7.3.1离散型随机变量的均值学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学选择性必修第三册导学案 第七章 随机变量及其分布 7.3.1　离散型随机变量的均值 【教学目标】 1． 掌握离散型随机变量的均值的概念和性质． 2． 掌握两点分布的均值 3． 会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题． 【自主学习】 1．均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 2．两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 3. 若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，则 E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 【课内探究】 例1. 某人射击10次，所得环数分别是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，则所得的平均环数是多少？ 例2. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率． 例3. 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． 例4. 已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m （1）若Y＝－2X，则E(Y)＝________. （2）若Y＝2X－3，求E(Y)． （3）若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值． 例5. 某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 (1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)； (2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 售价(元/kg) 25 20 15 10 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？ 【课后检测】 1．已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则E(X)的值为(　　) A．2 B．2.4 C．3.6 D．不确定 2．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于(　　) A．67 B．11 C．2 D．1 3.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 若随机变量η＝3X－1，则E(η)为(　　) A．4.2 B．18.9 C．5.3 D．随m变化而变化 4.已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 5．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为其投篮一次命中的个数，则X的均值是________． 6.．利用下列盈利表中的数据进行决策， 自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 －20 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 －10 应选择的方案是________． 7.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束