6.2.1&6.2.2 向量的减法运算、加法运算【8大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.2.1&6.2.2 向量的减法运算、加法运算 【考点梳理】 · 考点一：向量加法法则 · 考点二：向量加法的运算律 · 考点三：向量加法法则的几何应用 · 考点四：相反向量 · 考点五：向量减法法则 · 考点六：向量减法的运算律 · 考点七：向量减法法则的几何应用 · 考点八：向量加减法的综合问题 【知识梳理】 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点三：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点四：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：向量加法法则 1．（23-24高一下·重庆涪陵）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北张家口）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：向量加法的运算律 4．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 5．（21-22高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一·江苏）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 题型三：向量加法法则的几何应用 7．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·山西阳泉·期末）菱形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：相反向量 10．（21-22高二下·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量 C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量 11．（20-21高一下·安徽滁州·期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．（20-21高一下·安徽安庆·期末）设点分别是的三边的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型五：向量减法法则 13．（23-24高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023高三·全国·专题练习）下列各式化简结果正确的是（　　） A．＋＝ B．＋＋＋＝ C．＋－＝0 D．－－＝ 题型六：向量减法的运算律 16．（22-23高一下·天津和平）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 17．（20-21高一·全国）化简（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·四川成都）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 题型七：向量减法法则的几何应用 19．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 20．（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 21．（21-22高一下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型八：向量加减法的综合问题 22．（23-24高一下·全国）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 23．（2023高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 24．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 26．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 28．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 30．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（22-23高一下·海南·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 32．（22-23高一下·山东青岛·期末）中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高一下·广东佛山）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 35．（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 36．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 三、填空题 37．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 38．（24-25高一下·全国）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 39．（24-25高一下·全国）在矩形中，，，则 ， ． 40．（24-25高一上·上海）下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 41．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 四、解答题 42．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 43．（22-23高一·全国）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 44．（2023高一·全国）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1&6.2.2 向量的减法运算、加法运算 【考点梳理】 · 考点一：向量加法法则 · 考点二：向量加法的运算律 · 考点三：向量加法法则的几何应用 · 考点四：相反向量 · 考点五：向量减法法则 · 考点六：向量减法的运算律 · 考点七：向量减法法则的几何应用 · 考点八：向量加减法的综合问题 【知识梳理】 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点三：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点四：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：向量加法法则 1．（23-24高一下·重庆涪陵）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·河北张家口）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加法的几何运算逐一判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，C错误； 对于D：，D正确； 故选：D. 3．（2024高一下·全国）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C 题型二：向量加法的运算律 4．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 5．（21-22高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 6．（21-22高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 题型三：向量加法法则的几何应用 7．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果 【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点， 则． 故选：C. 8．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 9．（22-23高一下·山西阳泉·期末）菱形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解. 【详解】因为菱形中，，若， 所以为等边三角形，且， 因为， 所以. 故选：B. 题型四：相反向量 10．（21-22高二下·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量 C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量 【答案】B 【分析】利用相反向量的定义判断选项AB；利用零向量的性质判断选项C；利用共线向量的定义判断选项D. 【详解】解：相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误； 零向量的相反向量是零向量，故C正确； 共线向量是指方向相同或相反的向量，互为相反向量的两个向量方向相反，故D正确， 故选：B． 11．（20-21高一下·安徽滁州·期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量. 【详解】因为，所以四边形是平行四边形， 所以，互相平分，所以，即与为相反向量. 故选：B 12．（20-21高一下·安徽安庆·期末）设点分别是的三边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果. 【详解】由已知可得 ， 故选：A. 题型五：向量减法法则 13．（23-24高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量减法运算化简. 【详解】根据平面向量减法运算可得 . 故选：A 14．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法与减法原则求解即可. 【详解】， ， ， . 故选：A. 15．（2023高三·全国·专题练习）下列各式化简结果正确的是（　　） A．＋＝ B．＋＋＋＝ C．＋－＝0 D．－－＝ 【答案】B 【分析】根据向量的加减法运算法则求解. 【详解】对A，＋，A错误； 对B，＋＋＋＝＋＋ ＝＋＝,B正确； 对C，＋－＝，C错误； 对D，－－＝－＝,D错误； 故选:B. 题型六：向量减法的运算律 16．（22-23高一下·天津和平）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 17．（20-21高一·全国·课后作业）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加减法的运算法则和运算律即可得到答案. 【详解】 故选：D. 18．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 题型七：向量减法法则的几何应用 19．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 20．（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加减法运算求解即可. 【详解】连接，如图所示：    因为， 所以， 所以，所以. 故选：B 21．（21-22高一下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 题型八：向量加减法的综合问题 22．（23-24高一下·全国）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 23．（2023高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【分析】由向量的三角形法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 24．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可. 【详解】（1）由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示． 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 26．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 27．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 28．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 29．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 30．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可. 【详解】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C 31．（22-23高一下·海南·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且， 则， 因为，且， 则有 . 故选：D. 32．（22-23高一下·山东青岛·期末）中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，因为， 由向量的线性运算法则, 可得 因为，所以，所以. 故选：D. 二、多选题 33．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加法法则可逐一判断． 【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确； 对于B项，，B错误； 对于C项，，C正确； 对于D项，，D正确． 故选：ACD 34．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解. 【详解】作出图形，如图所示： 因为四边形为平行四边形，所以，故选项A错误； 因为四边形为平行四边形，所以为的中点，则，故选项B正确； 因为四边形为平行四边形，所以，故选项C正确； 因为四边形为平行四边形，所以，故选项D正确； 故选：BCD. 35．（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的知识逐一判断即可. 【详解】对于，由平面共线向量定理可知, 正确; 设 ，则 , 对于, 因为非零向量 满足 , 即，所以四边形为矩形， ，故 B正确; 对于 ， 因为在三角形中, 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 故 , 故 正确， 错误. 故选: . 36．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC 三、填空题 37．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 38．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 39．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 【答案】 8 【分析】由向量的加法、减法以及模的概念即可求解. 【详解】 在矩形中，因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，8. 40．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 【答案】①②③⑤ 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】因为任意向量加上零向量等于这个向量，故①正确； 由向量的运算律及相反向量的性质可知②③是正确的； 向量的线性运算结果应为向量，故④错误； 由向量的加法运算律，加上一个向量等于减去这个向量的相反向量，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤ 41．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 四、解答题 42．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）直接根据图形和向量线性运算即可得到答案. 【详解】（1）. （2）. （3） （4）. （5） 43．（22-23高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 44．（2023高一·全国·课后作业）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．    【答案】证明见详解 【分析】根据题意结合向量减法分析证明. 【详解】因为 ， 又因为为平行四边形，则为的中点，可得， 所以， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$