1.2.1 直角三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.1 直角三角形 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.能够证明直角三角形的性质定理和判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要 2.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 情境&导入 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余. 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 探索&交流 直角三角形中角的关系 1— 想一想 （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ （2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 探索&交流 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ △ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°. 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么? ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形 ∴∠C = 90°. 探索&交流 定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 探索&交流 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. a c b 勾 弦 股 探索&交流 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， 探索&交流 c ∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2 c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ， c 2 = a 2 + b 2， ∴ a 2 + b 2 = c 2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　 　　 ． c 2 4× ab +( b - a ) 2 赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 探索&交流 反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论. 已知：如图 ，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 A B C 探索&交流 证明：如图作 Rt△A'B'C'， A' B' C' 使∠A'=90°，A'B'=AB，A’C' =AC， 则 A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理） ∵AB2+AC2 =BC2， ∴BC2=B'C'2. ∴BC=B'C'. ∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. ∴∠A=∠A'= 90°. 因此，△ABC 是直角三角形. A B C 探索&交流 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3) 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4) 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 例题&解析 例题欣赏 ☞ 试一试 A 例1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　) 探索&交流 议一议 观察前面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流。 上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件． 探索&交流 再观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 观察上面三组命题，你发现了什么? 探索&交流 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 探索&交流 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗? 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 举特例： 原命题：2 = 2，22 = 22； 逆命题：(2)4 = (-2)4，2 ≠ -2 此原命题是真命题；逆命题是假命题. 想一想 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假: （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0. 解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0，b = 0，那么ab = 0.原命题是假，逆命题是真. 练习&巩固 1.下列说法正确的是(　 ) A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D．真命题的逆命题是真命题 B 练习&巩固 2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 练习&巩固 解：由题意得：(a + b)(a–b)(a2 + b2 –c2) = 0， ∴ a–b = 0 或 a2 + b2 –c2 = 0. 3. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满足 ，试判断△ABC 的形状. 当 a = b 时，△ABC 为等腰三角形； 当 a ≠ b 时，△ABC 为直角三角形. 小结&反思 1.定理 直角三角形的两个锐角互余. 2.定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 4.定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. $$