个交点， 于是 ，解得 . 故选： B. 二、多选题 7．（2024高一·山东烟台·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D．若在上有3个零点，则 【答案】ABD 【分析】因为函数的图象关于直线对称，可求得，对于，故选项A正确；再根据正弦型函数的图像及性质逐一判断B、C、D选项即可. 【解析】因为的图象关于直线对称，所以，解得， 又，所以，所以，所以的最小正周期，故选项A正确; 因为，所以的图象关于点对称，故选项B正确; 当时，，所以在区间上不单调，故选项C错误; 当时，，因为在上有3个零点，所以，解得，故选项D正确， 故选: 8．（2024高三·云南楚雄·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】求出定义域可判断A；根据可判断B；由可判断C；由的单调性判断出的单调性可判断D. 【解析】对于A，由，得，A不正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称，B正确； 对于C，因为， 所以不是的周期，C不正确； 对于D， ，当时，， 且函数单调递增，所以在上单调递减，D正确. 故选：BD. 9．（2024高三·江苏无锡月考）已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（   ） A．ω的最小值为 B．若在区间上有且仅有2个对称中心．则 C．若在区间上单调递减，则 D．不可能是的零点 【答案】AD 【分析】根据对称性可得，即可求解A，利用对称性与周期的关系可得即可求解B，利用单调性与周期的关系即可求解C，根据结合对称性即可求解D. 【解析】 直线是函数图象的一条对称轴，则，解得，又，则的最小值为，故A正确； 函数的周期为直线是函数图象的一条对称轴， 且，，因为在区间上有且仅有2个对称中心， ，，解得，又，故B错误； 在区间上单调递减，则必有， 解得不存在，故C不正确. 假设是的零点，则， 解得，与不能同时成立，假设不成立，故D正确； 故选：AD 10．（2024高三·山西太原·期末）已知函数的图象关于对称，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期 B．的图象关于点对称 C．在上递增 D．在上递减 【答案】AB 【分析】由条件得到，结合，确定，再结合正弦型函数的性质逐个判断即可； 【解析】由题意可得：，即， 又，所以， 所以， 对于A，由,正确， 对于B，令,可得， 由，可得，所以的图象关于点对称，正确， 对于C：当时，，正弦函数在此区间上，有增有减，错误， 对于D，时，，正弦函数在此区间上单调递增，故错误， 故选：AB 三、填空题 11．（2024高三·江西·期末）函数在上的值域是，则的取值范围是 【答案】 【分析】分和去绝对值，结合正弦函数的值域求解. 【解析】当时，， 当时，，则， 所以α的取值范围是 故答案为： 12．（2024高一·河北石家庄·期末）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【解析】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 13．（2024高一·北京东城·期末）已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意求出解析式，进而求出对称中心，结合正弦函数性质与给定条件将表示出来，再求解最小值即可. 【解析】因为的一条对称轴为， 所以不妨设，代入解析式中，得到， 而，得到，则， 解得，令，得到， 则，令， 解得，则关于中心对称， 因为，且函数在上具有单调性， 所以由正弦函数性质得，解得， 故，当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为： 14．（2024高一·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 【答案】8 【分析】由三角函数的对称性求出，再由有且只有两条对称轴求出，最后结合三角函数的性质即可求出答案. 【解析】函数关于直线对称， 所以，所以， 要使函数在区间上有且只有两条对称轴，所以, 因为，所以，所以，所以或或； 当时，，则函数只有一个对称轴不合题意； 当时，，则函数有且只有两条对称轴符合题意； 当时，，则函数有三条对称轴不符合题意； 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024高一·广东阳江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，结合已知即可求解的值，从而可得解析式，由的取值范围，结合正弦型函数的性质即可求解最大值； （2）根据和的取值范围可得在上先增后减，由已知恒成立可得关于的不等式组，求解即可． 【解析】（1）令，解得， 由已知得，解得， 所以， 当时，，因为，所以， 又在上单调递增，所以 （2） 因为，所以 又，所以， 所以在上先增后减， 所以即 所以解得，故的取值范围为 16．（2024高一·河南·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若函数在区间上的值域为，求m的取值范围． 【答案】(1)，的单调递减区间为 (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求解；令求得单调减区间； （2）由时，得到，令，画出上的图象，利用数形结合法求解. 【解析】（1）解：函数的最小正周期； 令，，解得，． 即的单调递减区间为． （2）当时，， 令，即， 画出上的图象如图， 因为在的值域为， 所以， 解得，即m的取值范围为． 17．（2024高一·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)最小正周期为，递减区间为，； (2)最小值为，此时；最大值为1，此时. 【分析】（1）先根据求出最小正周期，并整体法求出函数的单调递减区间； （2）先得到，从而得到函数的最值及此时x的值. 【解析】（1）的最小正周期， 令，，解得，， 故的单调递减区间为，； （2）时，， 故当，即时，取得最小值， 最小值为， 当，即时，取得最大值， 最大值为， 所以在区间上的最小值为，此时； 最大值为1，此时. 18．（2024高一·四川宜宾·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)若，满足，求 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数周期公式来求解最小正周期；整体代入，利用正弦函数的单调性来确定； （2）结合函数图象的对称性来分析求解即可. 【解析】（1）最小正周期， 令的单调增区间是 且由得 单调递增区间为 （2） 又， ， 19．（2024高一·广东惠州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在上的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入点坐标求得，得解析式，再计算函数值； （2）由图象变换得出的的解析式，然后由正弦函数的单调性求得增区间． 【解析】（1）由图形可得， ， ， 解得， 因为过点， 所以，即， 所以， 又因为，所以， 故 所以 （2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍， 得到， 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象， 所以， 【方法一】令， 则， 因为，所以， 所以在上的单调递增区间为 【方法二】令，所以， 因为的单调递增区间为， 且由，得， 所以在上的单调递增区间为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$