第八章 整式乘法（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第八章 整式乘法（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关性质判断即可． 【详解】解：A：，故此选项不合题意； B：，故此选项不合题意； C：，故此选项不合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以单项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式乘以单项式法则，进行逐一计算即可求解． 【详解】解：A．，计算不正确，故不符合题意； B．，计算不正确，故不符合题意； C．，计算不正确，故不符合题意； D．，计算结果正确，故符合题意； 故选：D． 3．若是完全平方式，则a的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式．由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：C． 4．为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号，平方差公式的应用，掌握添括号法则与平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式的特征对其进行添括号即可判断． 【详解】解：， 故选：C． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多个单项式相乘，根据单项式乘法法则求解，即可解题． 【详解】解： ， 故选：B． 6．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键．用两种方式表示较大正方形的面积即可得解。 【详解】观察图形可得从整体来看（等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为和的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次． ∴根据图②能得到的数学公式是：． 故选D． 7．若的结果不含常数项，则a的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的乘法，正确理解不含常数项的含义是解题的关键．根据多项式的乘法法则进行计算，根据常数项为0，即可求解． 【详解】解：， ， ， 的结果不含常数项， ，即． 故选：B． 8．若为正整数，则的结果（   ） A．一定能被6整除 B．一定能被8整除 C．一定能被10整除 D．一定能被12整除 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式．原式利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并计算即可判断． 【详解】解： ， ∵为正整数， ∴结果一定能被8整除． 故选：B． 9．某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算．首先根据整式的减法法则求出原来的多项式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【详解】解： ， ． 故选：C． 10．定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据题意结合单项式乘以多项式的运算法则计算即可得解，理解题中的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．根据完全平方公式先求出的值，然后利用完全平方公式进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．一个三角形的底边长为，该底边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的面积公式和单项式乘法的运用．根据三角形面积公式列式，再按照单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：此三角形的面积为， 故答案为：． 13．如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的倍且符号不限．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值是或． 故答案为：或． 14．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用.先利用阴影部分的面积等于大的正方形的面积的一半减去三个三角形的面积得到阴影面积为：，再利用完全平方公式的变形求解即可. 【详解】解：两个正方形的边长分别为a，b， ， ，， ∴. 故答案为：16. 15．若的计算结果中项的系数为2，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为2，确定出a的值即可． 【详解】解： ， 由结果中项的系数为2，得到， 解得：． 故答案为：1． 16．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为17，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是17，即， ． 故答案为：． 17．已知一个多项式除以多项式，所得商式是，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，利用除式乘以商式，然后加上余式就是所求式子． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： ， ， ， 则 ． 【答案】 4 6 4 【分析】本题考查了完全平方公式，根据所给式子的系数规律求出的展开式的系数即可． 【详解】解：由所给式子的系数规律可得： ， 故答案为：4；6；4． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果； （）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果； 本题考查了平方差公式及完全平方公式，掌握平方差公式及完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 21．定义：，例如，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键． 根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴的值为． 22．你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题干信息及规律进行计算即可； （2）把原式化为，再计算即可； （3）把原式化为，再计算即可； 【详解】（1）解：由此我们可以得到：；． （2）解： ； （3）解：    ； 23．（新定义题）对于任意有理数，我们规定．例如：．当时，求的值． 【答案】，1 【分析】此题考查了列代数式及其求值、整式的运算、新定义问题的解决能力，关键是能正确理解题意并列代数式求解．根据题意列出代数式并求解即可． 【详解】解：原式 ． 因为，所以， 所以原式． 24．（1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，积的乘方运算： （1）先运算单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答； （2）先运算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答； （3）先运算单项式乘多项式，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 当时，原式． 25．（新考法）“数形结合”能够更加直观地理解几何图形与数量间的关系，采用不同研究方法探究问题能得到意想不到的结论．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． 【探究发现】 （1）如图①是一个长为、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．可以得到及三者之间的等量关系式，请根据面积关系，求出这个等量关系； 【探究应用】 利用上面所得的结论解答下列问题： （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值； 【探究拓广】 （4）已知直角三角形的两直角边a，b满足，求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】题目主要考查完全平方公式与图形面积，根据题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据图形表示出面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）利用完全平方公式变形求解即可； （4）利用完全平方公式变形求解即可确定三角形面积． 【详解】解：（1）由题意可得，等量关系为． （2）由（1）可得． 因为， 所以， 所以． （3）因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． （4）因为， 所以，即， 所以直角三角形的面积． 26．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．例如：；．当时，有最小值，最小值是．根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)当为何值时，多项式有最大值？请求出这个最大值； (3)已知，求出的值． 【答案】(1)4 (2)当时，有最大值，最大值是 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式进行配方可得，再根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为5． （3）解： ， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，． 27．图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2)；；． 【分析】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 28．阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________； (2)计算的值的末位数字是__________； (3)计算：． 【答案】(1)6 (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式是解题关键． （1）原式变形后，利用小明方法计算即可； （2）由，则，则的末位数字是0，进而完成解答； （3）先凑出平方差公式，然后理由平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，均为奇数， ∴几个奇数与5相乘，末位数字是5， ∴原式的末位数字是6． （2）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是． （3）解： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 整式乘法（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若是完全平方式，则a的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（） A． B． C． D． 7．若的结果不含常数项，则a的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 8．若为正整数，则的结果（   ） A．一定能被6整除 B．一定能被8整除 C．一定能被10整除 D．一定能被12整除 9．某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（   ） A． B． C． D． 10．定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知，则 ． 12．一个三角形的底边长为，该底边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 13．如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ． 14．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 15．若的计算结果中项的系数为2，则a的值为 ． 16．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为17，则图中阴影部分的面积是 ． 17．已知一个多项式除以多项式，所得商式是，余式为，这个多项式是 ． 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： ， ， ， 则 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~22题每小题6分，第23~28题每小题7分。 19．计算： (1)； (2)． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． 21．定义：，例如，．求的值． 22．你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 23．（新定义题）对于任意有理数，我们规定．例如：．当时，求的值． 24．（1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：，其中． 25．（新考法）“数形结合”能够更加直观地理解几何图形与数量间的关系，采用不同研究方法探究问题能得到意想不到的结论．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． 【探究发现】 （1）如图①是一个长为、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．可以得到及三者之间的等量关系式，请根据面积关系，求出这个等量关系； 【探究应用】 利用上面所得的结论解答下列问题： （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值； 【探究拓广】 （4）已知直角三角形的两直角边a，b满足，求这个直角三角形的面积． 26．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．例如：；．当时，有最小值，最小值是．根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)当为何值时，多项式有最大值？请求出这个最大值； (3)已知，求出的值． 27．图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 28．阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________； (2)计算的值的末位数字是__________； (3)计算：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$