第04讲 7.3.1 离散型随机变量的均值（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 7.3.1 离散型随机变量的均值 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值的求解问题。 ③能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 【即学即练1】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 则 . （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 【即学即练2】（24-25高二下·全国·课后作业）在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 题型01 两点分布的均值 【典例1】（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（    ） A．0．75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 【变式1】（23-24高二下·广西）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 题型02 离散型随机变量均值公式及性质 【典例1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【典例3】（2024·重庆·模拟预测）随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. (1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； (2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是（    ） X 0 1 P a A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·江苏盐城·期末）一种抛掷骰子游戏：若抛掷出点数为1，2，则得0分；若抛掷出点数为3，4，5，6，则得2分．现抛掷骰子10次，则得分X的期望值为 ． 题型03 离散型随机变量的均值 【典例1】（24-25高三上·广西·阶段练习）一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 【典例2】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． (1)求问题被回答正确的概率； (2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【典例3】（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）某学校根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团是相互独立的，2016年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且． (1)求与的值； (2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望． 【变式1】（24-25高三上·云南大理·开学考试）某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率； (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）某班开展“迎春节、送祝福”活动，将五张分别写有“爱国”“富强”“和谐”“友善”“敬业”且背面完全相同的卡片，文字朝下，洗匀后放在桌面上．学生从中随机抽取一张后放回，洗匀后再随机抽取一张，其中，抽到“爱国”“富强”“和谐”“友善”“敬业”五张福卡分别得5分、4分、3分、2分、1分． (1)设事件“第一次抽到爱国福卡”，事件“第二次抽到友善福卡”，求． (2)若两次抽到福卡的得分之和为，求的分布列与数学期望． 【变式3】（24-25高三上·上海松江·阶段练习）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 题型04 均值的实际应用 【典例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运“带火”．某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶段采用两种不同的方案进行生产，已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合格，则该产品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均为；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分别为． (1)若分别采用两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出厂销售的概率； (2)若方案：每件产品每道工序的加工成本为10元，销售后可获利100元；方案：每件产品的第一、二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售后可获利100元．若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 【典例3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）同学参加学校举行的励志训练营活动，励志训练营设置了难度系数为的项目和难度系数为的项目供学生挑战（），将难度系数视为挑战成功的概率，其挑战规则如下： ①挑战者从装有个标记号和个标记号且相同规格小球的袋中任取一球； ②挑战者挑战的项目与其取出球的记号相同； ③每位挑战者均有次挑战机会； ④挑战项目与项目成功分别记分与分，失败均记为分. (1)求同学挑战次得分的概率； (2)记同学得分为： ①求的分布列与数学期望； ②求证：. 【变式1】（24-25高三上·四川内江·期中）在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：； 乙：； 丙：. 假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立 (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设是甲､乙､丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望. 【变式2】（2024·四川眉山·一模）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【变式3】（24-25高三上·北京·阶段练习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A 做对的概率 获得的奖金/元 20 40 80 规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题. [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 题型05 由离散型随机变量的均值求参数 【典例1】（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 【典例2】（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 【典例3】（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目． (1)若，求的分布列； (2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望； (3)当时，求的最小值，使得． （参考公式：若，则） 【变式1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·北京·期中）已知某一离散型随机变量的分布列，且，则的值为（    ） 4 9 A．5 B．6 C．7 D．8 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5．4 B．9 C．12 D．18 3．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 4．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 5．（23-24高二下·广东东莞·期中）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）乒乓球，被称为中国的“国球”．某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为4 C．函数在上单调递增 D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·广西·期中）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 三、填空题 11．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 12．（24-25高三上·四川成都·开学考试）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 四、解答题 13．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为，参加“机器人操作”比赛合格的概率为. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 14．（23-24高二下·广西贵港·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 15．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元;猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立. (1)若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望; (2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语? B能力提升 16．（2024高三·全国·专题练习）一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为． (1)求； (2)设，求； 17．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次. (1)若试估算该小区化验的总次数； (2)若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少. 注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 7.3.1 离散型随机变量的均值 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值的求解问题。 ③能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 【即学即练1】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 则 . 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列及期望的求法求随机变量的期望. 【详解】由分布列，有. 故答案为： （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 【即学即练2】（24-25高二下·全国·课后作业）在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 【答案】20 【知识点】两点分布的均值、均值的性质 【分析】根据均值性质即可得到答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：20. （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 题型01 两点分布的均值 【典例1】（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（    ） A．0．75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 【答案】C 【知识点】两点分布的均值 【分析】根据分布的概念可知，结合可求，再求期望即可. 【详解】因为X服从分布，所以，因为， 所以，，故． 故选：C 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、两点分布的均值 【分析】根据题意，利用分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·广西）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】均值的性质、两点分布的均值 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【答案】/ 【知识点】两点分布、两点分布的均值 【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解. 【详解】由题意可得，X服从两点分布， ， 故. 故答案为：. 题型02 离散型随机变量均值公式及性质 【典例1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案. 【详解】， 所以. 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 【典例3】（2024·重庆·模拟预测）随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. (1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； (2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得； （2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可. 【详解】（1）设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，， 所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为. （2）设表示一天内模拟考试的次数，则， 由题意知：，，，，， 所以， 因为，所以， 所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是（    ） X 0 1 P a A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】借助概率之和为1，结合期望的性质计算即可得. 【详解】，，， . 故选：B. 【变式2】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 【变式3】（23-24高二下·江苏盐城·期末）一种抛掷骰子游戏：若抛掷出点数为1，2，则得0分；若抛掷出点数为3，4，5，6，则得2分．现抛掷骰子10次，则得分X的期望值为 ． 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】设抛掷骰子一次得分为，求出的可能取值及其对应的概率，即可求出，又，由均值的性质即可得出答案. 【详解】设抛掷骰子一次得分为，则， ，， 所以，因为， 所以. 故答案为：. 题型03 离散型随机变量的均值 【典例1】（24-25高三上·广西·阶段练习）一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、有放回与无放回问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据分步计数原理计算出总数，再列举出小球得分大于的情况，最后根据古典概率公式即可得出答案； （2）先写出的值，计算对应取值的概率，最后列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率. （2）的取值有五种可能， ，，， ，， 所以的分布列为 . 【典例2】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． (1)求问题被回答正确的概率； (2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)． (2)分布列见解析，． 【知识点】随机变量函数的分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得 所以问题被回答正确的概率为． （2）由题意可知：的可能取值有：，，，则有： ， ， ， 所以的分布列为 期望． 【典例3】（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）某学校根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团是相互独立的，2016年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且． (1)求与的值； (2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意根据相互独立事件概率的计算，三个社团都能进入的概率为能够进入每个社团的概率之积，至少进入一个社团的概率为1减去三个社团都不进的概率. （2）根据题意设该新生在社团方面获得校本选修课学分为X，则X的可能取值有，分别求出X的取值为上述分数时的概率，写出分布列即可，最后根据分布列再算出期望. 【详解】（1）由题意得，新生三个社团都能进的概率为， 一个社团都不能进的概率为， 所以至少能进一个社团的概率为， 联立表达式可解得， 故. （2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量， 则的值可以为0，1，2，3，4，5，6． 由（1）得该新生通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为、、. 则； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 故期望. 【变式1】（24-25高三上·云南大理·开学考试）某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率； (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式计算； （2）由可能的取值，计算相应的概率，列出分布列，利用公式计算期望. 【详解】（1）依题意，甲恰好套中1个西瓜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为. 则随机变量的分布列为 0 1 2 故. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）某班开展“迎春节、送祝福”活动，将五张分别写有“爱国”“富强”“和谐”“友善”“敬业”且背面完全相同的卡片，文字朝下，洗匀后放在桌面上．学生从中随机抽取一张后放回，洗匀后再随机抽取一张，其中，抽到“爱国”“富强”“和谐”“友善”“敬业”五张福卡分别得5分、4分、3分、2分、1分． (1)设事件“第一次抽到爱国福卡”，事件“第二次抽到友善福卡”，求． (2)若两次抽到福卡的得分之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，6 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件乘法公式及条件概率计算即可； （2）先应用古典概型计算概率，再应用离散型随机变量的分布列的步骤求解进而求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意，得， ， 所以． （2）的所有可能取值为． ，， ，， ，， ，，． 所以的分布列为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以． 【变式3】（24-25高三上·上海松江·阶段练习）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求； （ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：. （2）（i）设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得：， ，， ，， 故， 故（万元）. （ii）由题设保费的变化为，故. 题型04 均值的实际应用 【典例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)丙先参赛，理由见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【详解】（1）（i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. （2）若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2．顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运“带火”．某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶段采用两种不同的方案进行生产，已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合格，则该产品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均为；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分别为． (1)若分别采用两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出厂销售的概率； (2)若方案：每件产品每道工序的加工成本为10元，销售后可获利100元；方案：每件产品的第一、二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售后可获利100元．若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 【答案】(1) (2)公司应采用方案进行加工生产． 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）首先求出采用方案、加工的产品可以出厂销售的概率，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）用表示方案每件产品的利润，求出的分布列，从而求出；用表示方案每件产品的利润，求出的分布列，从而求出，即可判断. 【详解】（1）采用方案加工的产品可以出厂销售的概率为； 采用方案加工的产品可以出厂销售的概率为， 故生产的两件产品只有一件可以出厂销售的概率． （2）用表示方案每件产品的利润， 则的所有可能取值为， ，， ， ， 所以的分布列为： 则． 用表示方案每件产品的利润， 则的所有可能取值为， ，， ，， 则的分布列为： 则． 因为，所以该公司应采用方案进行加工生产． 【典例3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）同学参加学校举行的励志训练营活动，励志训练营设置了难度系数为的项目和难度系数为的项目供学生挑战（），将难度系数视为挑战成功的概率，其挑战规则如下： ①挑战者从装有个标记号和个标记号且相同规格小球的袋中任取一球； ②挑战者挑战的项目与其取出球的记号相同； ③每位挑战者均有次挑战机会； ④挑战项目与项目成功分别记分与分，失败均记为分. (1)求同学挑战次得分的概率； (2)记同学得分为： ①求的分布列与数学期望； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①分布列见解析；     ；②证明见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）同学挑战次得分包括挑战项目得分和挑战项目得分两种情况，由互斥事件的概率加法公式即得； （2）①分析得出的可能取值有，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式分别计算概率写出分布列，求得数学期望； ②将的解析式分离常数，利用不等式的性质即可证得结论. 【详解】（1）依题意，同学挑战次得分的概率为： ； （2）① 因同学参加了次挑战，根据题意知，的可能取值有. 则， ， ， ，， 则X的分布列为： 故数学期望为：； ②由①已得，， 因，则，即.得证. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查随机变量的分布列和数学期望的应用，属于难题. 解题的关键在于弄清题意，准确把握随机变量在取每个值时包括的所有情况，正确求得每个概率，为后续写出分布列，求得期望和证明奠定基础. 【变式1】（24-25高三上·四川内江·期中）在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：； 乙：； 丙：. 假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立 (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设是甲､乙､丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率； （2）直接计算离散型随机变量的概率及期望. 【详解】（1）设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”， 其概率为； （2）设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故， 事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故， ， ，，. 所以其分布列为 0 1 2 3 期望. 【变式2】（2024·四川眉山·一模）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【答案】(1)答案见解析 (2)应选 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解； （2）分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答. 【详解】（1）由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14， 则， ， ， ， ， ， ， 则的分布列为： 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 （2）记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280， 则，， ， ， ， 则. 记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160， 则，， ， ， ， 显然， 所以应选择. 【变式3】（24-25高三上·北京·阶段练习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A 做对的概率 获得的奖金/元 20 40 80 规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题. [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 【答案】(1) (2)分布列见解析，40（元） (3)不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析. 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，从而求得对应的概率； （2）易知的可能取值为，，，，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值； （3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知. 【详解】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对， 设甲没有获得奖金为事件，则. （2）分别用表示做对题目的事件，则相互独立. 由题意，的可能取值为. ; . 所以甲最终获得的奖金的分布列为 0 20 60 140 （元）. （3）不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下： 由（2）知，按照的顺序获得奖金的期望为40元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元； 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元； 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 显然按照的顺序获得奖金的期望最大. 题型05 由离散型随机变量的均值求参数 【典例1】（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得， 又由，解得. 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 【典例3】（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目． (1)若，求的分布列； (2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望； (3)当时，求的最小值，使得． （参考公式：若，则） 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的性质、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）依题意可得的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）分，两种情况讨论，分别求出分布列与数学期望； （3）结合（2）可得，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）当时的可能取值为、、， ，， ， 所以的分布列为： （2）对于，则，， 所以的分布列为： 所以期望； 对于，则，， 所以的分布列为： 所以期望； （3）依题意可得， 所以， 由，即，解得，又，所以的最小值为. 【变式1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】利用分布列的性质及期望公式即可求解. 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可. 【详解】因为取所有的值是等可能的， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·北京·期中）已知某一离散型随机变量的分布列，且，则的值为（    ） 4 9 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，解得即可. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】利用期望的公式及性质计算即可. 【详解】由题意可知， ∵，∴. 故选：A 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5．4 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P , 手气最好者获得百元代金券 即，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 估计手气最好者至多获得18个百元代金券. 故选：D. 3．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 4．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 5．（23-24高二下·广东东莞·期中）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可得. 【详解】摸取次数的可能取值为2，3，4，5，6，7， 当时，第次取出的必然是红球，而前次中，有且只有一次是红球， 其余取出的都是黑球，则， 故，，，，，， 摸取次数的数学期望：. 故选：D. 6．（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】分别计算出发球1次、2次、3次所对应的概率，然后计算数学期望进行判断计算即可. 【详解】根据题意，发球次数为1的概率为， 发球次数为2的概率， 发球次数为3的概率， 则， 解得或，由可得. 故选：C. 7．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）乒乓球，被称为中国的“国球”．某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为4 C．函数在上单调递增 D． 【答案】C 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为， 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 ， 由知常数项为2，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数的性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：C. 8．（2024·全国·模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能，根据期望的定义分别求，进而分析判断. 【详解】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能， 因为可取0，2，5， 且， 所以． 又因为可取0，2，5， 且， 所以． 而可取2，5，且，则， 所以； 即，所以，故D正确． 故选：D． 二、多选题 9．（24-25高三上·广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列的性质和期望公式可得和的值，再逐项判断即可. 【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高二下·广西·期中）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】BC 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据分布列的性质结合已知条件判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意得，若，则，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，则，又，所以，C正确； 对于D，由，得， ， 因为，，D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【知识点】均值的性质、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 12．（24-25高三上·四川成都·开学考试）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 【答案】/3.25 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，分别求出对应概率，得出分布列，再求得期望，根据基本不等式及二次函数求解即可． 【详解】设“甲获胜”为事件，“乙获胜”为事件， 每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 所以的期望 ， 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 13．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为，参加“机器人操作”比赛合格的概率为. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛，理由见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出的分布列； （2）求出，若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，求出，即可判断. 【详解】（1）由题意得，的可能取值为，，， 所以，，， 所以的分布列为： 0 4 10 （2）由（1）可得， 若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，的可能取值为，，， 所以，，， 所以， 因为，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 14．（23-24高二下·广西贵港·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． （2）由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 15．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元;猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立. (1)若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望; (2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语? 【答案】(1)分布列见解析， (2)先猜A 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别求得其对应概率，结合期望的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别求得先猜A谜语得到的奖金期望与先猜B谜语得到的奖金期望，比较大小，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，的可能取值为， ， ， ， 则分布列为 则. （2）设选择先猜A谜语得到的奖金为元，选择先猜B谜语得到的奖金为元， 则随机变量的可能取值为：0，10，30， 可得，， ， 所以随机变量的的分布列为： Y 0 10 30 P 0.2 0.4 0.4 所以期望； 又由随机变量的可能取值为：0，20，30， 可得，，， 随机变量的分布列为： Z 0 20 30 P 0.5 0.1 0.4 所以期望为， ∴，所以小明应该先猜A. B能力提升 16．（2024高三·全国·专题练习）一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为． (1)求； (2)设，求； 【答案】(1) (2) 【知识点】有放回与无放回问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； （2）分和两种情况讨论，当时，再分第次袋中有个白球，和第次袋中有个白球两种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）∵或， ∴，， ∴； （2）∵当时，， 当时，第次取出来有个白球的可能性有两种： 第次袋中有个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变， 即袋中有个白球，个黑球，第次取出来的也是白球的概率为； 第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次总数为12个， 故此时黑球数为个，这种情况发生的概率为； ∴， ∴综上可知，. 17．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次. (1)若试估算该小区化验的总次数； (2)若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少. 注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，. 【答案】(1)270 (2)10 【知识点】基本不等式求和的最小值、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）设每组居民需化验的次数为，确定其取值，分别求概率，进而可得期望，即得； （2）设每组人总费用为元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得. 【详解】（1）设每组需要检验的次数为，若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则， 所以，， 所以 一共有组，故估计该小区化验的总次数是. （2）设每组人总费用为元，若混合血样呈阴性，则； 若混合血样呈阳性，则， 故， 每位居民的化验费用为   =元 当且仅当，即时取等号，故时，每个居民化验的平均费用最少. / 学科网（北京）股份有限公司 $$