培优专题 幂的运算（知识盘点+13题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

培优专题 幂的运算 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂 提示 同底数冥中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但和不是同底数算，因为它们的底数不相同． 同底数幂的乘法运算性质 1.运算性质 对于任意的底数，当是正整数时，由乘方的意义和乘法结合律知： 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．符号表示：（ 是正整数）。 这样，同底数幂的乘法就转化为指数的加法了． 注意 （1）同底数幂的乘法运算性质只有在底数相同且是乘法时才能使用. （2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂,不要误以为没有指数.进行同底数幂的乘法运算时,不能忽略单个字母或数字的指数 2.拓展 (1)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质.如: 是正整数 ． 特别地， （2） 将同底数幂的乘法运算性质反过来，即是正整数 ，也就是说，可以把一个幂分成两个同底数幂的积，这两个同底数幂的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数，如．这就是同底数幂的乘法运算性质的逆向运用． 提示 对于同底数幂的乘法，只要底数相同，指数就可以相加，如；而对于整式的加法，不仅要求底数相同，还要求相同底数罙的指数也相同才能相加，如，而是不能进行加法运算的． 计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，且n是正整数）； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）至（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 幂的乘方 1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘 2.幂的乘方运算性质 幂的乘方,底数不变,指数相乘 用符号表示为：（ 是正整数）． 推导：对于任意的底数，当是正整数时，. 3. 幂的乘方与同底数幂的乘法的联系与区别 （1）联系：幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法 ．如；指数相同的几个同底数幂的乘法可以转化为幂的乘方，如 ． （2）区别:幂的乘方是指几个相同的幂相乘,其运算性质是底数不变,指数相乘;同底数幂的乘法是指底数相同 的几个幂相乘,其运算性质是底数不变,指数相加. 注意 (1)“底数不变"是指幂的底数不变，“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘. (2)底数可以是一个单项式也可以是一个多项式. 拓展 （1）将反过来，可得到，或者（ 是正整数）。如： ．这就是帛的乘方运算性质的逆向运用。即当幂的指数以积的形式出现时，可以转化为幂的乗方。（2）幂的乘方也可以推广，即是正整数）。 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方法则计算即可得； （2）根据幂的乘方法则计算即可得； （3）根据幂的乘方法则计算即可得； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【方法技巧】 逆用幂的乘方求式子的值的方法 把指数是积的形式的帛写成幂的乘方，如 （ 都是正整数），然后整体代入求式子的值． 积的乘方 1．积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如；等。 2.积的乘方运算性质 积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。 用符号表示为：（是正整数）． 推导：对于任意底数，当是正整数时， 提示 积的乘方表示与先乘积后乘方，与与先分别乘方再求积的效果是相同的，其中可以是数，也可以是单项式或多项式等，如． 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方进行计算即可求解； （2）根据积的乘方进行计算即可求解； （3）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 同底数幂的除法运算性质 1．性质的推导 对于任意不等于0的底数，当是正整数，且 2.性质 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 用符号表示为是正整数， ． 3．拓展 （1）同底数幂的除法性质可推广到三个或三个以上的同底数幂相除，如： 是正整数，）． （2）同底数幂的除法性质可逆用，即是正整数，，即当幂的指数以差的形式出现时,可转化为同底数幂相除的形式。 提示 （1）底数可以是单项式，也可以是多项式，但底数不能为0，若为0，则除数为0，除法就没有意义了。 （2）同底数幂的除法和同底 数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法结果可以用同底数幂的乘法来检验。 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方运算等知识． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂除法即可； （3）利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 零指数幂与负整数指数幂 1．零指数幂 规定任何不等于0的数的0次幂等于1． 用符号表示为：。 的推导过程：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，由除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有． 2．负整数指数幂 规定任何不等于0的数的（ 是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数． 用符号表示为：是正整数 。 特别地，． 是正整数的推导过程：如果把公式是正整数，推广到的情形，那么有，而，所以 是正整数 ． 【重要提示】 （1）零指数幂的意义是由除法运算产生的。由于0不能作除数，所以中限定．因此，零的零次幂没有意义。 （2）底数可以是不为零的单项式或多项式，如等。 计算： 【答案】8 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂．直接利用零指数幂的性质以及乘方、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【技巧总结】 (1)计算零指数幂时，只要底数不为0而指数为0,不论底数多么复杂,结果都为1. (2)计算负整数指数幂时，先把负整数指数幂化为对应正整数指数幂的倒数,再利用正整数指数幂的运算性质进行计算。 幂的运算性质的推广 规定了零指数幂，负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质可以扩展为 为整数 ．当幂的指数从正整数推广到整数后，正整数指数幂的各种运算性质仍然适用． 【重要提示】 （1）由负整数指数幂的意义，知 ，其中是整数，这就是说同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． （2）如，这说明可以把积的乘方运算性质推广到商的乘方运算． 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)） (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的运算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）先进行幂的运算，再进行加减运算即可； （3）先进行幂的运算，再合并同类项即可； （4）先进行幂的运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【归纳总结】 （1）是整数 ；（2）是整数）； （3）（是整数）；（4）是整数， 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一般地，用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成的形式，其中是正整数。例如：． 规定了负整数指数幂后，对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为的形式，其中 是正整数． 根据负整数指数幂 的意义可知0.1 所以 ． 【归纳总结】 用科学记数法把绝对值小于1的数表示成的形式时，的取值规律：为的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）． 用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于的数，负整数指数幂的运算等知识． （1）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答； （2）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答； （3）先根据积的乘方和幂的乘方化为，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 同底数幂相乘 例1（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意； B、，故该选项是错误的，不符合题意； C、，故该选项是正确的，符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 【变式1-3】（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． （1）设，求出，用，求出的值，进而求出S的值； （2）设，则的值，同理可得结果． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， ， 即； （2）解：设， 则， ， ， ， 则． 【方法总结】 深刻理解“底数”可以是一个单项式或一个多项式,能把非同底数幂转化为同底数幂,加强整体分析问题的意识,熟练性质的运用,提高快速运算的能力,培养了运算能力。 同底数幂乘法的逆用 例2（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 【变式2-1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果． 【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算， （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算、的值，即可求解； （3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，3． （2）解：依题意，，、 ∴； （3）解：根据题意得： ，， ， ． 【变式2-3】（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：____________，_____________； (2)小明在计算的时候，采用了以下方法： 设，      通过以上计算，我们猜想____________． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可； （2）理解题中的运算步骤，设，，对式子进行变形，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：， （2）设，，则， ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练幂的有关运算． 【方法总结】 逆向运用运算性质，可以加深对运算性质的理解，同时也能训练我们的逆向思维,提高运算能力 幂的乘方运算 例3（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项． （1）先将4和8化为以2为底数的幂，再进行计算即可； （2）根据幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-1】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，单项式乘单项式法则计算，掌握幂的运算性质，单项式乘单项式法则是解本题的关键． 利用幂的运算性质以及单项式乘单项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 【变式3-2】若，均为正整数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，二元一次方程的解，先把化为，化为，得出，即，因为，均为正整数，求出，即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，均为正整数， ∴或， ∴或， 故选：． 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【详解】（1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则，深刻理解题中新定义是解题的关键． 幂的乘方的逆用 例4（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，根据，得到，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：16． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若，则的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，先根据已知条件，求出的值，再把所求代数式中幂的底数化成，然后利用同底数幂的乘法运算，最后把的值代入计算即可，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法法则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 【变式4-3】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）求值： (1)已知，求x的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)2 (2)24 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）将底数变为3，进行化简计算即可； （2）将式子化简成，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 即 解得 （2） ∵ ∴原式 积的乘方运算 例5（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方及同底数幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先变换，即，再计算，最后找到关于的方程式即可得出答案； （2）利用同底数幂的乘法运算法则即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，则m、n的值分别为（    ） A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6 【答案】A 【分析】根据得，得到，计算即可，本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据得， 故， 解得， 故选A． 【变式5-2】（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，，则______． （2）若，求． （3）若，，，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则． （1）根据乘方的意义，把加法运算写成乘法运算，再按照同底数幂相乘法则进行计算，从而求出，再求出即可； （2）把和分别写成底数是和的幂，然后根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，求出即可； （3）根据已知条件，利用幂的乘方法则进行计算，从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ； （3） ， ． 【变式5-3】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 【方法总结】 解题关键是明确运算顺序:先算积的乘方,再算幂的乘方、同底数幂相乘,最后算加减,有括号的先算括号里面的,培养了运算能力. 积的乘方的逆用 例6（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算变形为，再利用积的乘方的逆运算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【变式6-3】（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【答案】(1)0.25，4，1； (2)①；②4． 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． （1）根据乘法的交换律、积的乘方的逆用等计算即可； （2）①仿照小李的解题方法计算即可； ②根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算得出，求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）① ； ② ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 【方法总结】 逆用幂的运算性质求值 在进行幂的化简求值时，（1）当有指数相同的两个㑸或几个葛相乘时，若底数的积易求，则逆用积的乘方运算性质（为正整数），可先把底数相乘再做乘方运算。 （2）当幂的指数是积的形式时，可逆用幂的乘方运算性质 （都是正整数），写成幂的乘方形式使运算简便。 （3）当幂的指数是和的形式时，可逆用同底数幂的乘法的运算性质（都是正整数），写成同底数幂相乘的形式简化运算． 同底数幂的除法运算 例7（23-24七年级下·江苏连云港·期末）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，同底数幂相除，幂的乘方等．根据题意先将整理，再利用同底数幂相除得，再利用条件即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法混合计算； （1）先根据幂的乘方的逆运算法则得到，进而根据同底数幂乘法的逆运算和同底数幂除法的逆运算法则得到，则，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，则，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 【变式7-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，负整数指数幂，先求出，再由幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方计算法则把原式变形为，进而根据同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【易混易错提醒】 忽略指数“1”致错 当一个数或一个字母或一个代数式的指数为 1 时，这个指数一般不写，但不能忽略. 同底数幂除法的逆用 例8若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 【变式8-1】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为（　　） A．14 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的性质的逆运用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的逆用进行计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：C． 【变式8-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)48 (3)3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法及幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则和幂的乘方法则． （1）根据已知条件，逆用同底数幂的除法法则，把幂写成同底数幂相除的形式，再代入计算即可； （2）根据已知条件，逆用同底数幂相乘法则和幂的乘方法则进行计算即可； （3）把已知条件中的等式中的换成2，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，从而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）当时，， 即：， ∴． 【变式8-3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)108； (2)． 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可； （2）利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】（1）， ． （2）， ． 幂的混合运算 例9（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)13 【分析】此题主要考查了绝对值的性质和零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算等知识，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则化简，再合并同类项得出答案； （2）直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而化简利用有理数的加减运算法则得出答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式9-1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整数幂的混合计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再算加减法即可； （2）先算同底数幂乘法、积的乘方，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 零指数幂 例10若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式10-1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：完成下列问题： (1)已知，则的取值范围是__________； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，即可求出的取值范围； （2）由已知得或且为偶数或时，，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是：， 故答案为：； （2）解：， 或且为偶数或时，， 解得：或或， 的值为． 【点睛】本题主要考查零指数幂的运算，解答此题的关键是要熟练掌握：． 【变式10-2】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， 故选：B． 负整数指数幂 例11（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据同底数幂的除法求出，运用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方的逆运算等知识再化简计算，问题即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 则， ∵ ， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，负整数指数幂等知识，求出，是解答本题的关键． 【变式11-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，幂的运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂化简计算即可； （2）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式11-2】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）规定一种新运算：，其中a，b为有理数． (1)计算：_____； _____； (2)计算：； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)1； (2)1 (3)2023 【分析】本题主要考查了新定义，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据新定义结合零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可； （2）根据新定义得到所求式子为，据此利用积的乘方的逆运算法则求解即可； （3）根据题意得到，进而得到，则，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1；； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 用科学记数法表示绝对值小于1的数 例12（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【详解】 故答案为：． 【变式12-1】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）某种病毒直径为，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式12-2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式12-3】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）五一节后，迎来了第二波新冠病毒感染的高峰期，已知新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为0.00000012米，用科学记数法表示数据0.00000012为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：0.00000012用科学记数法表示为， 故答案为：． 【方法总结】 用科学记数法把绝对值小于1的数表示成的形式时，的取值规律： 为的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）． 还原用科学记数法表示的小数 例13（23-24七年级下·江苏徐州·期中）已知某种气体的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（   ） A．0.000132 B．0.0132 C．0.00132 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法：（其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：用小数表示为0.00132． 故选：C 【变式13-1】（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将科学计数法转化为一般计数法即可． 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，明确负整数指数幂的含义是解题的关键． 【变式13-2】在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按“=”键，这个数被化为科学记数法的形式，则这个数用小数表示出来是 ． 【答案】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】主要考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法是基本表示方法是解题关键． 【变式13-3】某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法表示绝对值大于10的数，“还原”成原数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示绝对值小于1的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 【详解】解：； 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，把一个数表示成科学记数法的形式及把用科学记数法表示的数进行还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法，熟练掌握此方法是解题关键． 【变式13-4】用科学记数法表示的数写成小数是 ． 【答案】 【分析】利用科学记数法逆运算把数写成小数形式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的逆运算，将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 例1 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了整式的运算、零指数幂和负整数指数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则运算即可得出答案； （2）根据零指数幂和负整数指数幂运算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 例2计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据互为相反数的偶次幂相等，可化为同底幂的乘法，根据同底数幂的乘法可得答案． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：C． 3．（22-23八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 4．下列计算准确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及除法、幂的乘方，合并同类项，根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，积的乘方进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A．，计算错误，故A选项不符合题意； B．，计算错误，故B选项符合题意； C．，计算错误，故C选项不符合题意； D．，计算正确，故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 7．已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：16． 8．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 先将化为，将化为，再根据积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．已知，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，先把已知等式的左边写成底数是的幂，然后根据同底数幂的乘除法则进行计算，从而求出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 10．已知，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．先逆运用幂的乘方法则，再运用同底数幂的乘法法则，最后代入已知得结论． 【详解】解：， ． 故答案为：1 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方计算后再合并同类项即可； （2）利用乘方、零指数幂、负整数指数幂计算后，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2） 12．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 13．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，注意运算顺序，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 幂的运算 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂 提示 同底数冥中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但和不是同底数算，因为它们的底数不相同． 同底数幂的乘法运算性质 1.运算性质 对于任意的底数，当是正整数时，由乘方的意义和乘法结合律知： 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．符号表示：（ 是正整数）。 这样，同底数幂的乘法就转化为指数的加法了． 注意：（1）同底数幂的乘法运算性质只有在底数相同且是乘法时才能使用.（2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂,不要误以为没有指数.进行同底数幂的乘法运算时,不能忽略单个字母或数字的指数 2.拓展 (1)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质.如: 是正整数 ． 特别地， （2） 将同底数幂的乘法运算性质反过来，即是正整数 ，也就是说，可以把一个幂分成两个同底数幂的积，这两个同底数幂的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数，如．这就是同底数幂的乘法运算性质的逆向运用． 提示：对于同底数幂的乘法，只要底数相同，指数就可以相加，如；而对于整式的加法，不仅要求底数相同，还要求相同底数罙的指数也相同才能相加，如，而是不能进行加法运算的． 计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，且n是正整数）； (5)； (6)． 幂的乘方 1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘 2.幂的乘方运算性质 幂的乘方,底数不变,指数相乘 用符号表示为：（ 是正整数）． 推导：对于任意的底数，当是正整数时，. 3. 幂的乘方与同底数幂的乘法的联系与区别 （1）联系：幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法 ．如；指数相同的几个同底数幂的乘法可以转化为幂的乘方，如 ． （2）区别:幂的乘方是指几个相同的幂相乘,其运算性质是底数不变,指数相乘;同底数幂的乘法是指底数相同 的几个幂相乘,其运算性质是底数不变,指数相加. 注意：(1)“底数不变"是指幂的底数不变，“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘.(2)底数可以是一个单项式也可以是一个多项式. 拓展 （1）将反过来，可得到，或者（ 是正整数）。如： ．这就是帛的乘方运算性质的逆向运用。即当幂的指数以积的形式出现时，可以转化为幂的乗方。（2）幂的乘方也可以推广，即是正整数）。 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧】 逆用幂的乘方求式子的值的方法 把指数是积的形式的帛写成幂的乘方，如 （ 都是正整数），然后整体代入求式子的值． 积的乘方 1．积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如；等。 2.积的乘方运算性质 积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。 用符号表示为：（是正整数）． 推导：对于任意底数，当是正整数时， 提示 积的乘方表示与先乘积后乘方，与与先分别乘方再求积的效果是相同的，其中可以是数，也可以是单项式或多项式等，如． 计算： (1)； (2)； (3)． 同底数幂的除法运算性质 1．性质的推导 对于任意不等于0的底数，当是正整数，且 2.性质 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 用符号表示为是正整数， ． 3．拓展 （1）同底数幂的除法性质可推广到三个或三个以上的同底数幂相除，如： 是正整数，）． （2）同底数幂的除法性质可逆用，即是正整数，，即当幂的指数以差的形式出现时,可转化为同底数幂相除的形式。 提示 （1）底数可以是单项式，也可以是多项式，但底数不能为0，若为0，则除数为0，除法就没有意义了。 （2）同底数幂的除法和同底 数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法结果可以用同底数幂的乘法来检验。 计算： (1)； (2)； (3)． 零指数幂与负整数指数幂 1．零指数幂 规定任何不等于0的数的0次幂等于1． 用符号表示为：。 的推导过程：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，由除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有． 2．负整数指数幂 规定任何不等于0的数的（ 是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数． 用符号表示为：是正整数 。 特别地，． 是正整数的推导过程：如果把公式是正整数，推广到的情形，那么有，而，所以 是正整数 ． 【重要提示】 （1）零指数幂的意义是由除法运算产生的。由于0不能作除数，所以中限定．因此，零的零次幂没有意义。 （2）底数可以是不为零的单项式或多项式，如等。 计算： 【技巧总结】 (1)计算零指数幂时，只要底数不为0而指数为0,不论底数多么复杂,结果都为1. (2)计算负整数指数幂时，先把负整数指数幂化为对应正整数指数幂的倒数,再利用正整数指数幂的运算性质进行计算。 幂的运算性质的推广 规定了零指数幂，负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质可以扩展为 为整数 ．当幂的指数从正整数推广到整数后，正整数指数幂的各种运算性质仍然适用． 【重要提示】 （1）由负整数指数幂的意义，知 ，其中是整数，这就是说同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． （2）如，这说明可以把积的乘方运算性质推广到商的乘方运算． 计算： (1) (2) (3) (4) 【归纳总结】 （1）是整数 ；（2）是整数）； （3）（是整数）；（4）是整数， 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一般地，用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成的形式，其中是正整数。例如：． 规定了负整数指数幂后，对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为的形式，其中 是正整数． 根据负整数指数幂 的意义可知0.1 所以 ． 【归纳总结】 用科学记数法把绝对值小于1的数表示成的形式时，的取值规律：为的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）． 用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3) 同底数幂相乘 例1（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【变式1-3】（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 【方法总结】 深刻理解“底数”可以是一个单项式或一个多项式,能把非同底数幂转化为同底数幂,加强整体分析问题的意识,熟练性质的运用,提高快速运算的能力,培养了运算能力。 同底数幂乘法的逆用 例2（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【变式2-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【变式2-3】（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：____________，_____________； (2)小明在计算的时候，采用了以下方法： 设，      通过以上计算，我们猜想____________． 【方法总结】 逆向运用运算性质，可以加深对运算性质的理解，同时也能训练我们的逆向思维,提高运算能力 幂的乘方运算 例3（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式3-1】已知，求的值． 【变式3-2】若，均为正整数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 幂的乘方的逆用 例4（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知，则的值为 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若，则的结果是 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【变式4-3】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）求值： (1)已知，求x的值； (2)已知，求的值． 积的乘方运算 例5（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，求的值； （3） 若，，，求证． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，则m、n的值分别为（    ） A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6 【变式5-2】（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，，则______． （2）若，求． （3）若，，，求． 【变式5-3】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【方法总结】 解题关键是明确运算顺序:先算积的乘方,再算幂的乘方、同底数幂相乘,最后算加减,有括号的先算括号里面的,培养了运算能力. 积的乘方的逆用 例6（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： ． 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【变式6-3】（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【方法总结】 逆用幂的运算性质求值 在进行幂的化简求值时，（1）当有指数相同的两个㑸或几个葛相乘时，若底数的积易求，则逆用积的乘方运算性质（为正整数），可先把底数相乘再做乘方运算。 （2）当幂的指数是积的形式时，可逆用幂的乘方运算性质 （都是正整数），写成幂的乘方形式使运算简便。 （3）当幂的指数是和的形式时，可逆用同底数幂的乘法的运算性质（都是正整数），写成同底数幂相乘的形式简化运算． 同底数幂的除法运算 例7（23-24七年级下·江苏连云港·期末）若，则 ． 【变式7-1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【变式7-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3) 当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【变式7-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，则 ． 【易混易错提醒】 忽略指数“1”致错 当一个数或一个字母或一个代数式的指数为 1 时，这个指数一般不写，但不能忽略. 同底数幂除法的逆用 例8若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为（　　） A．14 B．24 C．6 D．10 【变式8-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当时，求的值． 【变式8-3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，求： (1)； (2)． 幂的混合运算 例9（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 【变式9-1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) ． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式9-3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 零指数幂 例10若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：完成下列问题： (1)已知，则的取值范围是__________； (2)已知，求的值． 【变式10-2】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 负整数指数幂 例11（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【变式11-2】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）规定一种新运算：，其中a，b为有理数． (1)计算：_____； _____； (2)计算：； (3)当时，求x的值． 用科学记数法表示绝对值小于1的数 例12（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ． 【变式12-1】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）某种病毒直径为，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 【变式12-3】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）五一节后，迎来了第二波新冠病毒感染的高峰期，已知新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为0.00000012米，用科学记数法表示数据0.00000012为 ． 【方法总结】 用科学记数法把绝对值小于1的数表示成的形式时，的取值规律： 为的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）． 还原用科学记数法表示的小数 例13（23-24七年级下·江苏徐州·期中）已知某种气体的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（   ） A．0.000132 B．0.0132 C．0.00132 D． 【变式13-1】（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按“=”键，这个数被化为科学记数法的形式，则这个数用小数表示出来是 ． 【变式13-3】某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【变式13-4】用科学记数法表示的数写成小数是 ． 例1 计算： (1) (2) 例2计算： (1)； (2)； (3)； 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列计算准确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 7．已知，则的值为 ． 8．计算的结果是 ． 9．已知，则代数式 ． 10．已知，则的值是 ． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 12．用简便方法计算： 13．计算： (1)； (2) 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$