6.3.1&6.3.3　平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.3.1&6.3.3　平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示 【考点梳理】 · 考点一：基底的概念问题 · 考点二：基底表示向量问题 · 考点三：平面向量基本定理 · 考点四：平面向量的坐标表示 · 考点五：平面向量线性运算的坐标表示 · 考点六：由向量线性运算结果求参数 · 考点七：由向量线性运算解决几何问题 · 考点八：利用坐标求向量的模 · 考点九：由向量线性运算解决最值和范围问题 · 考点十：平面向量坐标的综合问题 【知识梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 考点三 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点三：平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 1．（23-24高一下·江苏无锡）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 2．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 3．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 题型二：基底表示向量问题 4．（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若在三角形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线性运算表示，，最后再表示. 【详解】因为，所以点是中点， ， 所以. 故选：B 6．（23-24高一下·宁夏银川·期中）如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示出出来，从而可求得的值 【详解】因为为的中点，，， 所以， 因为，所以， 所以． 故选：A 题型三：平面向量基本定理 7．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 8．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可. 【详解】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 9．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，P是BN上一点，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，，，且， 因三点共线，故，即，， 故． 故选：C． 题型四：平面向量的坐标表示 10．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量相等即可求解. 【详解】    令顶点的坐标为，又 所以， 如图易知，在平行四边形中， 所以，解得，所以顶点的坐标为， 故选：A. 11．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 12．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标. 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 题型五：平面向量线性运算的坐标表示 13．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【详解】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 14．（23-24高一下·四川成都·期中）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 在平行四边形中， 所以，则，解得， 所以. 故选：B 15．（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【答案】B 【分析】根据向量的计算直接可得解. 【详解】由已知，， 则， 点是线段靠近的三等分点， 则， 且， 则， 即， 故选：B. 题型六：由向量线性运算结果求参数 16．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 17．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 18．（22-23高一下·山东菏泽·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，    ∴，则， 由，得：， ∴，解得，则 故选：B. 题型七：由向量线性运算解决几何问题 19．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 20．（2021·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值. 【详解】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则有，. 设，则. 由题意可知 所以. 因为，所以， 故的最大值为. 【点睛】本题考查与向量有关的几何最值问题，属基础题.利用坐标方法转化为三角函数的最值问题是处理几何最值得十分有效的方法. 21．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 题型八：利用坐标求向量的模 22．（22-23高一下·江西·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】建系后写出点的坐标，再求出向量坐标，最后应用向量模长公式求解即可. 【详解】 如图建系可得, , ,. . 故选:D. 23．（21-22高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为，由题意求出，，从而可求出其长度，进而可得结果 【详解】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为， 因为、、， 所以， 所以，， 所以， ， 因为， 所以较长的对角线长为， 故选：B 24．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 题型九：由向量线性运算解决最值和范围问题 25．（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 26．（21-22高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值. 【详解】构建如下直角坐标系：，令，， 由可得：， 则且， 所以当时，的最大值为. 故选：C 27．（20-21高一下·山东泰安·期中）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】在等腰△中，，则， ∵分别是边的点， ∴，，而， ∴两边平方得：，而， ∴，又，即， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值. 题型十：平面向量坐标的综合问题 28．（23-24高一下·河北沧州·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． (1)证明：A，B，C三点共线； (2)若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量运算得，即可证明三点共线； （2）设点P的坐标为，利用得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，所以． 又因为有公共点点， 所以A，B，C三点共线． （2）设点P的坐标为，则，， 因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以， 即，解得， 所以点P的坐标为． 29．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）    以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 30．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M． (1)设，试用，表示，； (2)E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据平面向量的基底运算及三点共线可求答案； （2）先求四边形的面积得出三角形的面积，得出，进而得到坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 因为，，所以， 因为，， 所以，，， 所以． ． 设，，其中，． 因为，所以， 所以解得 故． （2）因为四边形ABDC的面积为， 所以的面积为3． 设，则，解得， 则． 【高分达标】 一、单选题 31．（23-24高一下·山东菏泽）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 32．（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量的坐标. 【详解】根据题意可知，，把向量按向量平移后，与原向量相等， 所得向量仍然为. 故选：C. 33．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由向量坐标的线性运算即可求解. 【详解】设点坐标为，则，解得. 故选：A. 34．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算平面向量的加法即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 35．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示， 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示． 【详解】解法一：依题意①，②，③， 由②③式解得，， 代入①式得． 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则， 由，有， 有，解得，得． 故选：A． 36．（23-24高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解.. 【详解】因为，，， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A. 37．（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形ABCDEFGH中，若（，），则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求得相关向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】不妨设，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示． 正八边形内角和为， 则， 所以，，，， 所以，，， 因为，所以 ， 所以， 解得，， 所以． 故选：A． 二、多选题 38．（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABC 【分析】根据向量是否共线，即可根据基底的定义求解. 【详解】对于A：，所以和共线，故和不能作为基底． 对于B：与共线，故与不能作为基底． 对于C：，所以与共线，故与不能作为基底． 对D：，所以与不共线，故和可以作为基底． 故选：ABC． 39．（24-25高一下·全国·课后作业）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可. 【详解】，故A正确； 由， 所以，又三点共线， ，即，故B错误； 由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD．    40．（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 41．（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 42．（22-23高一下·河南·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】建立适当平面直角坐标系，取适当长度定为单位长度，结合向量坐标运算逐项计算即可得. 【详解】解法一： 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令， 则，，，，， 对于A，，令， 解得，，所以，故A正确； 对于B，，令，解得， 所以，故B正确； 对于C，，令，代入坐标可解得， ，故C正确； 对于D， ，代入坐标可解得， ，故D错误. 解法二： 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令， 则，，，，， 故，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 43．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是平面内两个不共线的向量，，用向量和表示，则 ． 【答案】 【分析】设，由已知可得，则，解出，即可得到答案. 【详解】因为， 则不共线，所以设， 则， 又因为不共线，所以，解得， 所以． 故答案为：. 44．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【答案】1 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 45．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则 ， . 【答案】 【分析】 设点为正六边形的中心，连接，，，根据题意可知，进而用向量，表示，即可求解. 【详解】    设点为正六边形的中心，连接，，， 由题意得，为直角三角形，，因为，所以， 所以， 又，因此， 即，. 故答案为：；. 46．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 四、解答题 47．（23-24高一下·北京通州·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解； （2）结合向量共线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，， 则， 故； （2）证明：，， 则； ， 所以， 所以，，三点共线． 48．（23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 49．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 50．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先求，再根据向量，列式求解； （2）（ⅰ）根据向量的坐标运算，即可求解；（ⅱ）根据，列式求解. 【详解】（1） 则则； （2）（ⅰ），向量的坐标为； （ⅱ）设的坐标为，∵，，，恰好为构成平行四边形 则，， 解得：，∴的坐标为 51．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点． (1)EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论； (2)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P．已知正方形ABCD中，，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标． 【答案】(1)EF，EG互相垂直，证明见解析 (2)． 【分析】（1）表达出，，计算出，得到垂直关系； （2）先得到，进而得到，得到答案. 【详解】（1）EF，EG互相垂直，理由如下： 因为， ， 所以， 即EF，EG互相垂直； （2）由已知， ∴ ， ∵， ∴， ∴点P的坐标为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1&6.3.3　平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示 【考点梳理】 · 考点一：基底的概念问题 · 考点二：基底表示向量问题 · 考点三：平面向量基本定理 · 考点四：平面向量的坐标表示 · 考点五：平面向量线性运算的坐标表示 · 考点六：由向量线性运算结果求参数 · 考点七：由向量线性运算解决几何问题 · 考点八：利用坐标求向量的模 · 考点九：由向量线性运算解决最值和范围问题 · 考点十：平面向量坐标的综合问题 【知识梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 考点三 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点三：平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 1．（23-24高一下·江苏无锡）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：基底表示向量问题 4．（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若在三角形中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·宁夏银川·期中）如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 题型三：平面向量基本定理 7．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，P是BN上一点，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 题型四：平面向量的坐标表示 10．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五：平面向量线性运算的坐标表示 13．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·四川成都·期中）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   题型六：由向量线性运算结果求参数 16．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 17．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 18．（22-23高一下·山东菏泽·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 题型七：由向量线性运算解决几何问题 19．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 20．（2021·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型八：利用坐标求向量的模 22．（22-23高一下·江西·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 23．（21-22高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型九：由向量线性运算解决最值和范围问题 25．（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 27．（20-21高一下·山东泰安·期中）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型十：平面向量坐标的综合问题 28．（23-24高一下·河北沧州·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． (1)证明：A，B，C三点共线； (2)若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标． 29．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 30．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M． (1)设，试用，表示，； (2)E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标． 【高分达标】 一、单选题 31．（23-24高一下·山东菏泽）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 32．（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形ABCDEFGH中，若（，），则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 38．（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 39．（24-25高一下·全国·课后作业）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 40．（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高一下·河南·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 43．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是平面内两个不共线的向量，，用向量和表示，则 ． 44．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 45．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则 ， . 46．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 四、解答题 47．（23-24高一下·北京通州·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 48．（23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 49．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 50．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 51．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点． (1)EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论； (2)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P．已知正方形ABCD中，，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$