精品解析：广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期期末数学试题

深圳实验学校2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是第四象限角，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】由为第四象限角，，由诱导公式，， 故选：B． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化根式为分数指数. 【详解】由题意得. 故选:B. 【点睛】本题考查根式与分数指数的转化，属于基础题. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 4. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A. 函数具有奇偶性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D. 【详解】A选项，易知的定义域为， 又 ，故是奇函数，A正确； B选项，时，， 故，在上都是增函数， 在上单调递增，B正确； C选项，由， 得的最大值，故的振幅必然大于的振幅， 即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误； D选项，对于， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率， 声音乙的频率更低，比低沉，D正确. 故选：C. 5. 欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先求出甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角，建立平面直角坐标系，则两人高度差，结合，得到答案. 【详解】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为，则， 以摩天轮中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于处， 乙座舱位于处， 则两人高度差 ， 其中， 故米. 故选：B． 6. 已知函数，正实数满足，则的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得到函数的图象关于点对称，类比奇偶性，得到函数的单调性、进而求得，再利用基本不等式求解即得. 详解】， 这说明图象关于点对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同， 由于时在上单调递增且函数值恒正， 可推出在上单调递减，因此是减函数． ，即， 因此，当即时取得， 故选：B． 7. 函数在区间上所有零点之和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点概念，变形为，作出和在区间上的图象，再证明的图象关于直线对称，运用对称性得解. 【详解】，作出和在区间上的图象如图， 可知两个图象共有4个交点，因此在区间上共有4个零点，由小到大记为． 同时，，， 可得，故的图象关于直线对称， 因此，故所有零点之和为， 故选：B． 8. 已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式，诱导公式化简函数，通过范围求得范围，由函数单调递增建立不等式，解出的取值范围，通过范围求得范围，由函数在对应区间取一次最大值建立不等式，解出的取值范围， 【详解】， 当时，由在区间上单调递增可得，，解得． 当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得， 综上所述，， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则是等腰三角形 B. 若为非直角三角形，则 C. 若为锐角三角形，则恒成立 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，运用二倍角公式和三角函数得解；对于B选项，运用两角和的正切公式推导得解；对于C选项，若为锐角三角形，则有，结合在上单调递增可解；对于D选项，，判定，得解. 【详解】对于A选项，由于，且至多有一个大于，因此若，则有或，得或，因此为等腰三角形或直角三角形，A错误． 对于B选项，在中，，整理得，B正确． 对于C选项，若为锐角三角形，则有，故，且，由在上单调递增可得，C正确． 对于D选项，，由可得，故，因此，为钝角三角形，D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数，若存在，满足，，则的值可以为（ ）． A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】BC 【解析】 【分析】如图，由可得关于直线对称，结合图形即可求解. 详解】作出草图，如图，由得， 故（舍去）或， 得关于直线对称， 由图可得，， 记，则， 所以 故选：BC． 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得. 【详解】由，可得，则， 对于A，由是增函数，是减函数，可得， 故，故A正确； 对于B，因为，所以， 又在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以，则有，故B错误； 对于C，由，又在区间上单调递减， 可得，故有是减函数，则， 又由在上是增函数可得，，因此，故C正确； 对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得， 因此，两边取对数可得，故D正确. 故选：ACD． 【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法： （1）利用基本函数单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等； （2）借助中间值进行比较，常用和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】两边平方得，故，从而求出，利用余弦二倍角公式，正弦和角公式计算出答案 【详解】，两边平方得 ，可得， 又，，故， 因此， 所以， 故， . 故答案为： 13. 化简：______． 【答案】1 【解析】 【分析】化切为弦，通分后利用两角和的余弦变形，再由倍角公式化简得答案． 【详解】解： ． 故答案为1． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的余弦，是基础题． 14. 设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换的过程可知长度之比保持不变，推出推出关于某条对称轴对称，得出，即可求解. 【详解】将图象经平移和伸缩变换后变回的图象，具体操作为： ①所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的； ②所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍； ③向右平移个单位．此时水平直线的方程变为. 设变为，易知在伸缩变换过程中， 虽然线段长度发生改变，但长度之比保持不变，即． 又，所以， 设，则， 关于某条对称轴对称，得，解得， 又可得，故可取， 又， 所以，得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在伸缩变换过程中长度之比保持不变，推出关于某条对称轴对称，得出即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 16. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是常数，现有刚泡好的茶水温度是，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． （1）求的值（计算结果精确到0.01）； （2）经验表明，当室温是时，刚泡好的茶水温度是，自然冷却至时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0．1）参考数据： 【答案】（1）0.22 （2）2.6分钟 【解析】 【分析】（1）由所给函数模型结合已知条件列方程得，由指对互换即可求解. （2）由所给函数模型结合已知条件列方程得，由指对互换以及对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得，代入可得 整理得，取对数得． 【小问2详解】 由题意得 令，可得 解得分钟． 17. 已知． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对f(x)进行化简，得到形的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间.（2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【小问1详解】 ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. 【小问2详解】 时，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 ，原不等式可化为对任意的恒成立对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 18. 意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）． （1）计算的值； （2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明； （3）判断函数的零点个数，并求出零点． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）结合新定义，由指数的运算即可求解； （2）类比即可，结合，即可求证； （3）令，得到，得到其零点， 或，再由和讨论. 小问1详解】 由定义可得， 所以． 【小问2详解】 ，下证明之． 事实上， ． 【小问3详解】 由于 因此，设，由均值不等式， 因此 令，可得或，而当且仅当 可视为函数和的复合，由复合函数单调性，在上单调递增，在上单调递减 若即，则有2解，原方程共有3个解； 令，设，方程可化为，解得故另两解为 若即，此时关于的方程仅有一解，原方程有唯一解； 若即，此时无解，原方程有唯一解． 综上所述，时，原函数有1个零点； 时，原函数有3个零点，为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给双曲余弦函数与双曲正弦函数的定义，第三问关键是通过换元将函数解析式变形为. . 19. 若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对” （1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求m的值： （3）若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 【答案】（1），m可取任意实数； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到相应方程，求解，从而求出答案； （3）结合题意得到的表达式，利用进一步转化结合二次函数的单调性知识，求出结果. 【小问1详解】 由于是“可消函数”， 则任意，都有，即， 即，则，m可取任意实数， 因此函数的“可消数对”为，m可取任意实数； 【小问2详解】 由题意知， 则为函数的“可消数对”， 故任意，都有， 即，由于，不恒等于0， 故， 则； 【小问3详解】 因为存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”， 所以，， 整理得， 因为，故， 则， 则，当时，随着的增大而增大， 故， 即的最小值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳实验学校2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是第四象限角，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 4. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A. 函数具有奇偶性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D. 若某声音乙对应函数近似，则声音乙一定比纯音更低沉 5. 欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知函数，正实数满足，则的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数在区间上所有零点之和为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则是等腰三角形 B. 若非直角三角形，则 C. 若为锐角三角形，则恒成立 D. 若，则为钝角三角形 10. 已知函数，若存在，满足，，则的值可以为（ ）． A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 化简：______． 14. 设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，若，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是常数，现有刚泡好的茶水温度是，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． （1）求的值（计算结果精确到0.01）； （2）经验表明，当室温是时，刚泡好的茶水温度是，自然冷却至时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0．1）参考数据： 17. 已知． （1）求最小正周期和单调递增区间； （2）求在上值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）． （1）计算的值； （2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明； （3）判断函数的零点个数，并求出零点． 19. 若对于实数m，n， 关于x方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对” （1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求m的值： （3）若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$