第十八章 平行四边形 （B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十八章 平行四边形 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．下列说法正确的是（    ） A．正方形四个内角都是直角 B．菱形对角线互相平分且相等 C．矩形对角线互相平分且垂直 D．平行四边形的邻边相等 4．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 5．菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（   ） A． B． C．12 D．13 6．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分交于E，，，则的周长为（　　）． A．11 B．18 C．20 D．22 8．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 9．如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在中，，则的度数为 ． 12．如图，中，点分别为边的中点，若，则的长为 ． 13．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 14．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 15．如图，菱形的对角线的长分别是3和6，则菱形的面积是 ． 16．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    18．已知：如图，在矩形中，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，（只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，为了证明四边形为菱形，小南同学的想法为：先证明，再利用菱形的判定，得到结论．请根据小南同学的想法完成下面填空． 证明：∵四边形是矩形， ∴_____． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ______ ∴（）． ∴______ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（______）． 19．如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 20．如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 21．已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 22．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     23．如图，四边形中，，，E、F分别是的中点． (1)连接，求证：； (2)当，时，的长为 ． 24．如图，已知是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点在上，，，连接，点是的中点，连接，如图1所示． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的顶点落在正方形的边上时，如图2所示，连接，点是的中点，连接，请你探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 25．已知平行四边形中， 对角线相交于点O， ． (1)如图1， 若 ，，求的长； (2)如图2，过点C作于点F， 连接， 过点 A作交于点E，求证： (3)如图3，在（1）的条件下，点P 是直线上的一个动点， 且 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是理解平行四边形的性质，相邻的角度数和是180度． 依据平行四边形的性质，相邻的角互补，即可解决． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ． 故选：A． 3．下列说法正确的是（    ） A．正方形四个内角都是直角 B．菱形对角线互相平分且相等 C．矩形对角线互相平分且垂直 D．平行四边形的邻边相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟知平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、正方形四个内角都是直角，原说法正确，符合题意； B、菱形对角线互相平分但不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形对角线互相平分但不一定垂直，原说法错误，不符合题意； D、平行四边形的邻边不一定相等，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（   ） A． B． C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由矩形性质得，，再根据折叠的性质得，，证明，设，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 7．如图，在中，平分交于E，，，则的周长为（　　）． A．11 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【分析】先求出平行四边形的一组邻边长，再求周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴与平行，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴平行四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边和角平分线的定义，解题关键是求出边长． 8．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 为边的中点， ， 沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， 中，， ， 又， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交于点G，先根据矩形的性质证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质证明，所以，继而证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、三角形的中位线定理，牢记正方形的性质、全等三角形的判定定理及性质、角平分线的定义、三角形的中位线定理是解题的关键． ①先证得，求得，再证得，进而证得，进而证得为的中点，即可判断该说法是否正确． ②根据，，，即可判断该说法是否正确． ③根据，即可判断该说法是否正确． ④由题意可求得，结合三角形的外角的性质，判断该说法是否正确． 【详解】①在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法①正确． ②∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 说法②错误． ③∵， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法③正确． ④∵为正方形的中心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 说法④正确． 综上所述，说法正确的为①③④， 故选 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在中，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，是解答本题的关键． 根据平行四边形性质得出即可． 【详解】∵在中，， ∴． 故答案为：． 12．如图，中，点分别为边的中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据点分别为边的中点，得出是的中位线，再结合中位线的性质，即可作答． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：8． 13．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 【答案】OA=OC（答案不唯一）． 【详解】解：添加条件OA=OC即可； ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABCD对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故答案为：OA=OC（答案不唯一） 14．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 15．如图，菱形的对角线的长分别是3和6，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形的面积，熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 【详解】解：菱形的对角线，的长分别是3和6， 菱形的面积． 故答案为：． 16．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】要证四边形是平行四边形，易证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出． 【详解】证明：在平行四边形中，，， 又，， ，． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 18．已知：如图，在矩形中，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，（只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，为了证明四边形为菱形，小南同学的想法为：先证明，再利用菱形的判定，得到结论．请根据小南同学的想法完成下面填空． 证明：∵四边形是矩形， ∴_____． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ______ ∴（）． ∴______ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（______）． 【答案】(1)见详解 (2)，，，对角线垂直的平行四边形是菱形 【分析】（1）分别以A、C为圆心，以大于一半的长度画圆弧，两弧分别交于两点，再作过这两个交点的直线，直线交于点E，交于点F，交于点O，问题随之得解； （2）按照题干思路，利用菱形的判定定理判断作答即可． 【详解】（1）解：作图如下： 为的垂直平分线； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ∴（）． ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，，，对角线垂直的平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出图形，是解答本题的关键． 19．如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明且，AD＝EF，可得四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）设，则，在中，，则，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵在菱形中， ∴且， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 20．如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 21．已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明即可； （2）只要证明，即可 【详解】（1）∵ ， 在和中， ， ∴， ． （2）是平行四边形 ， 又∵ 四边形是平行四边形． 22．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【答案】或秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行四边形的判定．因为，所以当时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，本题要分两种情况考虑：当点 在点右侧时，当Q在点左侧时． 【详解】当点 在点右侧时， 点是的中点， ， ，， ， 解得：； 当Q在点左侧时， ，， 解得：， 综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 23．如图，四边形中，，，E、F分别是的中点． (1)连接，求证：； (2)当，时，的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）在中，利用勾股定理求出EF的长即可． 【详解】（1）明：，E为BD中点， ， 同理可求：， ， 是AC中点， ； （2）解：，，E、F分别是边的中点， ，， ， ， ∴， 故答案为： 24．如图，已知是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点在上，，，连接，点是的中点，连接，如图1所示． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的顶点落在正方形的边上时，如图2所示，连接，点是的中点，连接，请你探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，．，．勾股定理求得，进而即可求解． （2）设与的交点为，连接，证明，，得出是的中点，则是的中位线，是斜边上的中线，进而即可得证； （3）延长交于点，连接．证明，进而得出，可得是的中点，然后根据（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解： 是正方形的对角线，且， ，． ∵是等腰直角三角形，且， ∴，． ，             ． ． 点是的中点， ． （2）如图1，设与的交点为，连接， 由（1）知，是的中点， ． 四边形是正方形， ，． 又 ， ． ． 又 ， ． ． 是的中点． 是的中位线，是斜边上的中线． ，． ． 故．    （3）．                                     证明：延长交于点，连接． 由题意知． 又点是的中点， ． ，， ． ． ． 是的中点． ，． ， ． 25．已知平行四边形中， 对角线相交于点O， ． (1)如图1， 若 ，，求的长； (2)如图2，过点C作于点F， 连接， 过点 A作交于点E，求证： (3)如图3，在（1）的条件下，点P 是直线上的一个动点， 且 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点C作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，，可得，再证明，可得，，即当点在时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点C作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接， 由（1）得：， ∵且 ， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即当点在时，的值最小， 如图，此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$