第八章 整式乘法（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第8章 整式乘法（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则的值为（   ） A．8 B．2 C．0 D． 2．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则下列等式：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 6．要使的展开式不含x的四次项，则a应等于（   ） A． B． C． D．0 7．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（   ） A． B． C． D． 8．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 10．关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算(x＋1)(2x－3)的结果为 ． 12．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 13．在某住房小区建设中，为了提高业主的居住环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示），则该广场的面积是 ． 14．已知有理数满足，则 ． 15．一个长方体的高为，长比高的3倍少，宽为高的2倍，那么这个长方体的体积为 ． 16．天平的左边放的物体的质量为，右边放的物体的质量为，则天平 倾斜（填“会”或“不会”）． 17．若x，y是自然数，且满足，则 ． 18．已知甲、乙两位同学家菜地都是正方形，甲同学家菜地的周长比乙同学家菜地的周长长96米，他们两家的菜地的面积相差960平方米，则甲同学家菜地的边长为 米． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分） 19．（本题6分）计算 (1) (2) 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题6分）由计算下题：． 22．（本题6分）定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值． 23．（本题7分）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长为的大正方形，两块是边长为的小正方形． (1)这张长方形大铁皮的长为______，宽为______；（用含a，b的代数式表示） (2)求这张长方形大铁皮的面积S（用含a，b的代数式表示）； (3)若一个小长方形铁皮的周长为，一个大正方形铁皮与一个小正方形铁皮的面积之和为，求这张长方形大铁皮的面积S． 24．（本题7分）先阅读材料，再解答下列问题： 我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：就可以用图①或图②等图形的面积来表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式： (2)画出一个几何图形，使它的面积能表示． (3)请仿照上述方法写出另一个含的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形． 25．（本题7分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． (1)根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． (3)小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 26．（本题7分）【材料阅读】 小朱遇到一道题：若x满足，求的值．经过观察思考，她给出如下解法． 解：设，， 则，， 请参考上述解法解决下面的问题： 【初步应用】 （1）若x满足，求的值． 【类题探究】 （2）若x满足．求的值； 【拓展延伸】 （3）如图，点E、G在正方形的边上，，，长方形的面积是10，分别以，为边长作正方形和，，则图中阴影部分的面积为_______． 27．（本题7分）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 28．（本题7分）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则的值为（   ） A．8 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式并灵活运用． 把用含的式子表示出来，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：C． 2．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键． 选择最简单的计算方式即可． 【详解】解：利用完全平方公式计算，变形最恰当的是， 故选：A． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，直接利用积的乘方运算法则进而得出的值． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，， 解得， 故选：C 4．若，则下列等式：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是完全平方公式与平方根公式的变形，理解并掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式与平方差公式的含义变形即可判断． 【详解】解：∵， ∴，故①正确；②错误； ，故③正确； ，故④错误； 故选：B 5．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 6．要使的展开式不含x的四次项，则a应等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式与多项式相乘的运算．先依据单项式与多项式相乘的运算法则计算，展开式后，因为不含项，所以项的系数为 0 ，再求的值 【详解】， ， 的展开式中不含x的四次项， ， 解得． 故选：D． 7．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解题关键．根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断． 【详解】解：由图形可知，图①中的阴影部分面积为， 图②中的阴影部分面积为， 即可以验证的数学公式是， 故选：B． 8．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，用代数式表示长方形花坛的长和宽，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：长方形花坛的长和宽分别为， 则长方形花坛的面积为， 故选：A． 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 10．关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根据多项式的特点选取合适的的值是解题关键．先确定共有6个互不相等且不为零的系数，再根据“衍生多项式”的定义即可判断①正确；将代入多项式即可判断②正确；将和代入计算即可判断③正确． 【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数， ∴交换任意两项的系数共有种， 则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确； 令，则，说法②正确； 当时，， 当时，， 将上面两式相减得：， 则，说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：A． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算(x＋1)(2x－3)的结果为 ． 【答案】2x2－x－3 【分析】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算即可求解． 【详解】解：(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3. 故答案为：2x2－x－3 【点睛】考查多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 12．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 13．在某住房小区建设中，为了提高业主的居住环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示），则该广场的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法混合运算，根据该广场的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，进行计算即可． 【详解】解：该广场的面积是： ， 故答案为：． 14．已知有理数满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘单项式，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．已知等式利用非负数性质求出a，b，c的值，代入原式求出值即可． 【详解】解：， 则， ， ． 15．一个长方体的高为，长比高的3倍少，宽为高的2倍，那么这个长方体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式以及相应的计算，用长方体的高表示出长方体的长与宽，等量关系为：长方体的体积=长×宽×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵长方体的高为，长为高的3倍少，宽为高的2倍， ∴长为，宽为， ∴这个长方体的体积， 故答案为：． 16．天平的左边放的物体的质量为，右边放的物体的质量为，则天平 倾斜（填“会”或“不会”）． 【答案】会 【分析】本题考查整式的运算以及比较大小，解题的关键是通过整式运算求出天平左右两边质量的差值，从而判断天平是否倾斜． 先分别对天平左边和右边的式子进行化简，然后求出两边质量的差值，根据差值的正负判断天平是否倾斜． 【详解】 ， ， 用右边物体的质量减去左边物体的质量可得： ， 因为差值，即右边物体的质量大于左边物体的质量，所以天平会倾斜． 故答案为：会． 17．若x，y是自然数，且满足，则 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵x， y是自然数， ∴或． ∴，，或，， ，，或，，． 当，，时， 解得：，， ， 当，，时， 解得：，， ， 当，，时， 解得：，， ， 当，，时， 解得：，， ， 故答案为：2或4． 18．已知甲、乙两位同学家菜地都是正方形，甲同学家菜地的周长比乙同学家菜地的周长长96米，他们两家的菜地的面积相差960平方米，则甲同学家菜地的边长为 米． 【答案】32 【分析】本题考查了运用平方差和完全平方公式的计算，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题的关键； 设甲同学家菜地的边长分别是x米，则乙同学家菜地的边长，列式运用平方差和完全平方公式解答即可． 【详解】解：设甲同学家菜地的边长分别是x米，则乙同学家菜地的边长，根据题意，得 故答案为：32． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分） 19．（本题6分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】先进行完全平方公式，单项式乘多项式和平方差公式的计算，再合并同类项，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 21．（本题6分）由计算下题：． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，利用平方差公式将原式变形为，计算即可得解，熟练掌握平方差公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 22．（本题6分）定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算与解一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于的方程，熟记完全平方公式，平方差公式及解一元一次方程的步骤． 先根据新定义规定的运算法则得出，再将左边利用完全平方公式和平方差公式去括号，继而合并同类项，移项，系数化为1可得答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 解得：． 23．（本题7分）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长为的大正方形，两块是边长为的小正方形． (1)这张长方形大铁皮的长为______，宽为______；（用含a，b的代数式表示） (2)求这张长方形大铁皮的面积S（用含a，b的代数式表示）； (3)若一个小长方形铁皮的周长为，一个大正方形铁皮与一个小正方形铁皮的面积之和为，求这张长方形大铁皮的面积S． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式、完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）根据长方形的面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （3）由题意可得，，求出，代入（2）中的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：这张长方形大铁皮的长为，宽为； （2）解：； （3）解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴． 24．（本题7分）先阅读材料，再解答下列问题： 我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：就可以用图①或图②等图形的面积来表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式： (2)画出一个几何图形，使它的面积能表示． (3)请仿照上述方法写出另一个含的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据长为、宽为的矩形面积等于2个边长为的正方形、1个边长为的正方形、3个长为宽为的矩形面积和，可得等式； （2）画一个边长为的正方形，即可得； （3）不唯一，如：，画长为、宽为的矩形即可得． 本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题.注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键.常见的验证完全平方公式是，其几何图形是用大正方形的面积等于边长为和边长为的两个正方形与两个长宽分别是的长方形的面积和作为相等关系． 【详解】（1）解：根据图示可得， ； （2）解：如图①， （3）解：， 如图②， 25．（本题7分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． (1)根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． (3)小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①B类纸片有7张，；②B类纸片有13张，；③B类纸片有8张， 【分析】此题考查了多项式乘法与几何图形． （1）根据图形，可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的图形； （3）根据多项式乘法即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，大长方形的面积可表示或， 即 （2）解：如图，即为所求， （3）由题意可得，①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张，． 26．（本题7分）【材料阅读】 小朱遇到一道题：若x满足，求的值．经过观察思考，她给出如下解法． 解：设，， 则，， 请参考上述解法解决下面的问题： 【初步应用】 （1）若x满足，求的值． 【类题探究】 （2）若x满足．求的值； 【拓展延伸】 （3）如图，点E、G在正方形的边上，，，长方形的面积是10，分别以，为边长作正方形和，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）44 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，理解题意是解题的关键． （1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据题意可得四边形是正方形，设，则，从而得到，最后根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1）设， ， ， ， ； （2）设，， ， ． （3）设， 正方形的边长为，， ， ， 长方形的面积是10， ， 即， ， 故阴影部分的面积为． 27．（本题7分）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可； （3）求出，即可比较大小． 【详解】（1）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴，即． 28．（本题7分）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式得证． / 学科网（北京）股份有限公司 $$