1.2.2 直角三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用“HL”定理解决实际问题． 2.能用尺规完成作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形. 情境&导入 如果已知在两个三角形中已知两边对应相等时， 附加一个什么条件可以说明这两个三角形全等？ 两边的夹角也对应相等时，这两个三角形全等． 如果其中一边的对角对应相等时，它们还全等吗？ B A C (1) B′ A′ C′ (2) B′ A′ C′ (3) 3 探索&交流 直角三角形全等的判定 1— 做一做 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角 α. 求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC = a，AB = c. a b 探索&交流 (1) 先画 ∠MCN＝∠α＝90°. (2) 在射线 CM 上截取 CB＝a. A M C M (3) 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A. (4) 连接 AB，得到Rt△ABC. B α a c 探索&交流 已知：如图，在△ABC 与△A'B'C' 中，∠C=∠C'= 90°，AB = A'B'，AC = A'C'. 求证：△ABC ≌ △A'B'C'. A C B A' C' B' 探索&交流 证明：在△ABC 中，∵∠C = 90°， ∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）. 同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2. ∵AB = A'B'，AC = A'C'， ∴BC = B'C'. ∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）. A C B A' C' B' 探索&交流 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”. 几何语言： 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ 例题&解析 解：根据题意，可知 ∠BAC =∠EDF = 90°， BC = EF，AC = DF， ∴Rt△BAC ≌Rt△EDF（HL）. ∴∠B =∠DEF（全等三角形的对应角相等）. ∵∠DEF +∠F = 90°（直角三角形的两锐角互余）. ∴∠B +∠F = 90°. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD ＝ EF. ∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 例3.如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE. 练习&巩固 1.下列可使两个直角三角形全等的条件是(　　) A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 B 练习&巩固 2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，且 AB ＝ 6 cm，则△DEB 的周长为____cm. A C B D E 6 练习&巩固 3.如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC =∠BDC = 90°. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， CE = BD， BC = CB， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 小结&反思 直角三角形全等的判定定理: SSS，SAS，ASA，AAS，HL； 综上所述，直角三角形全等的判定条件可归纳为: 1.一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等. 2.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. $$