第05讲 7.3.2 离散型随机变量的方差（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第05讲 7.3.2 离散型随机变量的方差 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题。 ③能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 【即学即练1】（2024高二下·全国·专题练习）若某事件A发生的概率为，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为 ． 【答案】/0.25 【知识点】两点分布、两点分布的方差 【分析】由两点分布的方程公式得方程关于是二次函数，由此即可得解. 【详解】事件A在一次试验中发生的次数X服从两点分布， 故，， 所以当时，方差取得最大值． 故答案为：. （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【即学即练2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知随机变量的方差，则随机变量的方差 【答案】 【知识点】方差的性质 【分析】利用方差的性质直接计算求解即可. 【详解】因为随机变量的方差，随机变量， 所以 故答案为： 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 【即学即练3】（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 【答案】 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质及数学期望公式，列出方程求出、的值，进而利用方差公式求出方差即可. 【详解】由题意知，解得， 所以. 故答案为：. 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 题型01 求离散型随机变量的方差、标准差 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【详解】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 【答案】 【知识点】方差的性质、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】先根据分布列概率和为1得出，再计算分布列的数学期望及方差，最后应用方差性质得出，再计算标准差即可. 【详解】由，得， 所以， ，， 所以. 故答案为：. 【典例3】（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 机床 次品数 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 机床 次品数 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？ 【答案】利用样本方差 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先利用随机变量的均值比较，因，无法区分两机床的加工质量，故考虑比较方差，通过计算得出，即得机床加工的质量更稳定. 【详解】由， ． 因，即根据数学期望无法区分这两台机床的加工质量，故考虑运用方差. , , 因，故机床加工的质量更稳定. 由此可见，利用样本方差可以刻画样本数据的稳定性，从而可以较好地比较两台机床的加工质量. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质可得，即可求解期望，由方差的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，故，解得或（舍去）， 故随机变量的分布列如下：. 1 2 3 故，， 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 【答案】1，1 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】计算出期望，进而利用方差公式求出方差，得到标准差. 【详解】， 所以， ． 故方差和标准差均为1. 题型02 离散型随机变量的方差公式及性质 【典例1】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】利用分布列的性质结合给定概率求出，再求出，进而利用方差的性质计算即得. 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 【典例2】（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 【典例3】（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根分布列的性质求出、，从而求出，再根据方差的性质求出，即可求出. 【详解】依题意，解得， 所以， 所以，则. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， ， 因为， 则 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根据题意求，再结合方差的性质运算求解. 【详解】由题意可得：， ， 所以. 故选：D. 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的分布为 1 2 3 则的最大值为 ． 【答案】6 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】利用，只需求的最大值即可， 【详解】，只需求的最大值即可， 根据题意：，， ， 所以 ， 当时，其最大值为，故的最大值为． 故答案为：6． 题型03 两点分布的方差 【典例1】（23-24高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点分布的均值、两点分布的方差 【分析】利用期望、方差公式求出，再比较大小即得. 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 【典例2】（多选）（24-25高三上·全国·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】两点分布的均值、两点分布的方差 【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可. 【详解】依题意，得，，服从两点分布， 所以，，，， 因为，则，， 所以，，， 所以，，， ，即， 所以ACD错误，B正确. 故选：ACD. 【典例3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 【答案】/ 【知识点】两点分布、两点分布的均值、方差的性质 【分析】根据两点分布的特点和方差公式得，再利用方差的性质即可得到答案. 【详解】根据两点分布的特点得， 则， 根据方差的性质得， 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】两点分布的均值、两点分布的方差 【分析】利用两点分布的期望和方差的公式即可求解. 【详解】依题意，可知服从两点分布， 又，则， 所以，. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·重庆渝北·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】均值的性质、两点分布的均值、方差的性质、两点分布的方差 【分析】由题意求得，，结合，，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，且， 可得，且， 所以，. 故选：B. 【变式3】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】两点分布的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根据二点分布，求得，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由题意，随机变量X服从两点分布，其中，所以 ， 则， 对于A中，，所以A不正确、所以D正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由，，所以，所以C正确； 故选：CD. 题型04 方差的实际应用 【典例1】（24-25高三上·北京东城·阶段练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3). 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、两点分布的方差 【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率. （2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望. （4）求出及的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小. 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为. （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望. （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以. 【典例2】（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： 歌曲 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000 (1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； (2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由. 【答案】(1)0.4 (2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析. 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解. （2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案. 【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生. 设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得 . （2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为， 则的所有可能取值为， 所以； 甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为， 则的所有可能取值为， 所以. 参考答案一：由于， 由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名. 参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 其他合理答案均给分 【典例3】（23-24高二下·福建泉州·期中）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 支持方案二 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列； (2)在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小，（直接写结果） 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】方差的性质、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分别计算出抽到女生的概率，分析可知随机变量的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （2）分析可知，，由方差的性质可得出、的关系. 【详解】（1）解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件， 则，，则的可能取值为、、， 所以，， ，所以的分布列为： （2）解：依题意可得，所以，即. 【变式1】（23-24高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 (1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； (2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； (3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【知识点】两点分布的方差、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、用频率估计概率 【分析】（1）利用频率来求概率即可； （2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望； （3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可. 【详解】（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件， 由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人， 所以． （2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为 由题意可知，可取0，1，2 ， ， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的数学期望为 ． （3）因为在站上车的有60人，下车的有36人， 所以， 所以， 因为在站上车的有24人，下车的有56人， 所以， 所以， 因为在站上车的有38人，下车的有26人， 所以， 所以， 所以. 【变式2】（23-24高二下·山西·期中）对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据： 将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个等级. (1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率； (2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由. 年降水量作物种类 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 【答案】(1)该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为； (2)作物丙最适合在该地区推广种植，理由见解析 【知识点】用频率估计概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）由数据得出降水量偏少､适中､偏多的年数，计算频率，估计出概率； （2）分别计算种植甲､乙､丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果. 【详解】（1）将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知： 降水量偏少的年份有4年，概率可估计为； 降水量适中的年份有10年，概率可估计为； 降水量偏多的年份有6年，概率可估计为. 于是该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为； （2）设种植农作物甲､乙､丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量， 则的分布列为： 8 12 0.5 0.5 故种植甲则每亩地获利的期望千元， 则的分布列为： 12 10 7 0.2 0.5 0.3 故种植乙则每亩地获利的期望千元， 7 10 12 0.2 0.5 0.3 故种植丙则每亩地获利的期望千元， 所以， 即种植甲､丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙， 又， ， ，故种植丙时获利的稳定性更好， 因此，作物丙最适合在该地区推广种植. 【变式3】（23-24高三下·上海·阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A､B两名同学中产生，测试方案如下：A､B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率是，A､B两名同学作答问题相互独立. (1)求A､B恰好答对2个问题的概率； (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，说明理由？ 【答案】(1) (2)选择A同学，理由见解析 【知识点】求超几何分布的概率、离散型随机变量的方差与标准差、均值的实际应用、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用超几何概率求A答对的题数对应概率，利用二项分布概率公式求B答对的题数Y对应概率，进而求A､B恰好答对2个问题的概率即可； （2）根据（1）所得各可能值对应概率分别求出X，Y的期望、方差，比较大小即可下结论. 【详解】（1）设A答对的题数，则，且，， 设B答对的题数Y，则，且，， ，， 所以A､B恰好答对2个问题的概率为. （2）由（1）知：，， 而，， 所以，故选择A. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由随机变量的性质可得，再结合期望的公式，代入计算，即可求得，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 2．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0．2 B．1.2 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】先求出，再求出，最后根据，求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·天津河东·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】利用离散型随机变量的分布列及期望、方差公式计算一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，解方程得，故A、B错误； 因为，所以，故C错误； 由条件可知， 所以，故D正确. 故选：D 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】求出、、、，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， ，所以A错误； 对于B，因为， ， 即，故B错误； 对于C，，所以当增大时，也增大，故C正确； 对于D,由， 因为，所以当增大时，增大，可知D错误. 故选：C. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【知识点】二项分布的方差、方差的性质 【分析】根据题意，利用二项分布的方差公式，求得，由，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，所以， 所以． 故选：D. 6．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下： 成绩（分） 94 95 97 98 100 周数（个） 1 2 2 4 1 这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数 【分析】根据中位数和方差的定义计算可得 【详解】将这个周的成绩从小到大排列后，处在第位的两个数分别是， 这两个数的平均数为， 平均成绩为， 所以该组数的方差为. 故选：B 7．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、均值的性质、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 8．（23-24高二下·贵州黔西·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时，（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．无最大值也无最小值 C．无最大值但有最小值 D．有最大值但无最小值 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据给定的分布列求出期望，再由方差定义求出，结合二次函数性质判断得解. 【详解】由分布列，得随机变量的期望， 则， 由，得当时，取得最大值，无最小值. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（    ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】运用分布列性质求，再用均值和方差公式及其性质计算即可. 【详解】由分布列的性质知，则. 对A，，故A错误； 对C，，故C错误； 对B，，故B正确； 对D，，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D. 【详解】由可得：①， 又因为，故C正确. 所以， 则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误； , ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高二下·全国·课后作业）某银行对某种理财产品作统计，若投资10万元，表示该理财产品的利润（单位：万元），其分布列如下表所示，则 ． 0 2 4 0.2 0.1 0.5 0.2 【答案】2.84 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】首先求出其均值，再利用方差公式计算即可. 【详解】， 所以． 故答案为：2.84. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据概率和为1可得，进而可得，再根据数学期望与方差的公式，结合二次函数的范围求解即可. 【详解】由题可得，因为，所以， 因为，即，化简得， 则 ， 当时，此时有最小值为1（舍去）， 即的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·北京·开学考试）近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 0.8 平时 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00 0.7 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率； (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为48元. (3)1.5元 (4)新能源汽车花费更少. 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的实际应用、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用超几何分布概率计算； （2）根据题意求概率，列分布列，再计算数学期望； （3）分别确定各种可能的费用以及概率即可求解； （4）计算两种汽车的花费，比较大小即可求解. 【详解】（1）记事件品牌被选中，则. （2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时， 在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时， 在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时， 可能的取值有，则 分布列如下： 54 45 36 所以元. （3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为， 所以充电1千瓦时的平均费用为元. （4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元， 若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元， 结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少. 14．（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． (1)求随机变量的分布列和期望； (2)若，设随机变量的方差为，求证：． 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）依题意可能的取值为，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）根据，表示出，再换元，利用二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题随机变量可能的取值为，， 则， ， 故的分布列为： 2 3 故； （2）由（1）知， ， 令，因为，故， 此时 ， 因为二次函数关于对称，又，当时， 所以， 即． 15．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列及方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，方差为 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）由题意可得，可求； （2）由，求解即可； （3）的所有可能值为，由（1）可求的分布列，进而可求，. 【详解】（1）由题意得随机变量的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2）． （3）的所有可能值为， ∴，， 所以的分布列为： 所以， . B能力提升 16．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 17．（2024·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、两点分布、写出简单离散型随机变量分布列、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系． 【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米, 所以估计为； （2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为， 估计为， 根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且 ； ； ； ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3） 理由如下： ，所以； ，所以； ，所以； 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 7.3.2 离散型随机变量的方差 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题。 ③能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 【即学即练1】（2024高二下·全国·专题练习）若某事件A发生的概率为，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为 ． （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【即学即练2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知随机变量的方差，则随机变量的方差 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 【即学即练3】（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 题型01 求离散型随机变量的方差、标准差 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 【典例3】（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 机床 次品数 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 机床 次品数 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？ 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 题型02 离散型随机变量的方差公式及性质 【典例1】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 【变式1】（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 且，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的分布为 1 2 3 则的最大值为 ． 题型03 两点分布的方差 【典例1】（23-24高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高三上·全国·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 【变式1】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24高二下·重庆渝北·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 方差的实际应用 【典例1】（24-25高三上·北京东城·阶段练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【典例2】（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： 歌曲 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000 (1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； (2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由. 【典例3】（23-24高二下·福建泉州·期中）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 支持方案二 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列； (2)在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小，（直接写结果） 【变式1】（23-24高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 (1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； (2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； (3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 【变式2】（23-24高二下·山西·期中）对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据： 将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个等级. (1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率； (2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由. 年降水量作物种类 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 【变式3】（23-24高三下·上海·阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A､B两名同学中产生，测试方案如下：A､B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率是，A､B两名同学作答问题相互独立. (1)求A､B恰好答对2个问题的概率； (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，说明理由？ A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0．2 B．1.2 C．5 D．6 3．（23-24高二下·天津河东·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 5．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 6．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下： 成绩（分） 94 95 97 98 100 周数（个） 1 2 2 4 1 这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 7．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 8．（23-24高二下·贵州黔西·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时，（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．无最大值也无最小值 C．无最大值但有最小值 D．有最大值但无最小值 二、多选题 9．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（    ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二下·全国·课后作业）某银行对某种理财产品作统计，若投资10万元，表示该理财产品的利润（单位：万元），其分布列如下表所示，则 ． 0 2 4 0.2 0.1 0.5 0.2 12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 四、解答题 13．（24-25高三上·北京·开学考试）近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 0.8 平时 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00 0.7 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率； (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 14．（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． (1)求随机变量的分布列和期望； (2)若，设随机变量的方差为，求证：． 15．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列及方差． B能力提升 16．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 17．（2024·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） / 学科网（北京）股份有限公司 $$