第01讲 7.1.1 条件概率（知识清单+3类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第01讲 第01讲 7.1.1 条件概率 课程标准 学习目标 ①结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式。 ②了解条件概率与独立性的关系。 ③能计算简单的随机事件的条件概率。 1.通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题； 知识点01：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. （2）特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，. 知识点02：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 【即学即练1】（24-25高三上·上海·阶段练习）在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 知识点03：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 知识点04：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 题型01 条件概率的求法 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·天津西青·阶段练习）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 【典例3】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制（无平局）.若甲队在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为 . 【变式1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 . 题型02 乘法公式的应用 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0．18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【典例2】（多选）（23-24高三下·河北·阶段练习）已知事件发生的概率，事件发生的概率，则以下说法正确的是（    ） A．若，则事件对立 B．若相互独立，则 C．若，则 D．若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立 【典例3】（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为 . 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则 C．如果事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 【变式2】（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 条件概率的性质及应用 【典例1】（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 【典例2】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知，，则（   ） A．0．4 B．0.6 C．0.1 D．0.2 【典例3】（多选）（23-24高二下·吉林通化·期末）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则独立 C．若独立，则 D． 【变式1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·四川成都·模拟预测）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（    ） A．0．6 B．0.65 C．0.45 D．0.045 2．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（    ） A．0．2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 4．（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0．9，寿命超过800小时的概率为0．8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0．5和0．4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥B．事件A与相互独立C．D． 10．（24-25高三上·江苏南京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．与为互斥事件 B．与相互独立 C． D． 三、填空题 11．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 12．（24-25高三上·天津西青·期中）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）“猜灯谜”起源于春秋战国时期，是我国汉族特有的一种民俗文化娱乐活动形式，具有浓郁的民族风格，其灯谜的谜体多种多样，基本可以归为：正扣法、反扣法、侧扣法、增字法、损字法等二十种法门．在一次猜灯谜的活动中，甲、乙两名同学分别抽到正扣法与反扣法两种谜体，将其汇总后共有10道灯谜，其中正扣法有4道灯谜，现甲、乙两人先后依次抽取其中一道． (1)求甲抽到正扣法且乙抽到反扣法的概率； (2)在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜的概率． 14．（2024·河南濮阳·模拟预测）某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率； (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率． B能力提升 15．（24-25高三上·广东·开学考试）在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为． (1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率； (2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率． 16．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为． (1)请将表格内容补充完整；（写出计算过程） (2)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 第01讲 7.1.1 条件概率 课程标准 学习目标 ①结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式。 ②了解条件概率与独立性的关系。 ③能计算简单的随机事件的条件概率。 1.通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题； 知识点01：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. （2）特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，. 知识点02：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 【即学即练1】（24-25高三上·上海·阶段练习）在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 【答案】/0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】利用条件概率公式和古典概率模型即可求解. 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 故答案为: . 知识点03：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 知识点04：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 题型01 条件概率的求法 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】先明确20以内的质数个数，接着求出和即可由条件概率公式得解. 【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 由题意得，， 所以. 故选：D. 【典例2】（24-25高三上·天津西青·阶段练习）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 【答案】 / / 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】利用古典概型和条件概率公式计算即可. 【详解】两次都摸到红球的概率为， 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出. 故答案为：； 【典例3】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制（无平局）.若甲队在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为 . 【答案】/0.4 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率求解即可 【详解】设事件“甲获得冠军”为事件，比赛进行了三局为事件， 则,， . 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先根据题意求出,然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】/0.7 【知识点】计算条件概率 【分析】正用逆用条件概率计算即可. 【详解】由，得，故． 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用、计算条件概率 【分析】利用条件概率公式得到，从而. 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 题型02 乘法公式的应用 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0．18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、条件概率性质的应用 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 【典例2】（多选）（23-24高三下·河北·阶段练习）已知事件发生的概率，事件发生的概率，则以下说法正确的是（    ） A．若，则事件对立 B．若相互独立，则 C．若，则 D．若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立 【答案】BCD 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算条件概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、相互独立事件逐项分析判断即得. 【详解】对于A，事件可能发生在两个不同的试验中，如抛掷一粒骰子出现奇数点的事件为， 抛掷质地均匀的一枚硬币，正面向上的事件为，则， 满足，而事件不对立，A错误； 对于B，事件相互独立，则，B正确； 对于C，，则，，C正确； 对于D，事件相互独立，则，不互斥， 若互斥，则，不相互独立，D正确. 故选：BCD 【典例3】（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合条件概率即可求得答案. 【详解】由题意知粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为， 那么粒子A第一次向左移动一个单位长度的概率为， 故粒子A第一次向右移动，第二次向左移动的概率为； 粒子A第一次向左移动，第二次向左移动的概率为； 故所求的概率， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则 C．如果事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、条件概率性质的应用 【分析】根据概率的乘法公式和相互独立的概念，可判断A；由相互独立的性质判断B；由条件概率的概念可判断C；根据对立事件的概念判断D. 【详解】若，则， 故A，B相互独立，所以选项A正确； 若事件A，B相互独立，则也相互独立，故选项B正确； 若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故选项C正确； B与相互对立，不是相互独立，故D不正确． 故选：D 【变式2】（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、条件概率性质的应用、计算条件概率 【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D. 【详解】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 题型03 条件概率的性质及应用 【典例1】（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（    ） A． B． C．若A、B独立，则 D．若A、B互斥，则 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、条件概率性质的应用、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可. 【详解】对A，由，故选项A错误； 对B，根据条件概率的乘法公式得，故B正确； 对C，若、独立，则, ，故C正确； 对D，若、互斥，则， ，D正确. 故选：A 【典例2】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知，，则（   ） A．0．4 B．0.6 C．0.1 D．0.2 【答案】D 【知识点】条件概率性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则， 故选：D 【典例3】（多选）（23-24高二下·吉林通化·期末）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则独立 C．若独立，则 D． 【答案】ABD 【知识点】独立事件的判断、条件概率性质的应用、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据概率的性质即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据条件概率的性质即可判断D. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确； B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确； C选项，若独立，则，C选项错误； D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确． 故选：ABD． 【变式1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【变式2】（多选）（2024·四川成都·模拟预测）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项. 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 【变式3】（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】概率的基本性质、计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】根据求出，即可判断A；由判断B，由条件概率公式判断C、D. 【详解】因为，，， 且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（    ） A．0．6 B．0.65 C．0.45 D．0.045 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】由可求两个区同时发生停止供水事件的概率. 【详解】由题意可得. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】． 故选：C． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（    ） A．0．2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】直接由条件概率公式即可求解. 【详解】由题意设事件“一名学生数学不及格”，“该名学生两门都不及格”， 则所求为. 故选：A. 4．（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0．9，寿命超过800小时的概率为0．8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件， 则，所以. 故选：A 5．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 6．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0．5和0．4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、条件概率 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件甲中靶，事件乙中靶，事件弓箭靶被射中， 则 所以， ， 即， 故选：D. 7．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 8．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”， 依题意，， 而，解得， 而， 则，而，解得. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏南通·期中）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥B．事件A与相互独立C．D． 【答案】ABC 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可. 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 10．（24-25高三上·江苏南京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．与为互斥事件 B．与相互独立 C． D． 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断 【分析】由互斥事件、相互独立事件的定义判断AB；利用概率的基本性质计算判断C；求出条件概率判断D. 【详解】依题意，不放回的随机取两次，共有种不同结果， ，共个不同结果， ，共个不同结果， ，共个不同结果， 对于A，事件能同时发生，如基本事件，与不互斥，A错误； 对于B，，， 共6个不同结果，，与相互独立，B正确； 对于C，，共9个不同结果， ，，C错误； 对于D，由选项B知，，D正确. 故选：BD 三、填空题 11．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的乘法公式和条件概率求解即可. 【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 12．（24-25高三上·天津西青·期中）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件结合独立事件概率求法求至少有一人命中的概率，记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N，求，结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“至少有一人命中”为事件A，所以； 记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N， 则， ， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）“猜灯谜”起源于春秋战国时期，是我国汉族特有的一种民俗文化娱乐活动形式，具有浓郁的民族风格，其灯谜的谜体多种多样，基本可以归为：正扣法、反扣法、侧扣法、增字法、损字法等二十种法门．在一次猜灯谜的活动中，甲、乙两名同学分别抽到正扣法与反扣法两种谜体，将其汇总后共有10道灯谜，其中正扣法有4道灯谜，现甲、乙两人先后依次抽取其中一道． (1)求甲抽到正扣法且乙抽到反扣法的概率； (2)在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】排列数的计算、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】（1）运用古典概型概率公式，结合排列组合公式计算； （2）运用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）记“甲抽到正扣法”为事件，“乙抽到反扣法”为事件，“甲抽到正扣法且乙抽到反扣法”即为事件，则由题可得， 因为，所以． （2）“在甲抽到正扣法灯谜的条件下，乙抽到反扣法灯谜”即为事件发生的条件下，事件发生的概率，显然， 则． 14．（2024·河南濮阳·模拟预测）某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率； (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据条件概率结合全概率公式，即可求解. （2）设事件“第i次摸到红球”为，结合独立事件的概率乘法公式即可求解 【详解】（1）记事件“第i次摸到红球”为， 则第2次摸到红球的事件为，于是由全概率公式， 得． （2）记事件“第i次摸到红球”为， 则，， 因此 B能力提升 15．（24-25高三上·广东·开学考试）在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为． (1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率； (2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项，，结合互斥事件、独立事件概率计算即可求解. （2）将测试者误判分为三种情况，结合条件概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3， 记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项， 记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项． 所以1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为． （2）当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种： ①若第一次答题时人和机器都选择1，则当重复提问时，人选择2，机器选择2或3，且测试者随机判断机器为人， 则；                     ②若第一次答题时人和机器都选择2，则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2且机器选择1，或人选择2，机器选择3且测试者随机判断机器为人， 则；                 ③若第一次答题时人选择2，机器选择3，则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2，机器选择1，或人选择2，机器选择2且测试者随机判断机器为人， 则， 又，所以． 16．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为． (1)请将表格内容补充完整；（写出计算过程） (2)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】(1)15；5； (2) 【知识点】计算条件概率 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容； （2）利用条件概率的计算公式即可求解． 【详解】（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”， 设甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为x，事件E为“甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）”， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为：． （2）记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， ， ， 则：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$