专题05 二元一次方程组中含参数问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题05 二元一次方程组中含参数问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 2 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 4 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 5 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 7 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 10 类型七、二元一次方程组与一元一次不等式的综合问题 13 类型八、二元一次方程组与一元一次不等式组的综合问题 15 压轴能力测评（20题） 19 解题知识必备 1. 二元一次方程的定义 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程． 2. 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 3. 解二元一次方程组 1.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2.加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 压轴题型讲练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则 ， ． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【变式训练1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【变式训练1】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 类型七、二元一次方程组与一元一次不等式的综合问题 例题：（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期中）已知方程组，且，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）已知关于x、y的二元一次方程组，若，则m的取值范围是 【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·开学考试）已知关于x，y的二元一次方程组的解，则m的取值范围是 【变式训练4】（2024·河南安阳·三模）若x，y满足方程组也满足不等式，则a的取值范围是 ． 类型八、二元一次方程组与一元一次不等式组的综合问题 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）方程组的解满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·河北张家口·期末）若是二元一次方程，则 ． 8．（22-23七年级下·重庆江津·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的a值为 ． 9．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）关于，的方程组的解中，则的取值范围为 ． 10．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 12.（23-24七年级下·重庆·期末）若为正整数，关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集是，则满足条件的与的和为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 14．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）对定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若，． (1)求的值； (2)当时，求的非负整数解． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 16．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x，y方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式的解集为．若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 17．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 18．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 19．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 20．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组中含参数问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 2 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 4 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 5 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 7 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 10 类型七、二元一次方程组与一元一次不等式的综合问题 13 类型八、二元一次方程组与一元一次不等式组的综合问题 15 压轴能力测评（20题） 19 解题知识必备 1. 二元一次方程的定义 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程． 2. 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 3. 解二元一次方程组 1.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2.加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 压轴题型讲练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则 ， ． 【答案】 3 0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且， 即①且②， ①②，得， ， 把代入①，， ． 故答案为：3，0． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ，，， ，， ， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为 【答案】1或2 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当，即：时，此时方程化为：，为二元一次方程，满足题意； 当，即：时，则：， 解得：或， 当时，方程转化为：，即：，为二元一次方程，满足题意； 当时，方程转化为：，即：，为一元一次方程，不满足题意，舍去； 综上：或； 故答案为：1或2． 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：2． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入，得，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 故答案为：2． 【变式训练2】（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】23 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，把代入方程得，，再根据，进行整体代入求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 把代入得，，即， ∴， 故答案为：23． 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于m，n的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程的解．把代入方程组，求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解，以及式子的值，求代数式的值，把代入方程组，由①②得，由①②得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 由①②得：， 即， ∴， 由①②得： 即， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得：， ， ， 解得， 故答案为：5． 【变式训练1】（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 类型五、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】把看作已知数由加减消元法求得，由方程组的解为整数，确定出的值即可． 【详解】解：， 得， 解得： ∵关于、的方程组的解为整数， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 类型六、二元一次方程组中的新定义型探究问题 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 【变式训练1】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 类型七、二元一次方程组与一元一次不等式的综合问题 例题：（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、加减消元法 【分析】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤求解即可．熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期中）已知方程组，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题关键．首先解方程组，可得，，结合可得关于的一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：， 由，可得 ，解得， 将，可得 ，解得， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）已知关于x、y的二元一次方程组，若，则m的取值范围是 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． 用方程①减去方程②，得，代入已知不等式求出解集即可确定出m的范围． 【详解】解： ，得：， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·开学考试）已知关于x，y的二元一次方程组的解，则m的取值范围是 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，先利用加减消元法求出，再根据得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， ∴， 故答案为： 【变式训练4】（2024·河南安阳·三模）若x，y满足方程组也满足不等式，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，先解二元一次方程组求出，再根据得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解： ①②得，即， 又∵， ∴， 解得 故答案为：． 类型八、二元一次方程组与一元一次不等式组的综合问题 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】9 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组， ①②得，即， ， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 又关于的不等式组无解， ， 解得：， 即， 所有符合条件的整数为：2、3、4， 所有符合条件的整数和为9． 故答案为：9． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，解二元一次方程组，正确求解方程与不等式是关键；解不等式组，再根据解集为，可求得a的范围；解二元一次方程组，根据也可以求出a的范围，最后确定a的范围，则可求得此范围内的整数值，从而求得这些数的和． 【详解】解：解不等式组中的两个不等式得：； 由于不等式组的解集为， 所以， 解得； 对于二元一次方程组，两个方程相加得：， 所以； 由于，即， 所以； 所以， 满足条件的整数为，0，1，2，3，其和为； 故答案为：5． 【变式训练3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、绝对值的意义、二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1成为解题的关键． 根据二元一次方程的定义得出且求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴且，解得：， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选B． 3．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查的是已知二元一次方程组的解求参数，二元一次方程的解法，由与的值互为相反数，可得，再代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选B 4．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）方程组的解满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及求方程的参数，先观察方程组与不等式的特征，由方程组进行，表达出的代数值，代入，得的代数值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴得。 ∴ 把代入，得，即 ∴把，代入 得 解得 故选：C 5．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【知识点】代入消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 二、填空题 7．（23-24七年级下·河北张家口·期末）若是二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（22-23七年级下·重庆江津·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的a值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，将得出，再根据方程组的解满足，列出方程并解答即可． 【详解】解： 得：， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为： 9．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）关于，的方程组的解中，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相加得到与的差是解题的关键．由两式相加，得到，再根据列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相加，可得，即， 又， ， 解得：． 所以的取值范围是． 故答案为． 10．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 【答案】4 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程解的定义．先利用加减消元法消去，求出，根据为正整数和方程组有整数解，列出关于的方程，求出的值，再把求的代入②求出，最后根据也是整数，对的值进行取舍，然后解答后即可． 【详解】解：， ①②得：， 是正整数， 或， 解得：或7， 把代入②得：， 把代入得， 把代入得， 已知二元一次方程组有整数解， 不符合题意舍去， ， ， 故答案为：4． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解、加减消元法 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 12.（23-24七年级下·重庆·期末）若为正整数，关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集是，则满足条件的与的和为 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由一元一次不等式组的解集求参数、加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组是解题的关键． 加减消元法解二元一次方程组得，由方程组的解为整数可求，解一元一次不等式组可求，然后求和即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入②可得，， ∴， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴， ， 解得，； 解得，； ∵关于的不等式的解集是， ∴当时，，（舍去）， 当时，，，符合题意， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． （1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【详解】（1）解：两个方程相加可得， 则， 根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴，得， 又∵且为整数， ． 14．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）对定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若，． (1)求的值； (2)当时，求的非负整数解． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解二元一次方程，解题的关键是理解题目所给新定义的运算法则，以及解二元一次方程组的方法和步骤． （1）根据，，得出关于m和n的方程组，求解即可； （2）根据（1）中得出的m和n的值，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴，即， ∴符合条件的非负整数解有：，，． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、加减消元法 【分析】（1）利用加减消元解法方程组； （2）利用方程组的解得到，然后解关于的m不等式组； （3）利用不等式性质得到，即，加上（2）的结论得到，然后写出此范围内的整数即可， 本题考查了，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的整数解，解题的关键是：熟练掌握相关解法． 【详解】（1）解： ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 解得：， （3）解：， ∵原不等式的解集是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 16．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x，y方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式的解集为．若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)整数a的值为 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式(组)，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）用a表示出，再结合得出关于a的不等式即可． （2）根据所给不等式的解集为，得出关于a的不等式，再结合（1）中所求出a的范围即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ①+②得， ， 则． ①﹣②得， ， 则， 所以原方程组的解为， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以a的取值范围是． （2）存在，整数a的值为． 因为不等式的解集为， 所以， 解得， 又因为， 所以， 所以整数a的值为． 17．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解． （3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值； 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 18．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 19．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，即， 解得：． 20．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】构造二元一次方程组求解、求不等式组的解集 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$