6.2.3&6.24　向量的数乘运算 向量的数量积【10大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.2.3&6.24　向量的数乘运算 向量的数量积 【考点梳理】 · 考点一：向量的数乘运算 · 考点二：平面向量的混合运算 · 考点三：向量的线性运算的几何应用 · 考点四：三角形的心的向量表示 · 考点五：向量的数量积的定义和几何意义 · 考点六：数量积的运算 · 考点七：数量积和模关系问题 · 考点八：向量夹角的计算 · 考点九：垂直关系的向量表示 · 考点十：已知模求参数问题 · 考点十一：求向量投影 · 考点十二：向量的数量积综合问题 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（    ） A． B． C． D． 题型二：平面向量的混合运算 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 5．（22-23高一·全国）求下列未知向. (1)； (2)； (3). 6．（22-23高一·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·广东广州·期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 12．（22-23高三上·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 题型五：向量的数量积的定义和几何意义 13．（22-23高一下·河南）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（    ） A． B． C． D．3 题型六：数量积的运算 16．（24-25高一下·全国）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 题型七：数量积和模关系问题 19．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B．4 C． D．16 21．（23-24高一下·贵州毕节·期中）若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．1或4 题型八：向量夹角的计算 22．（24-25高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·福建龙岩）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 24．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 题型九：垂直关系的向量表示 25．（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 27．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 题型十：已知模求参数问题 28．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 29．（22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 题型十一：求向量投影 31．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 题型十二：向量的数量积综合问题 34．（23-24高一下·内蒙古包头）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 35．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 36．（23-24高一下·山西大同·期中）如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．    (1)用向量表示； (2)求的大小． 【高分演练】 一、单选题 37．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·全国）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·全国）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是（   ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 41．（23-24高一下·内蒙古包头）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 42．（24-25高一下·全国）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 43．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 44．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 45．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 46．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨）下列说法中正确的是（    ） A．若，均为单位向量，则 B．若，则 C．若且，则与共线 D．若四边形是平行四边形，则 47．（23-24高一下·广西河池）如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（    ） A． B．对于任意一点，都有 C．对于任意一点，都有 D． 48．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 49．（23-24高一下·山东威海·期末）已知正六边形的边长为，中心为，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为 50．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 三、填空题 51．（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ． 52．（24-25高一下·全国·课后作业）若，和的夹角为，则在方向上的投影的数量为 ． 53．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ； 54．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    四、解答题 55．（24-25高一下·全国）已知，，与的夹角.求： (1)在方向上的投影向量； (2)； (3). 56．（23-24高一下·湖北）已知，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 57．（23-24高一下·山西大同）已知，与的夹角为 (1)求与的值； (2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围. 58．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 59．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3&6.24　向量的数乘运算 向量的数量积 【考点梳理】 · 考点一：向量的数乘运算 · 考点二：平面向量的混合运算 · 考点三：向量的线性运算的几何应用 · 考点四：三角形的心的向量表示 · 考点五：向量的数量积的定义和几何意义 · 考点六：数量积的运算 · 考点七：数量积和模关系问题 · 考点八：向量夹角的计算 · 考点九：垂直关系的向量表示 · 考点十：已知模求参数问题 · 考点十一：求向量投影 · 考点十二：向量的数量积综合问题 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，可求. 【详解】由，有，即， 则，所以. 故选：B 题型二：平面向量的混合运算 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列未知向. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量数乘运算求解. 【详解】（1）由得， 所以. （2）由得， 所以. （3）由得， 所以. 6．（22-23高一·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 8．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解. 【详解】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做 因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形. 可得, 所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形， 又，所以分别是中点， 所以． 故选：C 9．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；根据向量加法的三角形法则即可判断B，根据向量减法的三角形法则即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，因为在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 11．（22-23高一下·广东广州·期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解. 【详解】因为，则点P为的重心， 取的中点D， 则，整理得， 所以，可得. 故选：D. 12．（22-23高三上·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 【答案】A 【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案. 【详解】解：设中点为，因为， 所以，即， 因为有公共点， 所以，三点共线，即在的中线， 同理可得在的三条中线上，即为的重心； 因为， 所以，点为的外接圆圆心，即为的外心 综上，点依次是的重心，外心. 故选：A 题型五：向量的数量积的定义和几何意义 题型六：数量积的运算 13．（22-23高一下·河南）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 15．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值. 【详解】， , ， ， ， . 故选：D 16．（24-25高一下·全国）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设向量夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可. 【详解】设向量，的夹角为.因为，则， 所以，则，解得，所以. 故选：C. 17．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解. 【详解】, 故选：D 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【详解】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 题型七：数量积和模关系问题 19．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入计算可得结果. 【详解】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 20．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B．4 C． D．16 【答案】A 【分析】利用平方的方法化简已知条件，再利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方并化简得， 所以. 故选：A 21．（23-24高一下·贵州毕节·期中）若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．1或4 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积定义以及运算律计算可得结果. 【详解】根据题意可知，平面向量两两夹角可以为或， 当夹角为时，可得， 当夹角为时，可得 ； 综上可得1或4. 故选：D 题型八：向量夹角的计算 22．（24-25高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出与，根据向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 则      ， 所以． 故选：A. 23．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，，，计算出，得到答案. 【详解】 ， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为. 故选：C 24．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积公式求出，进而由夹角余弦公式求出答案 【详解】，故， 则，所以与的夹角等于. 故选：D 题型九：垂直关系的向量表示 25．（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积公式计算即可. 【详解】由题意知， 由知. 故选：D 26．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律及模的性质化简求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即①， 又，所以②， 由①②可得，， 即. 故选：C 27．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由可得，再将两边平方，结合数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，即， 所以， 则，解得（负值已舍去）. 故选：B 题型十：已知模求参数问题 28．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】将两边同时平方，得，而，，， 因此，即依题意，又，所以. 故选：A 29．（22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 30．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 题型十一：求向量投影 31．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为，且， 可得，即， 又因为在方向上的投影向量为， 可得，即. 故选：D. 32．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由已知，且， 则， 解得， 故在上的投影向量是＝. 故选：B. 33．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的运算律及投影向量的公式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以，即， 在中，，，则， 所以在方向上的投影向量为， 故选：C． 题型十二：向量的数量积综合问题 34．（23-24高一下·内蒙古包头）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 35．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 36．（23-24高一下·山西大同·期中）如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．    (1)用向量表示； (2)求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解． 【详解】（1）由可知，， 则， 所以； 又为边上的中线，所以． （2）由得， 又，所以向量与的夹角为，则， 由图形可知，的大小等于向量与的夹角， 又， ， ， 所以， 又，所以． 【高分演练】 一、单选题 37．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【详解】. 故选：D 38．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】． 故选：C． 39．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式得出结合角的范围得出夹角即可. 【详解】依题意． 又． 故选：C. 40．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是（   ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据投影的数量的定义计算即可. 【详解】根据投影的数量的定义，设的夹角为， 可得向量在方向上的投影的数量是， 故选:A． 41．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的运算性质推导出，，，即可得出结论. 【详解】因为， 则，所以，， 同理可得，， 所以，是的垂心. 故选：D. 42．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 43．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 44．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 45．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． 二、多选题 46．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若，均为单位向量，则 B．若，则 C．若且，则与共线 D．若四边形是平行四边形，则 【答案】ABC 【分析】根据单位向量及模的定义可对A判断；利用向量的垂直可对B判断；利用共线向量定义可对C判断；因为四边形是平行四边形，可对D判断． 【详解】A：因为，均为单位向量，所以，故A正确； B：因为，所以，故B正确； C：向量与非零向量共线的充要条件为：存在唯一一个实数使， 对于，此时不唯一，但与也共线，故C正确； D：因为是平行四边形，所以，故D错误． 故选：ABC． 47．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（    ） A． B．对于任意一点，都有 C．对于任意一点，都有 D． 【答案】BCD 【分析】由重心的性质及中线的向量表示可判断A，由向量的减法及A判断B，由向量的减法及B可判断C，由数量积的运算法则及相反向量可判断D. 【详解】由题意，知为的重心， 因为F是AB的中点，所以，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 由B选项可知， ，所以，故C正确； 因为， 同理，， 三式相加可得，故D正确. 故选：BCD 48．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，利用向量垂直的充要条件判断即得；对于B，根据投影向量的定义易得；对于C，利用向量数量积的运算律计算求得即可排除；对于D，利用向量数量积的运算律计算推得即可排除. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确； 对于C，由，解得，因，故，即C错误； 对于D，由，得，即，故，即D错误. 故选：AB. 49．（23-24高一下·山东威海·期末）已知正六边形的边长为，中心为，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用向量的数量积计算可判断AD；易得判断B；利用投影向量的定义求得投影向量判断C. 【详解】由题意可得，故A错误； ，故B正确； 在的投影向量为，故C正确； 对于D：设与的夹角为，， 当在方向上的投影向量的模最大时，的数量积最大， 故点与点重合时，的数量积最大， 所以. 故选：BCD. 50．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 三、填空题 51．（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ． 【答案】2 【分析】应用平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】． 故答案为：2. 52．（24-25高一下·全国·课后作业）若，和的夹角为，则在方向上的投影的数量为 ． 【答案】 【分析】应用投影数量定义计算求解即可. 【详解】在方向上的投影的数量为. 故答案为：. 53．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ； 【答案】5 【分析】利用平面向量的数量积求模. 【详解】因为，所以. 由. 所以. 故答案为：5 54．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    【答案】 96 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解. 【详解】设，，因为，分别是边，的中点，所以，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，， 所以．又， 所以． 故答案为：，96 四、解答题 55．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，与的夹角.求： (1)在方向上的投影向量； (2)； (3). 【答案】(1) (2)88 (3)156 【分析】（1）应用投影向量公式计算即可； （2）应用数量积公式及运算律计算求解； （3）应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1）在方向上的投影向量为. （2） . （3） . 56．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合数量积的运算律，利用向量模的运算求得，然后利用向量垂直的运算列式求解即可. （2）结合数量积的运算律，利用向量夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以， 由，得， 即. 所以，解得. （2），， 设与的夹角为，则， 所以与的夹角的余弦值为. 57．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知，与的夹角为 (1)求与的值； (2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量乘法以及模长公式即可求解； （2）根据向量夹角为钝角列不等式即可求解. 【详解】（1）因为与的夹角为，所以, , . （2）因为与的夹角为钝角， 所以， 即，又当时，与反向， 所以若与的夹角为钝角，的取值范围是． 58．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为在菱形中，. 故， 故，所以. （2）显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 59．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i），；（ii）3，；；. (2). 【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得； （2）由数量积结合二次函数即可求得. 【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$