1.1.4 等腰三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1.4 等腰三角形 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用. 2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题. 3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力. 情境&导入 等边三角形有哪些性质？ 等边三角形的性质： (1)等边三角形的三边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等． PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 探索&交流 等边三角形的判定 1— 思考 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 探索&交流 A B C （1）三个角都相等的三角形是等边三角形 证明：∵∠B =∠A = 60° ， ∴AC = BC（等角对等边）. ∵∠B =∠C = 60°， ∴AC = AB， ∴AC = AB = BC . 探索&交流 （2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 证明：若 AB ＝AC，∠A ＝60°， 则∠B = ∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB＝AC＝BC （有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）. A B C 探索&交流 证明： ②若AB＝AC，∠B＝∠C = 60°， 则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB＝AC＝BC ∴△ABC 是等边三角形. A B C 探索&交流 判定定理1　三个角都相等的三角形是等边三角形. 判定定理2　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 应用注意事项： 判定定理1 在任意三角形中都适用， 判定定理2 适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法． 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 探索&交流 做一做 用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由. 探索&交流 定理　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 探索&交流 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB. 1 2 探索&交流 如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. ∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°. ∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°. ∴AC ＝AC, ∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形） ∴ BC＝ BD＝ AB. 探索&交流 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 要点精析： (1)适用条件——含30°角的直角三角形， (2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系． 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC＝ AB．(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半) A B C 30° 拓展推论：BC∶AC∶AB ＝ 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB. 1 2 B A D C 例题&解析 证明：在△ABC 中， ∵AB = AC，∠B = 15°， ∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）. ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°. ∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°. ∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） ∴CD= AB. 1 2 1 2 例题&解析 例题欣赏 ☞ 证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90° ∴ BC = ∠B = 60°． ∴∠BCD = 30°． ∴ BD = ∴ BD = 例3.已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝ D A C B 30° 练习&巩固 1.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 B 练习&巩固 2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则 AC =____，BC =_____． A B C 3 30° 6 练习&巩固 3.如图，△ABC 是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3. 判断△DEF 的形状，并简要说明理由. 1 2 3 A B C D E F 练习&巩固 1 2 3 A B C D E F ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C， 又∵∠1 =∠2 =∠3， ∴∠DAC =∠FCB =∠ABE. ∵ ∠DFE =∠DAC +∠3 ， ∠FED =∠2 +∠FCB， ∠EDF =∠1 +∠ABE， ∴∠DFE =∠FED =∠EDF， ∴△DEF 是等边三角形 . 解： △DEF 是等边三角形. 小结&反思 等边三角形的判定方法： 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． (2) 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． $$