专题03 中考数学配方法的十种应用-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题03 中考数学配方法的十种应用（原卷版） 类型一 判断代数式的正负 1．（2024春•湘乡市期末）若x为任意有理数，则多项式4x﹣4﹣x2的值（　　） A．一定为正数 B．一定为负数 C．不可能为正数 D．可能为任意有理数 2．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（　　） A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数 C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关 类型二 比较大小 3．（2023春•招远市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 4．（2024秋•冷水滩区月考）二次三项式x2﹣4x+7值（　　） A．可以等于0 B．大于3 C．不小于3 D．既可以为正，也可以为负 5．（2024春•秦淮区期中）已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定 类型三 配方变形及求字母的值 6．（2023秋•江陵县期末）将x2﹣6x﹣4＝0进行配方变形，下列正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝13 B．（x﹣6）2＝9 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝9 7．若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 类型四 配方法求字母的值 8．（2024秋•海安市期末）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣4y＝1+m，2y2+4xy+6＝1﹣m，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2022春•东台市期中）阅读下面材料： 在第九章的学习中，我们认识了完全平方公式，即（a±b）2＝a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式． 把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫做配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆用，即a2±2ab+b2＝（a+b）2． 例如：对于x2﹣2x+4配方 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3 ②选取二次项和常数项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x或x2﹣2x+4＝x2+4x+4﹣6x＝（x+2）2﹣6x ③选取一次项和常数项配方：x2﹣2x+4（）2 根据上述材料，解决下列问题： （1）把4x2+1配成一个完全平方式，请你添加一单项式，使它成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是　 　（只需添加一个你认为正确的结论）； （2）写出x2+4x+9的两种不同配方形式； （3）若4x2+y2﹣4x+6y+10＝0，求x、y的值． 类型五 用配方法求代数式的最值 10．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值，并写出取到最小值时的x值．通过观察式子的结构特征，小明联想到可以用一元二次方程的解法中的配方法来解决问题，具体分析过程如下： x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4， 所以，当x＝1时，代数式有最小值，是﹣4． （1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面的问题： ①求x2﹣6x的最小值； ②求x2﹣4x+y2+2y+9的最小值． （2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4+2x2+6的最小值． 解：∵x4+2x2+6＝x4+2x2+1+5＝（x2+1）2+5， ∴原式有最小值，是5． 请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由． 11．（2023秋•吉州区月考）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2+2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又：（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6， ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）求代数式x2+4x+2027最小值． （2）求代数式2x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值． （3）设a＞0，求的最小值，并求出此时a的值． 12．（2024秋•下城区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 　 ． 13．（2023秋•海州区期中）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值为 　 ． 14．（2024•东莞市三模）已知x＝m是一元二次方程x2+3x﹣n＝0的一个根，则m+n的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．﹣4 15．（2024秋•沙坡头区期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10＝（a2+6a）+10 ＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1， ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）+1≥1． 因此，该式有最小值1． ②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝0，a2+2a（b+c）+（b+c）2＝0，可得（a+b+c）2＝0． （1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a（x+h）2+k的形式； （2）若p＝x2+2x+6，用配方法求p的最小值； （3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状并说明理由． 类型六 配方法在多元二次方程中的应用 16．（2023春•宝塔区期末）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 17．（2024•阜阳一模）已知实数x，y，z且满足，x≥0，y≥0．下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2y+z B．y＝2x+z C．z＝2y+x D．4xy＝x2+x2 18．（2022秋•鼓楼区月考）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024•蜀山区模拟）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　 　． 20．（2024春•成都期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．已知34是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式 　 　；若S＝x2+9y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k＝　 ． 类型七 用配方法分解因式 21．请看下面的问题：把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x2﹣4xa﹣b2﹣4ab； （2）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 类型八 用配方法化简二次根式 22．（2022春•芝罘区期中）阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（a，b为非负有理数），则． ∴． 由①得，b＝4﹣a，代入②得：（4﹣a）a＝3，解得a1＝1，a2＝3． ∴b1＝3，b2＝1． ∴，． 请根据以上阅读理解，解决下列问题： （1）请直接写出的化简结果是 　 ； （2）化简； （3）判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 类型九 配方法与根的判别式综合运用 23．（2024•黄州区模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　 　 24．若a，b，c为实数关于x的方程2x2+2（a﹣c）x+（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0有实数根，求证：a+c＝2b． 类型八　配方法解方程 25．（无锡期中）用配方法解方程y2﹣6y+7＝0，得（y+m）2＝n，则（　　） A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣7 26．（陕西月考）认真阅读以下材料，并解答问题： 材料：（1）配方：利用完全平方公式，把二次三项式写成（a﹣k）2+h的形式． 例：x2﹣2x＝x2﹣2•1•x+12﹣12＝（x﹣1）2﹣1 （2）利用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0） 问题：（1）把多项式直接写成（a﹣k）2+h的形式：x2﹣6x﹣3＝　 　 （2）用配方法解方程：x2+6x+8＝0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中考数学配方法的十种应用（解析版） 类型一 判断代数式的正负 1．（2024春•湘乡市期末）若x为任意有理数，则多项式4x﹣4﹣x2的值（　　） A．一定为正数 B．一定为负数 C．不可能为正数 D．可能为任意有理数 【思路引领】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【完整解答】解：4x﹣4﹣x2 ＝﹣x2+4x﹣4 ＝﹣（x2﹣4x+4） ＝﹣（x﹣2）2≤0 则多项式4x﹣4﹣x2的值不可能为正数， 故选：C． 【总结提升】本题考查的是配方法的应用、偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 2．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（　　） A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数 C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关 【思路引领】利用配方法将2x2+4x+5进行配方，再利用非负数的性质得出答案． 【完整解答】解：∵2x2+4x+5＝2（x2+2x+1）﹣2+5＝2（x+1）2+3≥3， ∴原式一定为正数． 故选：A． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型二 比较大小 3．（2023春•招远市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 【思路引领】求出M﹣N的结果，再判断即可． 【完整解答】解：根据题意，可知M﹣N＝m2﹣2m﹣6m+25＝m2﹣8m+16+9＝（m﹣4）2+9＞0， 所以M＞N． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 4．（2024秋•冷水滩区月考）二次三项式x2﹣4x+7值（　　） A．可以等于0 B．大于3 C．不小于3 D．既可以为正，也可以为负 【思路引领】将多项式中的7变形为4+3，利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0即可求出结果不小于3． 【完整解答】解：x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3， ∵（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3≥3，即不小于3． 故选：C． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．（2024春•秦淮区期中）已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定 【思路引领】利用作差法比较A与B的大小即可． 【完整解答】解：∵A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1， ∴A﹣B＝a2﹣a+4﹣3a+1＝a2﹣4a+4+1＝（a﹣2）2+1≥1＞0， 则A＞B， 故选：A． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型三 配方变形及求字母的值 6．（2023秋•江陵县期末）将x2﹣6x﹣4＝0进行配方变形，下列正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝13 B．（x﹣6）2＝9 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝9 【思路引领】因为（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，则有x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，x2﹣6x﹣4＝（x﹣3）2﹣9﹣4＝（x﹣3）2﹣13，进而可把x2﹣6x﹣4＝0进行配方变形． 【完整解答】解：∵x2﹣6x﹣4 ＝（x﹣3）2﹣9﹣4 ＝（x﹣3）2﹣13， ∴x2﹣6x﹣4＝0进行配方变形为（x﹣3）2＝13． 故选：C． 【总结提升】本题考查了一元二次方程配方法的应用，综合性较强，难度适中． 7．若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【思路引领】将x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【完整解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1， ∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1， ∴2b＝4，a＝b2﹣1， ∴b＝2，a＝22﹣1＝3， ∴a+b＝3+2＝5． 故选：A． 【总结提升】本题考查了配方法的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键． 类型四 配方法求字母的值 8．（2024秋•海安市期末）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣4y＝1+m，2y2+4xy+6＝1﹣m，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路引领】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【完整解答】解：∵x2﹣2xy﹣4y＝1+m，2y2+4xy+6＝1﹣m， ∴x2+2xy﹣4y+2y2+6＝2， ∴（x+y）2+（y﹣2）2＝0， ∴x＝﹣y＝﹣2，y＝2， ∴1+m＝x2﹣2xy﹣4y＝4+8﹣8＝4， ∴m＝3， 故选：A． 【总结提升】本题考查了配方法的应用，找完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． 9．（2022春•东台市期中）阅读下面材料： 在第九章的学习中，我们认识了完全平方公式，即（a±b）2＝a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式． 把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫做配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆用，即a2±2ab+b2＝（a+b）2． 例如：对于x2﹣2x+4配方 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3 ②选取二次项和常数项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x或x2﹣2x+4＝x2+4x+4﹣6x＝（x+2）2﹣6x ③选取一次项和常数项配方：x2﹣2x+4（）2 根据上述材料，解决下列问题： （1）把4x2+1配成一个完全平方式，请你添加一单项式，使它成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是　4x　（只需添加一个你认为正确的结论）； （2）写出x2+4x+9的两种不同配方形式； （3）若4x2+y2﹣4x+6y+10＝0，求x、y的值． 【思路引领】（1）将4x2+1写成（2x）2+12可知需配上2•（2x）•1即4x； （2）可分别选取二次项和一次项、选取二次项和常数项配方； （3）将10拆成1+9后4x2﹣4x+1、y2+6y+9构成完全平方式，根据非负数性质可得x、y的值． 【完整解答】解：（1）4x2+1＝（2x）2+2•（2x）•1+12＝（2x+1）2， 故添加的单项式可以为：4x； （2）①选取二次项和一次项配方：x2+4x+9＝x2+4x+4+5＝（x+2）2+5； ②选取二次项和常数项配方：x2+4x+9＝x2+6x+9﹣2x＝（x+3）2﹣2x； （3）由题意得：（2x﹣1）2+（y+3）2＝0， ∴2x﹣1＝0，y+3＝0， 解得：x，y＝﹣3． 故答案为：（1）4x． 【总结提升】本题主要考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的构成特点是解题的关键． 类型五 用配方法求代数式的最值 10．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值，并写出取到最小值时的x值．通过观察式子的结构特征，小明联想到可以用一元二次方程的解法中的配方法来解决问题，具体分析过程如下： x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4， 所以，当x＝1时，代数式有最小值，是﹣4． （1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面的问题： ①求x2﹣6x的最小值； ②求x2﹣4x+y2+2y+9的最小值． （2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4+2x2+6的最小值． 解：∵x4+2x2+6＝x4+2x2+1+5＝（x2+1）2+5， ∴原式有最小值，是5． 请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由． 【思路引领】（1）①根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题； ②根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题； （2）根据题目中的式子可以得到小明的做法是否正确． 【完整解答】解：（1）①按照上面小明思考问题的方法， 则x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9 ＝（x﹣3）2﹣9， 则当x＝3时，代数式x2﹣6x有最小值是﹣9； ②x2﹣4x+y2+2y+9 ＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+4 ＝（x﹣2）2+（y+1）2+4， ∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+9有最小值是4； （2）小明的结论错误， 理由：当x2+1＝0时，x无解，不成立， 所以（x2+1）2+5最小值不是5， 因为x2≥0， 所以当x2＝0时，（x2+1）2+5有最小值是6． 【总结提升】本题考查配方法的应用，解题的关键是明确题意，将题目中式子化成题目中例子的形式． 11．（2023秋•吉州区月考）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2+2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又：（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6， ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）求代数式x2+4x+2027最小值． （2）求代数式2x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值． （3）设a＞0，求的最小值，并求出此时a的值． 【思路引领】（1）利用完全平方公式的特点把原式化为（x+2）2+2023，再利用非负数的性质可得答案； （2）利用完全平方公式的特点把原式化为（x﹣2y）2+（x+8）2﹣57，再利用非负数的性质可得答案； （3）由，结合非负数的性质可得答案． 【完整解答】解：（1）x2+4x+2027 ＝x2+4x+4+2023 ＝（x+2）2+2023， 又∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+2023≥2023， ∴代数式x2+4x+2027最小值为2023； （2）2x2﹣4xy+4y2+16x+7 ＝（x2﹣4xy+4y2）+（x2+16x）+7 ＝（x2﹣4xy+4y2）+（x2+16x+64）﹣64+7 ＝（x﹣2y）2+（x+8）2﹣57， ∵（x﹣2y）2≥0，（x+8）2≥0， ∴（x﹣2y）2+（x+8）2﹣57≥﹣57． ∴代数式2x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值为﹣57， 此时（x﹣2y）2＝0，（x+8）2＝0， ∴x＝﹣8，y＝﹣4， ∴xy＝（﹣8）×（﹣4）＝32； （3）∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为8，此时，，即， ∴a＝±2， ∵a＞0， ∴a＝2． 【总结提升】本题考查的是逆用完全平方公式，即配方法的应用，非负数的性质，掌握配方法分步骤与方法是解本题的关键． 12．（2024秋•下城区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 　3　． 【思路引领】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【完整解答】解：∵m﹣n2＝1， ∴n2＝m﹣1，m≥1， 则m2+2n2+4m﹣2 ＝m2+2m﹣2+4m﹣2 ＝m2+6m﹣4 ＝m2+6m+9﹣13 ＝（m+3）2﹣13， ∵m≥1， ∴（m+3）2﹣13≥3，即代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于3． 【总结提升】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2． 13．（2023秋•海州区期中）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值为 　　． 【思路引领】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，即可求得n＝﹣m2﹣2m+3，然后代入所求的代数式，利用配方法m+n的最大值． 【完整解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根， ∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0， ∴m2+2m+n﹣3＝0， ∴n＝﹣m2﹣2m+3， ∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m）2， ∴m+n的最大值为， 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，注意配方法在解题过程中的应用． 14．（2024•东莞市三模）已知x＝m是一元二次方程x2+3x﹣n＝0的一个根，则m+n的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．﹣4 【思路引领】根据一元二次方程的解的定义，把x＝m代入方程x2+3x﹣n＝0中得：m2+3m﹣n＝0，从而可得：n＝m2+3m，进而可得m+n＝m2+4m，然后利用配方法进行计算，即可解答． 【完整解答】解：将x＝m代入一元二次方程x2+3x﹣n＝0，得： m2+3m﹣n＝0， ∴n＝m2+3m， 则m+n＝m2+3m+m＝m2+4m， 设m+n＝y，则： y＝m2+4m， 变形，得：y＝（m+2）2﹣4． ∴当m＝﹣2时，y可以取得最小值﹣4， ∴m+n的最小值为﹣4． 故选：D． 【总结提升】本题主要考查了一元二次方程的解，注意配方法在解题过程中的应用． 15．（2024秋•沙坡头区期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10＝（a2+6a）+10 ＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1， ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）+1≥1． 因此，该式有最小值1． ②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝0，a2+2a（b+c）+（b+c）2＝0，可得（a+b+c）2＝0． （1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a（x+h）2+k的形式； （2）若p＝x2+2x+6，用配方法求p的最小值； （3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状并说明理由． 【思路引领】（1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，根据非负性可得a＝b＝c，由此即可求解． 【完整解答】解：（1）x2+8x+20 ＝（x2+8x）+20 ＝x2+8x+16﹣16+20 ＝（x+4）2+4； （2）p＝x2+2x+6， ∴p＝（x+1）2+5， ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+5≥5， ∴p＝（x+1）2+5≥5， 所以，p的最小值是5； （3）△ABC是等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【总结提升】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用配方法解决问题，属于中考常考题型． 类型六 配方法在多元二次方程中的应用 16．（2023春•宝塔区期末）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【思路引领】将已知三个等式相加，进行配方可得结论． 【完整解答】解：△ABC是等腰三角形，理由是： ∵a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18， ∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17， ∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0， ∴a＝3，b＝2，c＝2， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：A． 【总结提升】本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题． 17．（2024•阜阳一模）已知实数x，y，z且满足，x≥0，y≥0．下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2y+z B．y＝2x+z C．z＝2y+x D．4xy＝x2+x2 【思路引领】根据，x≥0，y≥0．x≥0，灵活变形，即可得到x、y、z的关系． 【完整解答】解：∵， ∴4yz＝x2﹣4y2﹣z2， ∴4y2+4yz+z2＝x2， ∴（2y+z）2＝x2， ∵x≥0，y≥0．x≥0， ∴x＝2y+z， 故选：A． 【总结提升】本题考查完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出x、y、z的关系． 18．（2022秋•鼓楼区月考）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引领】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值． 【完整解答】解：依题意得：， 解得， ∵x≤y， ∴a2≤6a﹣9， 整理，得（a﹣3）2≤0， 故a﹣3＝0， 解得a＝3． 故选：C． 【总结提升】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2． 19．（2024•蜀山区模拟）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　2或3　． 【思路引领】由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可． 【完整解答】解：∵a﹣b＝2， ∴a＝b+2， ∴ab+2b﹣c2+2c ＝b（b+2）+2b﹣c2+2c ＝b2+4b﹣（c2﹣2c） ＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3 ＝0， ∵b≥0，﹣2≤c＜1， ∴4≤（b+2）2≤12， ∵a是整数， ∴b＝0或1， ∴a＝2或3． 故答案为：2或3． 【总结提升】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 20．（2024春•成都期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．已知34是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式 　52+32　；若S＝x2+9y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k＝　5　． 【思路引领】运用配方法根据题中的新定义确定出所求即可． 【完整解答】解：∵34＝25+9＝52+32， ∴34写成a2+b2（a，b为整数）的形式为52+32； ∵S＝x2+9y2+2x﹣12y+k＝（x+1）2+（3y﹣2）2+k﹣5，且为“完美数”， ∴k﹣5＝0， ∴k＝5； 故答案为：52+32；5． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 类型七 用配方法分解因式 21．请看下面的问题：把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x2﹣4xa﹣b2﹣4ab； （2）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 【思路引领】（1）原式变形为x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得； （2）原式展开并变形为（m2n2+2mn+1）﹣（m2+n2﹣2mn），再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【完整解答】解：（1）原式＝x2﹣4ax+4a2﹣4a2﹣b2﹣4ab ＝（x2﹣4ax+4a2）﹣（4a2+b2+4ab） ＝（x﹣2a）2﹣（2a+b）2 ＝（x﹣2a+2a+b）（x﹣2a﹣2a﹣b） ＝（x+b）（x﹣4a﹣b）； （2）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn ＝m2n2﹣m2﹣n2+1+4mn ＝（m2n2+2mn+1）﹣（m2+n2﹣2mn） ＝（mn+1）2﹣（m﹣n）2 ＝（mn+1+m﹣n）（mn+1﹣m+n）． 【总结提升】本题考查灵活应用因式分解的知识，对于（1）解题的关键是知道加什么可以凑成完全平方公式，对于（2）解题的关键是合理的分组． 类型八 用配方法化简二次根式 22．（2022春•芝罘区期中）阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（a，b为非负有理数），则． ∴． 由①得，b＝4﹣a，代入②得：（4﹣a）a＝3，解得a1＝1，a2＝3． ∴b1＝3，b2＝1． ∴，． 请根据以上阅读理解，解决下列问题： （1）请直接写出的化简结果是 　1　； （2）化简； （3）判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 【思路引领】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （3）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判别式求解． 【完整解答】解：（1） ． 故答案为：； （2）设（a，b为非负有理数）， 则， ∴， 由①得，b＝5﹣a，代入②得： （5﹣a）a＝6， 解得a1＝2，a2＝3， ∴b1＝3，b2＝2， ∴， ∴； （3）不能，理由如下： 设（a，b为非负有理数）， 则， ∴， 由①得，b＝2﹣a，代入②得： （2﹣a）a＝6， 即：a2﹣2a+6＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×6＝﹣20＜0， ∴关于a的一元二次方程a2﹣2a+6＝0无解， ∴不能按照上面的方法化简． 【总结提升】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，一元二次方程的解法和根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 类型九 配方法与根的判别式综合运用 23．（2024•黄州区模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　．　 【思路引领】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比． 【完整解答】解：∵方程有实根， ∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0， 化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0， ∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0， ∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b， 所以． 故答案为． 【总结提升】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力． 24．若a，b，c为实数关于x的方程2x2+2（a﹣c）x+（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0有实数根，求证：a+c＝2b． 【思路引领】由关于x的方程2x2+2（a﹣c）x+（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0有实数根，得到Δ＝[2（a﹣c）]2﹣4×2×[（a﹣b）2+（b﹣c）2]≥0，然后通过添项，将式子化为完全平方式，进而得到a+c＝2b． 【完整解答】证明∵关于x的方程2x2+2（a﹣c）x+（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0有实数根， ∴Δ＝[2（a﹣c）]2﹣4×2×[（a﹣b）2+（b﹣c）2]≥0， 4（a﹣c）2﹣8[（a﹣b）2+（b﹣c）2]≥0， （a﹣c）2﹣2[（a﹣b）2+（b﹣c）2]≥0， [（a﹣b）+（b﹣c）]2﹣2（a﹣b）2﹣2（b﹣c）2≥0， （a﹣b）2+2（a﹣b）（b﹣c）+（b﹣c）2﹣2（a﹣b）2﹣2（b﹣c）2≥0， ﹣（a﹣b）2+2（a﹣b）（b﹣c）﹣（b﹣c）2≥0， ﹣[（a﹣b）﹣（b﹣c）]2≥0， ∴（a﹣b）﹣（b﹣c）＝0， a﹣b﹣b+c＝0， ∴a+c＝2b． 【总结提升】本题考查了根的判别式，解题关键是添项，将式子化为完全平方式． 类型八　配方法解方程 25．（无锡期中）用配方法解方程y2﹣6y+7＝0，得（y+m）2＝n，则（　　） A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣7 【思路引领】此题只需通过配方将y2﹣6y+7＝0化为（y﹣3）2＝2的形式，再与（y+m）2＝n对照即可求得m、n的值． 【完整解答】解：由于y2﹣6y+7＝0可化为（y﹣3）2＝2， 则可得：m＝﹣3，n＝2． 故选：B． 【总结提升】本题考查了配方法的应用，解决此题的关键是通过配方，将方程化为完全平方的形式进行解题． 26．（陕西月考）认真阅读以下材料，并解答问题： 材料：（1）配方：利用完全平方公式，把二次三项式写成（a﹣k）2+h的形式． 例：x2﹣2x＝x2﹣2•1•x+12﹣12＝（x﹣1）2﹣1 （2）利用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0） 问题：（1）把多项式直接写成（a﹣k）2+h的形式：x2﹣6x﹣3＝　 　 （2）用配方法解方程：x2+6x+8＝0． 【思路引领】材料：（2）把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方的形式，如果右边的式子为非负数，就可以两边直接开平方求出方程的根． 问题：（1）根据配方法的步骤，直接配方即可； （2）先移项，再进行配方，然后进行计算即可． 【完整解答】解：∵a≠0， ∴两边同时除以a得：x2x0， x2x， x2x， （x）2， ∵a≠0， ∴4a2＞0， 当b2﹣4ac≥0时，两边直接开平方有： x±， x±， ∴x1，x2； 当b2﹣4ac＜0时，此方程无实数根． 问题：（1）x2﹣6x﹣3＝x2﹣2•3x+32﹣32﹣3＝（x﹣3）2﹣12， 故答案为（x﹣3）2﹣12； （2）解方程：x2+6x+8＝0． x2+6x＝﹣8 x2+6x+9＝9﹣8 （x+3）2＝1 ∴x+3＝±1， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$