第8章 认识概率（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第八章 概率统计（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．每天早上，太阳从西边升起 B．阴天一定会下雨 C．通常情况下，抛出的篮球会下落 D．男生的身高一定比女生高 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、每天早上，太阳从东边升起，故本选项属于不可能事件，不符合题意； B.、阴天不一定会下雨，故本选项属于随机事件，不符合题意； C、通常情况下，抛出的篮球会下落，故本选项属于必然事件，符合题意； D、男生的身高一不定比女生高，故本选项属于随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 249 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】D 【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近， 所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大． 3．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】C 【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】解：由题可得：312（个）． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 4．在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有4个，每次将球搅搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出大约是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%，由此可以确定摸到红球的概率为25%，而n个小球中红球只有4个，由此即可求出n． 【详解】∵摸到红球的频率稳定在25%， ∴摸到红球的概率为25%， 而m个小球中红球只有4个， ∴摸到红球的频率为．解得． 故选C． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用摸到红球的频率稳定在25%. 5．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量． 【详解】设白球有x个，根据题意得： ， 解得：x=5， 即白球有5个， 故选A． 【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 6．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 【答案】C 【分析】根据概率的公式，分别计算出概率，比较即可． 【详解】解：A、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“A”的结果有4种，所以概率=， B、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“大王”的结果有1种，所以概率=， C、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“黑桃”的结果有13种，所以概率=， D、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取这张牌的点数是10有4种，所以概率=， ∵＞＞， ∴发生的可能性最大的事件是从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到这张牌是“黑桃”， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是掌握如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 k 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P ( A )=． 7．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，（背面朝上）从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（    ） A．两张卡片的数字之和等于2 B．两张卡片的数字之和大于2 C．两张卡片的数字之和等于8 D．两张卡片的数字之和大于8 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：列表如下 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 根据表格中数据可得： A、两张卡片的数字之和等于2，是不可能事件； B、两张卡片的数字之和大于2，是必然事件； C、两张卡片的数字之和等于8，是随机事件； D、两张卡片的数字之和大于8，是随机事件； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：个人一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天的步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐赠了6.4元，且甲的步数<乙的步数<丙的步数，则下面说法不正确的是（    ） A．甲可能走了10000步 B．乙可能走了17000步 C．丙可能走了20000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了50000步 【答案】B 【分析】甲乙丙三人某天通过步数共捐赠了6.4元，可得三人走路的步数的最小值，依据甲的步数<乙的步数<丙的步数可得甲走路的步数必定小于平均数，而丙走路的步数必定大于平均数，进而得出结论． 【详解】解：∵6.4÷0.0002=32000（步）， ∴平均每人走路的步数为32000÷3≈10667（步）， ∵甲的步数<乙的步数<丙的步数， ∴甲走路的步数必定小于平均数，而丙走路的步数必定大于平均数， ∴甲可能走了10000步，丙可能走了20000步，故A、C选项正确； 若乙走了17000步，则乙和丙的步数之和大于32000步，不合题意，故B选项错误； 若丙走路32000步，而甲乙两人走路步数都小于10000步，则甲、乙、丙三人可能共走了50000步，故D选项正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了随机事件及平均数，熟练掌握随机事件及平均数是解题的关键． 9．甲、乙两人做掷骰子游戏，规定：一人掷一次，若两人所投掷骰子的点数和大于7，则甲胜；否则，乙胜，则甲、乙两人中（　　） A．甲获胜的可能更大 B．甲、乙获胜的可能一样大 C．乙获胜的可能更大 D．由于是随机事件，因此无法估计 【答案】C 【分析】先确定两人所投掷骰子的点数和共有36种等可能的结果数，找出点数和大于7的结果数为15，则可分别计算出甲、乙获胜的概率，然后比较概率的大小进行判断． 【详解】一人掷一次，两人所投掷骰子的点数和共有36种等可能的结果数，其中点数和大于7的结果数为15，所以甲胜的概率==；乙胜的概率==，所以乙获胜的可能更大． 故选C． 【点睛】本题考查了可能性的大小：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． 10．如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大 A．东 B．北 C．西 D．南 【答案】C 【分析】本题考查了事件的可能性判断，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能，到了第二个路口，则需要剔除掉来时的方向，据此作答即可． 【详解】解：该车是一直向西行驶，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能． 而如果第一个路口如向西，则第二个路口就没有向东的可能； 如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向北的可能； 如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南的可能； 但是这三种情况下，都有向西的可能． 所以它一直向西行驶的概率较大． 故选：C． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．“a是实数，”这一事件是 事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答． 【详解】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值， 因为a是实数， 所以|a|≥0． 故答案为：必然事件． 【点睛】此题主要考查了必然事件概念以及绝对值的性质，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 ． 【答案】14 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在20%和45%， ∴摸到白球的频率为1-20%-45%=35%， 故口袋中白色球的个数可能是40×35%=14个． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值． 13．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ． 【答案】0.84 【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可． 【详解】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84， ∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84． 故答案为：0.84． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是熟练运用频率估计概率解决问题． 14．综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为 ．（结果精确到） 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 【答案】 【分析】观察表格得到这种黄豆发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种黄豆发芽的概率． 【详解】当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，黄豆发芽的概率估计值是0.95． 故答案为：0.95． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 15．为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在使用过A、B、C三款软件后进行评分，统计结果如下： 五星 四星 三星 两星 一星 合计 A 52 30 13 3 2 100 B 49 36 10 4 1 100 C 35 30 25 6 4 100 （说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）． 李老师选择 （填“A”、“B”或“C”）款网上授课软件，能更好的开展线上学习（即评价不低于四星）的可能性最大． 【答案】B 【分析】分别求出三款软件评价不低于四星的比例，然后再进行比较即可得到结论． 【详解】A软件的综合评价不低于四星的比例为：（52+30）÷100=0.82； B软件的综合评价不低于四星的比例为：（49+36）÷100=0.85； C软件的综合评价不低于四星的比例为：（35+30）÷100=0.65； 0.65＜0.82＜0.85 故李老师选择B款网上授课软件，能更好的开展线上学习的可能性最大． 故答案为：B． 【点睛】考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 16．一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是 ． 【答案】m+n＝10． 【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案． 【详解】∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， ∴m与n的关系是：m+n＝10． 故答案为m+n＝10． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键． 17．生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 只． 【答案】10000 【分析】由题意可知：重新捕获500只，其中带标记的有5只，可以知道，在样本中，有标记的占到．而在总体中，有标记的共有100只，根据比例即可解答． 【详解】解：100÷=10000只． 故答案为10000． 【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息． 18．班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是 ． 【答案】18＜a≤33 【分析】利用随机事件的定义进而得出答案. 【详解】∵班里有18个男生15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到的是必然事件， ∴18＜a≤33. 【点睛】本题考查的知识点是随机事件的定义，解题关键是正确把握定义． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分） 19．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定事件，哪些是不可能事件？ 事件1：三条边对应相等的两个三角形全等 事件2：三个角对应相等的两个三角形全等 事件3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 事件4：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 事件5：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【答案】1，3，5是必然事件，2，4是不确定事件 【分析】根据必然事件、不可能事件及不确定事件的概念分别判断即可. 【详解】解：三条边对应相等的两个三角形全等，故事件1是必然事件； 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故事件2是不确定事件； 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故事件3是必然事件； 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故事件4是不确定事件； 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，故事件5是必然事件. 故1，3，5是必然事件，2，4是不确定事件 【点睛】此题考查根据必然事件、不可能事件及不确定事件的概念分别判断即可.必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不能发生的事件，必然事件和不可能事件都是确定事件；不确定事件是有可能发生也有可能不发生的事件即随机事件. 20．一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品 指出这些事件分别是什么事件． 【答案】见解析 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】（1），（2）可能发生，也可能不发生，是随机事件． （3）一定不会发生，是不可能事件． （4）一定发生，是必然事件． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 21．节能灯根据使用寿命分为优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并：将结果整理成下表（假设节能灯的使用寿命均不超过9000小时）. 寿命t/时 频数 频率 10 0.05 20 a 80 0.4 b 0.15 60 c 合计 200 1 （1）根据表中的数据，求a，b，c的值； （2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个，节能灯恰好不是次品的概率. 【答案】（1）a=0.1，b=30，c=0.3；（2）0.85 【分析】（1）根据表中的数据可以得知，总数为200，即可求得频数与频率； （2）根据题意和图表信息可得出这批节能灯中，优等品有60个，正品有110个，次品有30个，即可求得此人购买的这个节能灯恰好不是次品的概率. 【详解】（1），，. （2）这批节能灯中，优等品有60个，正品有110个，次品有30个. 所以此人购买的这个节能灯恰好不是次品的概率. 【点睛】此题主要考查频数和频率的求解以及概率的计算，熟练掌握即可解题. 22．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 568 701 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b （1）表格中a=________，b=_________； （2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________；（精确到0.1） （3）如果袋子中有14个红球，那么袋子中除了红球，还有多少个其他颜色的球？ 【答案】（1）0.71，0.701；（2）0.7；（3）6个. 【分析】(1)直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率； (2)找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率； (3)根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：(1)a=568÷800=0.71； b=701÷800=0.701； (2)观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近， 所以估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7； (3)设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个，根据题意得0.7(x+14)=14， 解得：x=6， 答：袋子中还有其他颜色的球6个． 故答案为(1)0.71，0.701；(2)0.7；(3)6个. 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【详解】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 24．下列事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)用长度分别为2 dm，3 dm，5 dm的三根钢筋，首尾相连能焊成一个三角形； (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； (3)任意画一个三角形，其内角和是180°. 【答案】(1)是不可能事件．(2)是随机事件．(3)是必然事件． 【详解】试题分析：（1）根据三角形的三边关系可判断； （2）根据对顶角的概念可判断； （3）根据三角形的内角和定理可判断. 试题解析：(1) 根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，可由2+3=5知是不可能事件． (2)根据对顶角的概念，有公共地点，一个角的两边是另一角的两边的反向延长线，故可知两角相等有可能是对顶角也可能不是，故是随机事件． (3)根据三角形的内角和是180°，可知是必然事件． 25．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)0.95 (2) (3)取出了5个黑球 【分析】本题考查频数分布表、用频率估计概率，根据概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用表格用频率估计概率即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出个黑球，则放入个黄球，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， 所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是0.95， 故答案为：0.95； （2）从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有40种，因为除了颜色外都相同，所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ； （3）设取出个黑球，则放入个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 26．某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)“”的可能性大，见解析 【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题． （１）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；据此可补全频数分布直方图． （２）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“”的概率最高，故是“”的可能性大； 通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能． 【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，； ． （2）由表知：评为“”的频率是， 由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有（人）被评为“”． ，，，，   ， 随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“”的可能性大． 27．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 200 400 600 800 1000 1600 2000 优等品的频数m 190 384 570 756 955 1520 1900 优等品的频率 a b c (1)填空： ______，______，______； (2)在下图中画出优等品频率的折线统计图： (3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？ 【答案】(1)，， (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）代入计算求解即可； （2）描点、连线即可； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，，； （2）解：折线图如下： （3）解：∵在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率， ∴任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值为． 【点睛】本题考查了频率，画折线图，用频率估计概率．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 28．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） 【答案】(1)0.7 (2)0.4 (3)封闭图形的面积为10π平方米． 【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：20÷29≈0.69； 59÷91≈0.65； 123÷176≈0.70， … 当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7； 故答案为：0.7； （2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4， 故答案为：0.4； （3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4， 解得：a=10π， 答：封闭图形的面积为10π平方米． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 概率统计（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．每天早上，太阳从西边升起 B．阴天一定会下雨 C．通常情况下，抛出的篮球会下落 D．男生的身高一定比女生高 2．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 249 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 3．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 4．在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有4个，每次将球搅搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出大约是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 6．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 7．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，（背面朝上）从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（    ） A．两张卡片的数字之和等于2 B．两张卡片的数字之和大于2 C．两张卡片的数字之和等于8 D．两张卡片的数字之和大于8 8．微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：个人一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天的步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐赠了6.4元，且甲的步数<乙的步数<丙的步数，则下面说法不正确的是（    ） A．甲可能走了10000步 B．乙可能走了17000步 C．丙可能走了20000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了50000步 9．甲、乙两人做掷骰子游戏，规定：一人掷一次，若两人所投掷骰子的点数和大于7，则甲胜；否则，乙胜，则甲、乙两人中（　　） A．甲获胜的可能更大 B．甲、乙获胜的可能一样大 C．乙获胜的可能更大 D．由于是随机事件，因此无法估计 10．如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大 A．东 B．北 C．西 D．南 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．“a是实数，”这一事件是 事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 ． 13．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ． 14．综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为 ．（结果精确到） 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 15．为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在使用过A、B、C三款软件后进行评分，统计结果如下： 五星 四星 三星 两星 一星 合计 A 52 30 13 3 2 100 B 49 36 10 4 1 100 C 35 30 25 6 4 100 （说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）． 李老师选择 （填“A”、“B”或“C”）款网上授课软件，能更好的开展线上学习（即评价不低于四星）的可能性最大． 16．一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是 ． 17．生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 只． 18．班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分） 19．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定事件，哪些是不可能事件？ 事件1：三条边对应相等的两个三角形全等 事件2：三个角对应相等的两个三角形全等 事件3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 事件4：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 事件5：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 20．一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品 指出这些事件分别是什么事件． 21．节能灯根据使用寿命分为优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并：将结果整理成下表（假设节能灯的使用寿命均不超过9000小时）. 寿命t/时 频数 频率 10 0.05 20 a 80 0.4 b 0.15 60 c 合计 200 1 （1）根据表中的数据，求a，b，c的值； （2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个，节能灯恰好不是次品的概率. 22．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 568 701 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b （1）表格中a=________，b=_________； （2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________；（精确到0.1） （3）如果袋子中有14个红球，那么袋子中除了红球，还有多少个其他颜色的球？ 23．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 24．下列事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)用长度分别为2 dm，3 dm，5 dm的三根钢筋，首尾相连能焊成一个三角形； (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； (3)任意画一个三角形，其内角和是180°. 25．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 26．某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 27．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 200 400 600 800 1000 1600 2000 优等品的频数m 190 384 570 756 955 1520 1900 优等品的频率 a b c (1)填空： ______，______，______； (2)在下图中画出优等品频率的折线统计图： (3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？ 28．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） / 学科网（北京）股份有限公司 $$