专题02 代数式的求值求最值及求字母取值范围的方法技巧-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题02 代数式的求值求最值及求字母取值范围的方法技巧（原卷版） 专题诠释： 代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。 类型一 利用整体思想求代数式的值 1．若多项式a2﹣3a+1的值为4，则式子﹣6a+2a2﹣7的值等于　﹣1　． 【思路引领】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【完整解答】解：∵a2﹣3a+1＝4， ∴a2﹣3a＝3， ∴当a2﹣3a＝3时，原式＝2（a2﹣3a）﹣7＝2×3﹣7＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【总结提升】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 2．点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝ 　5　． 【思路引领】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝﹣2a+3，即2a+b＝3，将其代入“4a+2b﹣1＝2（2a+b）﹣1”中即可求出结论． 【完整解答】解：∵点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上， ∴b＝﹣2a+3，即2a+b＝3， ∴4a+2b﹣1＝2（2a+b）﹣1＝2×3﹣1＝5． 故答案为：5． 【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出2a+b＝3是解题的关键． 类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值 3．已知：a2，b2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 【思路引领】（1）利用完全平方和公式分解因式后再代入计算． （2）先提公因式，再代入计算． 【完整解答】解：当a2，b2时， （1）a2+2ab+b2， ＝（a+b）2， ＝（22）2， ＝（2）2， ＝12； （2）a2b﹣ab2， ＝ab（a﹣b）， ＝（2）（2）（22）， ＝[（）2﹣22]×（﹣4）， ＝﹣1×（﹣4）， ＝4． 【总结提升】本题是运用简便方法进行二次根式的化简求值，分解因式是基础，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 4．阅读下列材料并解答下面的问题： 利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决． 例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19． 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a2+b2的值； （2）若，求的值； （3）若n满足（n﹣2024）2+（2023﹣n）2＝1，求式子（n﹣2024）（2023﹣n）的值． 【思路引领】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值； （2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求； （3）原式利用完全平方公式计算即可求出值． 【完整解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3， ∴原式＝（a﹣b）2+2ab ＝4+6 ＝10； （2）把两边平方得：， 则； （3）∵（n﹣2024）2+（2023﹣n）2＝1， ∴1＝[（n﹣2024）+（2023﹣n）]2 ＝（n﹣2024）2+（2023﹣n）2+2（n﹣2024）（2023﹣n）， 则（n﹣2024）（2023﹣n）＝0． 【总结提升】此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型三 通过配方法求代数式的值 5．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣5＝0，则a+b的最小值 　1　． 【思路引领】由已知等式变形表示出a+b，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【完整解答】解：∵﹣a2+5a+b﹣5＝0，（a﹣2）2≥0， ∴a+b ＝a2﹣4a+5 ＝（a2﹣4a+4）+1 ＝（a﹣2）2+1≥1， 当a﹣2＝0，即a＝2时，a+b的最小值为1． 故答案为：1． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　0　． 【思路引领】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m﹣1）2+（n﹣1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解． 【完整解答】解：由题意，得m+n＝2a，mn＝1， 则（m﹣1）2+（n﹣1）2 ＝m2+n2﹣2（m+n）+2 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2 ＝4a2﹣4a， ＝4（a）2﹣1， ∵a≥1， ∴a＝1时，（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为0． 故答案为0． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了二次函数的最值问题． 7．定义：若实数x，y满足x2＝y+t，y2＝x+t，且x≠y，t为常数，则称点（x，y）为“轮换点”．例如，点（1，﹣2）满足：12＝﹣2+3，（﹣2）2＝1+3，则点（1，﹣2）是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy中，点A（m，n）． （1）A1（3，﹣2）和A2（2，﹣3）两点中，点 　A2　是“轮换点”； （2）若二次函数上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当x＝1时，y＝8，②b2﹣4ac＝1，求二次函数解析式； （3）若点A是“轮换点”，用含t的代数式表示m•n，并求t的取值范围． 【思路引领】（1）根据“轮换点”的定义进行求解即可； （2）设点（m，n）是轮换点，根据轮换点的定义，得到（m+n+1）（m﹣n）＝0，根据“轮换点”的定义，m≠n，故m+n+1＝0，再结合x＝1时，y＝8，b2﹣4ac＝1，列出方程组，即可求出a、b、c的值，即可得到答案； （3）由新定义得到m2＝n+t①，n2＝m+t②，然后①﹣②，①+②分别得到m2﹣n2+m﹣n＝0和m2﹣m+n2﹣n＝2t，再进行因式分解得到m+n＝﹣l和mn＝1﹣t，进而求解即可． 【完整解答】解：（1）根据实数x，y满足x2＝y+t，y2＝x+t，且x≠y，t为常数，则称点（x，y）为“轮换点”， ∵A1（3，﹣2）， 则32＝﹣2+11，此时（﹣2）2≠3+11， ∴A1（3，﹣2）不是轮换点； ∵A2（2，﹣3）， 则22＝﹣3+7，此时（﹣3）2＝2+7， ∴A2（2，﹣3）是轮换点． 故答案为：A2； （2）设点（m，n）是轮换点， 由题意可知：m2＝n+t①，且n2＝m+t②， ①﹣②得到：m2﹣n2＝n﹣m，即：（m+n+1）（m﹣n）＝0， ∴m+n+1＝0或m﹣n＝0； 根据“轮换点”的定义，m≠n， ∴m+n+1＝0且m≠n． ∴am2+bm+c＝﹣m﹣1，即：am2+（b+1）m+c+1＝0， 同理得：（b+1）2﹣4a（c+1）＝0， ∵b2﹣4ac＝1， ∴b＝2a﹣1； ∵a+b+c＝8， ∴c＝9﹣3a， ∵b2﹣4ac＝1， ∴16a2﹣40a＝0， 解得：a或a＝0 （舍去）， ∴b＝4，c， ∴y1x2+4x， 综上所述，二次函数解析式为：y1x2+4x； （3）∵点A（m，n）是“轮换点”， ∴m2＝n+t①，n2＝m+t②， ∵①﹣②得：m2﹣n2+m﹣n＝0， ∴（m﹣m）（m+n+1）＝0， 由“轮换点“定义可知：m≠n， ∴m+n+1＝0， ∴m+n＝﹣1， ∵①+②得：m2﹣m+n2﹣n＝2t， ∴m2+n2＝2t+（m+n）＝2t﹣1， ∴（m+n）2﹣2mn＝2t﹣1， ∴1﹣2mn＝2t﹣1， ∴mn＝1﹣t， ∵m≠n， ∴（m﹣n）2＞0， ∴m2﹣2mn+n2＞0， ∴（m+n）2﹣4mn＞0， 把m+n＝﹣1代入，得：1﹣4mn＞0， ∴mn， ∴1﹣t， ∴t， 故mn＝1﹣t，t． 【总结提升】本题是二次函数综合题，考查了新定义“轮换点”、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、因式分解、完全平方公式等知识，本题综合性强，有一定难度．运用分类讨论思想是解题关键． 类型四 利用非负数的性质求代数式的值 8．已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025＝　﹣1　． 【思路引领】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【完整解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【总结提升】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 9．已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【思路引领】由题可知，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，即（x+1）2+n2＝0，根据非负数的性质，解得：x＝m＝﹣1，n＝0，再将其代入计算即可． 【完整解答】解：∵多项式x2+2x+n2的值为﹣1， ∴x2+2x+1+n2＝0， ∴（x+1）2+n2＝0， ∵（x+1）2≥0，n2≥0， ∴x+1＝0，n＝0， 解得：x＝m＝﹣1，n＝0， 当x＝﹣m＝1，时，多项式x2+2x+n2＝1+2+0＝3， 故选：D． 【总结提升】本题考查的是代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 类型五 利用一元二次方程的根与系数关系求代数式的值 10．已知m，n是方程x2﹣2x﹣2016＝0的两个实数根，则n2+2m的值为于（　　） A．1010 B．2012 C．2016 D．2020 【思路引领】由根与系数的关系即可得出m+n＝2、mn＝﹣2016，将n2+2m变形为（m+n）2﹣mn，代入数据即可得出结论． 【完整解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣2016＝0的两个实数根， ∴m+n＝2，mn＝﹣2016， ∴n2+2m＝n2+（m+n）m＝n2+m2+mn＝（m+n）2﹣2mn+mn＝22﹣（﹣2016）＝2020． 故选：D． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出m+n＝2、mn＝﹣2016是解题的关键． 11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【思路引领】联立两个函数表达式得：，即kx2﹣4＝0，则，故，即可求解． 【完整解答】解：联立两个函数表达式得：， 即kx2﹣4＝0， 则， 点N在直线上，则y2＝kx2， 故， 故选：D． 【总结提升】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键． 12．若ab≠1，且有5a2+2001a+9＝0及9b2+2001b+5＝0．求，a的值． 【思路引领】把9b2+2001b+5＝0变形为5•（）2+2001•9＝0，则a和可看作方程5x2+2001x+9＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解． 【完整解答】解：∵5a2+2001a+9＝0，9b2+2001b+5＝0， ∴5a2+2001a+9＝0，5•（）2+2001•9＝0， ∵ab≠1，即a， ∴a和可看作方程5x2+2001x+9＝0的两根， ∴a•，a． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 13．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　　，x1x2＝ 　　； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 【思路引领】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可： （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n，mn，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论； （3）根据题意可知实数s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，进而可得出s+t，st，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st可求出t﹣s的值，再将其代入中，即可求得答案． 【完整解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2，x1•x2． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n， ∴m+n，mn， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝（）2﹣2×（） 1 ； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t， ∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴s+t，st， ∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（）， ∴t﹣s＝±， ∴±， ∴的值为或． 【总结提升】本题考查根与系数的关系、完全平方公式的变形计算以及分式的混合运算，理解题意，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 14．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根，则α+β＝ 　　，α•β＝ 　　； （2）若2，3是方程x2+px+q＝0的两根，求p，q的值； （3）已知两个不同的实数m、n满足m2+5m﹣3＝0．n2+5n﹣3＝0，求的值． 【思路引领】（1）直接利用根与系数的关系可得α+β和αβ的值； （2）根据根与系数的关系得到2+3＝﹣p，2×3＝q，即可得到p、q的值； （3）把m、n看作方程x2+5x﹣3＝0的两根，利用根与系数的关系得到m+n＝﹣5，mn＝﹣3，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答． 【完整解答】解：（1）∵α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根， ∴，， 故答案为：，； （2）∵2，3是方程x2+px+q＝0的两根， ∴2+3＝﹣p，2×3＝q， 解得p＝﹣5，q＝6． （3）∵两个不同的实数m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0 ∴m≠0，n≠0，m，n可看作方程x2+5x﹣3＝0的两根， ∴m+n＝﹣5，mn＝﹣3． ∴ 即的值为． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2，x1•x2是解答本题关键． 15．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题： 已知非零实数a，b同时满足等式x2+4x＝y+4，y2+4y＝x+4，求的值． 小白：哈哈！x＝y结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当x＝y时， ①求x的值． ②求的值． （2）若x≠y，则　23　． 【思路引领】（1）将x＝y代入方程，然后解一元二次方程求解； （2）联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得x2+y2和xy的值，然后将原式通分化简，代入求解． 【完整解答】解：（1）①当x＝y时，x2+4x＝x+4， 整理得x2+3x﹣4＝0，（x﹣1）（x+4）＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4， ②； （2）当x≠y时，联立方程组得 ， 将①﹣②得：x2﹣y2+4x﹣4y＝y﹣x， 整理，得：x2﹣y2+5x﹣5y＝0，（x﹣y）（x+y+5）＝0， 又∵x≠y ∴x+y＝﹣5， 将①+②，得：x2+y2+4x+4y＝y+x+8， 整理，得：x2+y2+3x+3y﹣8＝0， ∴x2+y2＝23， ∴， ∴， 故答案为：23． 【总结提升】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，解一元二次方程，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键． 类型六 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围 16．已知：2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围． 【思路引领】在两个关系式中，共有三个未知量，都有x，且a≤4＜b，所以必须把其中的a、b用含有x的式子代替，即 a，b，然后根据a≤4＜b，列不等式组进行解答． 【完整解答】解：由2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0， 可得a，b，（2分） ∵a≤4＜b，∴，（3分） 由（1），得x≤3．（4分） 由（2），得x＞﹣2．（5分） ∴x的取值范围是﹣2＜x≤3．（7分） 【总结提升】此类题目比较简单，当两个方程中含有三个未知数时，应把一个未知数当作已知，表示出另外两个未知数，再根据两个未知数的关系列出不等式组求出未知数的取值范围即可． 类型七 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小 17．已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2． （1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系； （2）指出A与C哪个大？说明理由． 【思路引领】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答； （2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答． 【完整解答】（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2） ＝a2﹣3a+7﹣a﹣2 ＝a2﹣4a+5 ＝（a2﹣4a+4）+1 ＝（a﹣2）2+1， ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+1≥1， ∴B﹣A＞0， ∴B＞A； （2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2） ＝a2+2a﹣18﹣a﹣2 ＝a2+a﹣20 ＝（a+5）（a﹣4） ∵a＞2， ∴a+5＞0， 当2＜a＜4时，a﹣4＜0， ∴C﹣A＜0，即A＞C， 当a＞4时，a﹣4＞0， ∴C﹣A＞0，即A＜C 当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C． 【总结提升】本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 18．（2022秋•北京期末）已知：P＝x+2，Q． （1）当x＝1时，计算P﹣Q的值； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设y，若x、y均为非零整数，求xy的值． 【思路引领】（1）将x＝1代入计算P﹣Q的值即可； （2）先求差，再比较差与0的大小关系． （3）先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题． 【完整解答】解：（1）当x＝1时， P﹣Q＝x+2 ＝1+2 ； （2）当x＞0时，P≥Q，理由如下： ∵P﹣Q＝x+2 ， ∵x＞0， ∴0或0， ∴当x＞0且x≠2时，P＞Q；当x＝2时，P＝Q； （3）∵y，P＝x+2，Q， ∴y ， ∵x、y均为非零整数， ∴x＝﹣3时，y＝﹣6，xy＝18； x＝﹣6时，y＝﹣2，xy＝12； 综上所述：xy的值为18或12． 【总结提升】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式的求值求最值及求字母取值范围的方法技巧（原卷版） 专题诠释： 代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。 类型一 利用整体思想求代数式的值 1．若多项式a2﹣3a+1的值为4，则式子﹣6a+2a2﹣7的值等于　 ． 2．点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝ 　 　． 类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值 3．已知：a2，b2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 4．阅读下列材料并解答下面的问题： 利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决． 例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19． 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a2+b2的值； （2）若，求的值； （3）若n满足（n﹣2024）2+（2023﹣n）2＝1，求式子（n﹣2024）（2023﹣n）的值． 类型三 通过配方法求代数式的值 5．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣5＝0，则a+b的最小值 　 　． 6．若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　 　． 7．定义：若实数x，y满足x2＝y+t，y2＝x+t，且x≠y，t为常数，则称点（x，y）为“轮换点”．例如，点（1，﹣2）满足：12＝﹣2+3，（﹣2）2＝1+3，则点（1，﹣2）是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy中，点A（m，n）． （1）A1（3，﹣2）和A2（2，﹣3）两点中，点 　 　是“轮换点”； （2）若二次函数上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当x＝1时，y＝8，②b2﹣4ac＝1，求二次函数解析式； （3）若点A是“轮换点”，用含t的代数式表示m•n，并求t的取值范围． 类型四 利用非负数的性质求代数式的值 8．已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025＝　 　． 9．已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 类型五 利用一元二次方程的根与系数关系求代数式的值 10．已知m，n是方程x2﹣2x﹣2016＝0的两个实数根，则n2+2m的值为于（　　） A．1010 B．2012 C．2016 D．2020 11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 12．若ab≠1，且有5a2+2001a+9＝0及9b2+2001b+5＝0．求，a的值． 13．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 ，x1x2＝ 　 ； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 14．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，β是方程2x2+x﹣5＝0的两根，则α+β＝ 　　，α•β＝ 　　； （2）若2，3是方程x2+px+q＝0的两根，求p，q的值； （3）已知两个不同的实数m、n满足m2+5m﹣3＝0．n2+5n﹣3＝0，求的值． 15．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题： 已知非零实数a，b同时满足等式x2+4x＝y+4，y2+4y＝x+4，求的值． 小白：哈哈！x＝y结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当x＝y时， ①求x的值． ②求的值． （2）若x≠y，则 　． 类型六 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围 16．已知：2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围． 类型七 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小 17．已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2． （1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系； （2）指出A与C哪个大？说明理由． 18．（2022秋•北京期末）已知：P＝x+2，Q． （1）当x＝1时，计算P﹣Q的值； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设y，若x、y均为非零整数，求xy的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$