第十八章 平行四边形 （A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十八章 平行四边形 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 2．如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、平移的性质，解题关键是熟练掌握平移不改变图形的形状和大小． 根据平移性质可得四边形是平行四边形后，即可根据所给的条件求出平移距离． 【详解】解：将沿向右平移得到， 且， ∴四边形是平行四边形， 又四边形的面积等于，， 平移距离． 故选：． 5．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 6．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求,在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称，即是线段的垂直平分线， 连接，，交于，连接，即为所求的点， 根据对称有：，即， 当点B、、M三点共线时，最小， 则的长即为的最小值， ∵， ∴在中， ， 故的最小值是5． 故选：B． 7．菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查菱形面积的计算．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长为6和8， ∴菱形的面积为：． 故选：D． 8．在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故选：B ． 9．如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，，是的中点，， ， ， ，分别是的边，的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 10．如图，中，对角线， 相交于O，，E，F，G分别是，，的中点， 下列结论①；②四边形是平行四边形；③；④平分其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和“等腰三角形三线合一”可得，故①正确；根据平行四边形的性质和三角形中位线的性质可得 ，，则可得四边形是平行四边形，故②正确；根据平行四边形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得，由此可得，故③正确；由平行四边形的性质可得，若平分则可得四边形是菱形，进一步可得是等边三角形，但是已知条件无法得到是等边三角形，故平分不成立，故④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，     ，， ， ， ， ∵E点是的中点， ， 即， 故结论①正确； ∵E、F分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， ，， ，， ∵G点是的中点， ， ，， ∴四边形是平行四边形； 故结论②正确； ， ， ∵G点是的中点， ， ， ， 故结论③正确； ∵四边形是平行四边形， ， ， 若平分， 则， 则， 则， 则四边形是菱形， 则， ∵， 是等边三角形， 显然不一定是等边三角形， ∴平分不成立． 故结论④错误． 综上正确的结论为：①②③． 故选：A 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 12．如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴F是中点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．已知如图，正方形，，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则 ． 【答案】 【分析】并延长交于， 连接，根据正方形的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解： 连接并延长交于， 连接， ∵四边形是正方形， ， ∵分别是边的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ∵点分别是的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15．正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵正方形中，边长， ∴，， ①当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ③当时，E和B或D重合，则M和B或A重合，不符题意，舍去， 综上，或 故答案为：或． 16．如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理的应用，当与点 重合时，设，则，，在中，由勾股定理得： 即可解决；根据图形取中点，通过分析可知只有当、、 三点共线时，长度最大，利用勾股定理解决即可． 【详解】解：当与点 重合时， 如图： 由于对称：，， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：； ， 则； 如图：取中点， ， 由题意知，无论如何变动，经过点， 连接、、， 在△中， 四边形关于对称得到四边形， ，故只有当、、 三点共线时、长度最大， 此时， 过点作，，， 在中，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：3；． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质； （1）根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论； （2）根据平行四边形的性质求出，然后即可计算的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，； （2）由题意得， 由（1）知，， ∴， ∴的周长为：． 18．如图，在菱形中，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 19．如图，四边形为矩形，为矩形的一条对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：在的左侧作，射线与的延长线交于点．连接与交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)小亮判断点为线段的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明为等腰三角形，从而得到点为的中点，再利用三角形全等，得到点为的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空： 证明：四边形为矩形， ，，， ，①　　， ， ， ， ， ，， ②　　， ， ， ， ③　　， ， ， ，， ④　　， ， 点为的中点． 【答案】(1)作图见解答 (2)，，， 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质和矩形的性质． （1）利用基本作图作，然后连接即可； （2）先证明为等腰三角形，从而得到点为的中点，再利用三角形全等，得到点为的中点． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点为的中点． 故答案为：，，，． 20．已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质． （1）根据斜边上的中线等于斜边上的一半，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一，即可得证． 掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【详解】（1）线段是和的公共斜边，点是的中点， ，， ； （2），点是的中点， ． 21．如图，在中，，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交于的延长线于点F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是证全等； （1）证明，得出，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，根据三线合一得出，根据矩形的定义即可得证． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即D是的中点； （2）证明∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是矩形． 22．如图1，在四边形中，对角线交于点O，点O是的中点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明得，进而可证四边形是平行四边形； （2）证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形； 【详解】（1）证明： ∵点O是的中点 ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形； ∵， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 综上可知，等腰三角形有． 23．如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)，； (2)t为秒时，四边形的面积为； (3)t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【分析】（1）由题意得：，，再根据，即可列式； （2）证明四边形是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，得到，，分两种情况求解：当点在点上方时；当点在点下方时，利用勾股定理分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 四边形是矩形，， ， ，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，， ，，， 四边形是直角梯形， 四边形的面积， 四边形的面积为， ， 解得：， 答：t为秒时，四边形的面积为； （3）解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 点P和点Q的距离为， ， 当点在点上方时，， 由勾股定理得：， ， ； 当点在点下方时，， 由勾股定理得：， ， ， 综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 24．如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 25．已知，在正方形中，点E，F分别为上的两点，连接、，并延长交于点G，连接；H为上一点，连接、，． (1)如图1，若H为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证： (3)如图3，若，P为线段（包含端点A、D）上一动点，连接，过点B作于点Q，将沿翻折得，N为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由得出，，由勾股定理得出，再由直角三角形的性质即可得解； （2）先证明为等腰直角三角形得出，作于，证明，得出，，从而得出，推出为等腰直角三角形，得到，即可得解； （3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，由折叠的性质可得是直角三角形，由直角三角形的性质可得，当时，的面积最大，由，得出当、、三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵H为的中点， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， ， 则， ∵， ∴是直角三角形， ∵将沿翻折得， ∴是直角三角形， ∴， 当时，的面积最大， ∵是的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 如图，此时与重合， ， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 2．如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 6．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 7．菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 8．在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，中，对角线， 相交于O，，E，F，G分别是，，的中点， 下列结论①；②四边形是平行四边形；③；④平分其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 12．如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ． 13．如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 14．已知如图，正方形，，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则 ． 15．正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 16．如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 18．如图，在菱形中，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，四边形为矩形，为矩形的一条对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：在的左侧作，射线与的延长线交于点．连接与交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)小亮判断点为线段的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明为等腰三角形，从而得到点为的中点，再利用三角形全等，得到点为的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空： 证明：四边形为矩形， ，，， ，①　　， ， ， ， ， ，， ②　　， ， ， ， ③　　， ， ， ，， ④　　， ， 点为的中点． 20．已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点． 求证： (1)； (2)． 21．如图，在中，，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交于的延长线于点F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 22．如图1，在四边形中，对角线交于点O，点O是的中点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形． 23．如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 24．如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 25．已知，在正方形中，点E，F分别为上的两点，连接、，并延长交于点G，连接；H为上一点，连接、，． (1)如图1，若H为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证： (3)如图3，若，P为线段（包含端点A、D）上一动点，连接，过点B作于点Q，将沿翻折得，N为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$