第02讲 7.1.2 全概率公式（知识清单+3类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第02讲 7.1.2 全概率公式 课程标准 学习目标 1.结合古典概型，了解利用概率的加法公 式与乘法公式推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础。 2.理解全概率公式，并能利用全概率公 式进行相关的概率计算。 3.了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计算。 通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题。 知识点01：全概率公式 （1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. （2）全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 . “全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和. 【即学即练1】（24-25高三上·山东·阶段练习）一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（   ） A．0．8 B．0.5 C．0.23 D．0.32 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式来求得正确答案. 【详解】依题意，教授迟到的概率为. 故选：C 知识点02：贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 【即学即练2】（24-25高三上·江苏扬州）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为： . 故选：A 题型01 全概率公式的应用 【典例1】（多选）（24-25高三上·广西·期中）对于随机事件，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件概率的计算公式，可判断AB的真假，根据和事件概率计算公式，可判断C的真假，结合全概率公式和条件概率计算公式，可判断D的真假. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：因为， 所以. 所以.故D正确. 故选：ABD 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示. 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”，求出，，利用全概率公式即可求解. 【详解】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”， 事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”， ，，， 两次投掷的数字之和是5的情况有：“1,4”，“4,1”，“2,3”，“3,2”， 两次投掷的数字之和是9的情况有：“6,3”，“3,6”，“4,5”，“5,4”， 所以， . 故答案为：. 【典例3】（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 【变式1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】（1）设出事件后，利用全概率公式求解即可得； （2）设出相应事件后，借助组合数公式求出同学乙从箱中取出不同题目的不同概率，再利用全概率公式求解即可得. 【详解】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，， 则； （2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”， 事件为“乙从箱中取出2道选择题”， 事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”， 事件为“乙从箱中取出2道论述题”， 则，，， 则 ， 即丙取出的第一道题是选择题的概率为. 【变式2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. (1)求从乙箱中摸出白球的概率； (2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、实际问题中的组合计数问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立乘法公式、全概率公式求从乙箱中摸出白球的概率 （2）应用条件概率的求法求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【详解】（1）由题意，从甲摸出2红球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出2白球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出红白球各一个的概率为，此时从乙摸出白球概率为， 所以从乙箱中摸出白球的概率为. （2）由（1）知，从乙箱中摸出白球情况下，甲箱中摸出2个红球的概率为. 【变式3】（24-25高三上·湖南·期中）某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为. (1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； (2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设出对应事件，利用全概率公式完成概率计算； （2）先分析目标事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式计算出结果. 【详解】（1）设事件分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品， 则依据已知可得，， 由全概率公式得， 所以他买到的红茶是优质品的概率为. （2）设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有： 甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立， 则， 所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为. 题型02 贝叶斯公式的应用 【典例1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数） 【答案】0.36 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先由古典概率计算抽到各厂产品的概率，再由全概率计算抽到次品的概率，最后由条件概率计算即可； 【详解】设B表示事件：取得次品．表示事件：该产品由第i家工厂生产（，2，3）．第i家工厂（，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂． ，，． ，，，． 故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为． 故答案为：0.36. 【典例2】（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】先根据全概率公式求出，再带入贝叶斯公式计算即可． 【详解】设“从待出厂产品中取出个是次品”为事件A，从待出厂产品中取出个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件，，， 则，，，，，， 由全概率公式得 ， 现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是． 故答案为：. 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）一纸箱中原来装有10件产品，其中一等品5件，二等品3件，三等品2件，若取走一件产品，但不知是几等品，然后从纸箱中任取2件产品，结果都是一等品，求取走的也是一等品的概率． 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】利用结合条件，利用全概率公式及贝叶斯公式计算得解. 【详解】设事件为“取走的是等品”，其中， 依题意，，且、、彼此互斥， 则有，，， 设事件为“取走一件产品后从纸箱中任取2件产品都是一等品”， 则有，，， 由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，， 所以取走的也是一等品的概率. 【变式1】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【答案】 / / 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果. 【详解】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ， 即任意一位病人有症状的概率为， 由贝叶斯公式可知： ， 即病人有症状时患疾病的概率为. 故答案为：，. 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为 （精确到小数点后三位）． 【答案】0.892 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设“产品经检验被认为是次品”，“产品确实为次品”，求出，，，，根据贝叶斯公式求. 【详解】设“产品经检验被认为是次品”，“产品确实为次品”， 由题意知，，，，， 由贝叶斯公式得，所求概率为 ． 故答案为：0.892. 【变式3】（24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“取到第号袋子”，， “取到白球”， 根据题意得， ，， 由贝叶斯公式得， ． 所以这个球来自1号袋中的概率为． 题型03 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 【典例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据全概率公式和条件概率公式即可得出答案. 【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题， 则，， 则 故选：D 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 【答案】(1) (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）小张从家到公司不迟到会受到三条路的影响，因此这是一个全概率问题，根据全概率求解即可； （2）运用条件概率公式之后，再用概率的乘法公式计算即可. 【详解】（1）设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路． 由全概率公式，得 ． 所以小张从家到公司不迟到的概率是． （2）． 所以他选择第一条路的概率约是． 【典例3】（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【答案】(1)0.0345 (2)买到乙厂产品的可能性最大 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）直接由全概率公式即可求解； （2）直接由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）记事件表示“消费者买到一只次品灯泡”，、、分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”， 根据题意得，，，， ，，． 所以； （2）， ， ， 所以买到乙厂产品的可能性最大． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（    ） A．0．3 B．0.21 C．0.125 D．0.09 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】记事件使用新药，则不使用新药，病人3天病愈， 依题意， ， 所以. 故选：C 【变式2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为 ，若此人是色盲，则此人是男人的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式即可求解空1，由贝叶斯公式即可求解空2. 【详解】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C，此人患色盲的概率． 则． 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 【答案】(1)0.7 (2)0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）由贝叶斯公式求解． 【详解】（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”， “月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”， “用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， “用户对S型新能源汽车满意”， 则，，两两互斥，且，，， ，，， 由全概率公式得 ． （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率， A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0．9，0．6，0．2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0．42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（    ） A．0．56 B．0.66 C．0.76 D．0.86 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】直接由全概率公式进行计算即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求准确率为. 故选：C. 3．（23-24高二下·黑龙江绥化·阶段练习）设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车为0．01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率（    ） A．0．6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】先用全概率公式计算中途有车修理的概率，再用贝叶斯公式求这个条件概率即可. 【详解】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则 设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，表示汽车中途停车修理， 则 由全概率公式得 ∴今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为: 故选：C. 4．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0．3、0．5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0．6、0．8，则甲正点到达目的地的概率为（    ） A．0．62 B．0.64 C．0.58 D．0.68 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知，，，． 由全概率公式得． 故选：C． 5．（2024高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0．1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式直接求得结果. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 所以， 故选：D 6．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0．1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0．7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0．04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以， ， 所以. 故选：C 7．（2024高三·全国·专题练习）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 8．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用全概率公式求概率、事件的运算及其含义 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出A正确；再利用和事件的概率公式结合A选项，即可判断BCD. 【详解】对于A，， ， 又，所以， 故，A正确； 对于BCD，，结合， 则，而， 所以，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD 10．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误. 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B错误； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 【答案】0.3/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【详解】设“第天去餐厅就餐”，“第天去餐厅就餐”， 则对立且， 所以． 故答案为：0.3. 12．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 【答案】0.7/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】先由题意分别求出第一天入住无人酒店和第一天入住常规酒店后第二天还入住无人酒店的概率，再由全概率公式即可求解所求概率. 【详解】设第一天入住无人酒店为事件，第一天入住常规酒店为事件，第二天入住无人酒店为事件B， 则由题意可得， 所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为. 故答案为：0.7. 四、解答题 13．（23-24高二下·北京房山·期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. (1)求第一次摸到白球的概率； (2)求第二次摸到白球的概率； (3)求两次摸到的小球颜色不同的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由古典概型计算可得结果； （2）由全概率公式计算可得； （3）根据条件概率公式计算可得. 【详解】（1）设第一次摸到白球的事件为，则 ，即第一次摸到白球的概率为. （2）设第二次摸到白球的事件为，则 ，即第二次摸到白球的概率. （3）设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则 ，即两次摸到的小球颜色不同的概率为. 14．（23-24高二下·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率公式计算可得. 【详解】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 15．（23-24高二下·江苏扬州·期中）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. （2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”， 表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题意，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . （2）结合第（1）问知. B能力提升 16．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中． (1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率； (2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？ 【答案】(1)0.336 (2)保持不变可能最大 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）一次试验后，Ⅰ号盒中的球有以下3种可能组成：不变（记为事件）；3白2黑（记为）；1白4黑（记为）.又设事件分别表示自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取走的是白球，则3个盒中球都保持不变为事件，再由可求得结果； （2）由题意可知根据题意先利用全概率公式计算出，再利用全概率公式求出进行比较即可. 【详解】（1）一次试验后，Ⅰ号盒中的球有以下3种可能组成：不变（记为事件）；3白2黑（记为）；1白4黑（记为）. 又设事件分别表示自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取走的是白球，则3个盒中球都保持不变为事件， 所以， （2）， , , , , 所以, , ， 所以，Ⅰ号盒中的球的组成保持不变的可能性最大. 【点睛】关键点点睛：此题考查独立事件概率公式的应用，考查全概率公式的应用，解题的关键是根据题意正确理解各事件间的关系，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 17．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验．将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验．首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1) (2) (3)方案一 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 7.1.2 全概率公式 课程标准 学习目标 1.结合古典概型，了解利用概率的加法公 式与乘法公式推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础。 2.理解全概率公式，并能利用全概率公 式进行相关的概率计算。 3.了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计算。 通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题。 知识点01：全概率公式 （1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. （2）全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 . “全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和. 【即学即练1】（24-25高三上·山东·阶段练习）一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（   ） A．0．8 B．0.5 C．0.23 D．0.32 知识点02：贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 【即学即练2】（24-25高三上·江苏扬州）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 题型01 全概率公式的应用 【典例1】（多选）（24-25高三上·广西·期中）对于随机事件，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示. 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 . 【典例3】（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【变式1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 【变式2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. (1)求从乙箱中摸出白球的概率； (2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【变式3】（24-25高三上·湖南·期中）某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为. (1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； (2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 题型02 贝叶斯公式的应用 【典例1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数） 【典例2】（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ． 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）一纸箱中原来装有10件产品，其中一等品5件，二等品3件，三等品2件，若取走一件产品，但不知是几等品，然后从纸箱中任取2件产品，结果都是一等品，求取走的也是一等品的概率． 【变式1】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为 （精确到小数点后三位）． 【变式3】（24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 题型03 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 【典例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 【典例3】（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（    ） A．0．3 B．0.21 C．0.125 D．0.09 【变式2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为 ，若此人是色盲，则此人是男人的概率为 ． 【变式3】（23-24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0．9，0．6，0．2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0．42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（    ） A．0．56 B．0.66 C．0.76 D．0.86 3．（23-24高二下·黑龙江绥化·阶段练习）设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车为0．01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率（    ） A．0．6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 4．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0．3、0．5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0．6、0．8，则甲正点到达目的地的概率为（    ） A．0．62 B．0.64 C．0.58 D．0.68 5．（2024高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0．1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 6．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0．1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0．7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0．04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 7．（2024高三·全国·专题练习）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 12．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 四、解答题 13．（23-24高二下·北京房山·期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. (1)求第一次摸到白球的概率； (2)求第二次摸到白球的概率； (3)求两次摸到的小球颜色不同的概率. 14．（23-24高二下·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 15．（23-24高二下·江苏扬州·期中）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? B能力提升 16．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中． (1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率； (2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？ 17．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验．将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验．首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. / 学科网（北京）股份有限公司 $$