专题8.5 实数及其简单运算（4大知识点5大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题8.5 实数及其简单运算（4大知识点5大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【要点提示】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③ 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点2】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【知识点3】实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【知识点4】实数简单运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【考点与题型目录】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】无理数理解识别......................................................2 【题型2】实数理解识别........................................................2 【考点二】性质与特征的巩固 【题型3】实数的分类..........................................................3 【题型4】实数的性质..........................................................3 【题型5】实数与数轴..........................................................3 【考点三】实数的运算 【题型6】无理数的大小估算....................................................4 【题型7】无理数整数部分的有关计算............................................5 【题型8】实数的混合运算......................................................5 【题型9】程序设计与实数运算..................................................5 【题型10】新定义下的实数运算.................................................6 【考点四】实数的运算的应用 【题型11】实数的大小比较.....................................................6 【题型12】实数运算的实际应用.................................................7 【题型13】与实数运算相关的规律题.............................................8 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型14】中考链接...........................................................9 【题型15】拓展延伸...........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】无理数理解识别 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列各数：、、0、、、、中无理数有 个． 【题型2】实数理解识别 【例2】（20-21七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知二次三项式，则实数m的值为 ． 【变式2】（20-21七年级下·福建莆田·期末）对于命题“（为实数）”，能说明它是假命题的反例是 （请写出一个符合条件的的值）． 【考点二】性质与特征的巩固 【题型3】实数的分类 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【变式1】（2025七年级·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（  ） A．是分数 B．是整数 C．是无理数 D．0不是实数 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【题型4】实数的性质 【例4】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 【变式1】2．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【题型5】实数与数轴 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： （1）想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； （2）点表示的实数是______； （3）求三角形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【变式2】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【考点三】实数的运算 【题型6】无理数的大小估算 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： （1）的整数部分是____________，小数部分是____________； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）估算的范围是（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式2】（2025·江西·模拟预测）如图，一个面积为2的正方形放在数轴上，其左端放在原点上，现让这个正方形翻转（数轴足够长），那么翻转3次后，这个正方形右端所对应的数字的小数部分为 ． 【题型7】无理数整数部分的有关计算 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）设的小数部分为的整数部分为，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 【题型8】实数的混合运算 【例8】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）与 互为相反数，则的值为 ． 【题型9】程序设计与实数运算 【例9】（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【题型10】新定义下的实数运算 【例10】（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． （1）_______； （2）对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【变式1】（24-25八年级上·山西临汾·期中）定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【考点四】实数的运算的应用 【题型11】实数的大小比较 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·开学考试）估计大小关系： （填或）． 【变式2】（10-11八年级·四川成都·期中）比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型12】实数运算的实际应用 【例12】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． （1）圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【变式2】（15-16七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【题型13】与实数运算相关的规律题 【例13】（20-21八年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 【变式1】（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【题型10】新定义下的实数运算 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【变式】（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型14】中考链接 【例1】（2021·湖南永州·中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【例2】（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ． 【题型15】拓展延伸 【例1】（20-21七年级下·广东广州·期中）设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【例2】（22-23七年级下·重庆彭水·期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.5 实数及其简单运算（4大知识点5大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【要点提示】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③ 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点2】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【知识点3】实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【知识点4】实数简单运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【考点与题型目录】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】无理数理解识别......................................................2 【题型2】实数理解识别........................................................3 【考点二】性质与特征的巩固 【题型3】实数的分类..........................................................4 【题型4】实数的性质..........................................................5 【题型5】实数与数轴..........................................................6 【考点三】实数的运算 【题型6】无理数的大小估算....................................................9 【题型7】无理数整数部分的有关计算...........................................10 【题型8】实数的混合运算.....................................................12 【题型9】程序设计与实数运算.................................................13 【题型10】新定义下的实数运算................................................14 【考点四】实数的运算的应用 【题型11】实数的大小比较....................................................15 【题型12】实数运算的实际应用................................................17 【题型13】与实数运算相关的规律题............................................19 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型14】中考链接..........................................................21 【题型15】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念的理解与辨析 【题型1】无理数理解识别 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数，算术平方根，无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 解：∵是有理数，不是无理数；是有理数，不是无理数，是有理数，不是无理数，是无理数； 故选：D． 【变式】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列各数：、、0、、、、中无理数有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了无理数、求算术平方根、立方根等知识，根据无理数的定义进行解答即可． 解：、、0、、、、中无理数有、、，共3个， 故答案为：3 【题型2】实数理解识别 【例2】（20-21七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点拨】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知二次三项式，则实数m的值为 ． 【答案】非零实数 【分析】本题主要考查了多项式的定义．根据多项式的定义解答即可求解． 解：∵二次三项式， ∴， 即m的值为非零实数． 故答案为：非零实数 【变式2】（20-21七年级下·福建莆田·期末）对于命题“（为实数）”，能说明它是假命题的反例是 （请写出一个符合条件的的值）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出一个绝对值不等于本身的反例即可，填写一个的实数即可． 解：对于命题“（为实数）”，能说明它是假命题的反例是 故答案为：（答案不唯一） 【点拨】本题考查了假命题的概念，实数，通过举反例判断命题真假是解题的关键． 【考点二】性质与特征的巩固 【题型3】实数的分类 【例3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 【变式1】（2025七年级·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（  ） A．是分数 B．是整数 C．是无理数 D．0不是实数 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类，熟知实数的分类是解答的关键． 根据实数的分类进行判断即可． 解：是无理数，故A说法错误，不符合题意； 是无理数，故B说法错误，不符合题意； 是无理数，故C说法正确，符合题意； 0是实数，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【答案】有理数数集合：｛、、0、、…｝无理数数集合：｛、，3.1041004…｝ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的各个分类依据是解题的关键．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数，有规律但不循环的数．根据有理数、无理数的定义进行解答即可． 解： 有理数数集合：｛、、0、、…｝ 无理数数集合：｛、，3.1041004…｝． 【题型4】实数的性质 【例4】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值、相反数等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．先根据立方根、算术平方根、绝对值求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可． 解：A、5与相等，不互为相反数，不符合题意； B、与相等，不互为相反数，不符合题意； C、与互为相反数，符合题意； D、与相等，不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 【变式1】2．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【题型5】实数与数轴 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： （1）想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； （2）点表示的实数是______； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）的长度为，理由见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等． （1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解； （2）根据题意可得，即可得出点表示的数； （3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解． 解：（1）解：的长度为． 理由：根据题意，得， ． （2）解：∵， ∴， 故点表示的实数是． 故答案为：． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 【变式1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算．先由正方形面积为2可知边长为，而后根据点A表示的数为0即可得到答案． 解：∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为0， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 【考点三】实数的运算 【题型6】无理数的大小估算 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： （1）的整数部分是____________，小数部分是____________； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【答案】（1）4，；（2） 【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键： （1）利用夹逼法进行估算即可； （2）利用夹逼法进行估算求出的值，再进行计算即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分为； 故答案为：4，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）估算的范围是（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）如图，一个面积为2的正方形放在数轴上，其左端放在原点上，现让这个正方形翻转（数轴足够长），那么翻转3次后，这个正方形右端所对应的数字的小数部分为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，无理数的估算，根据题意可得结论． 解：∵正方形的面积为2，所以边长为， 第一次翻转后，正方形的右端点从0移动到； 第二次翻转后，正方形的右端点从移动到； 第三次翻转后，正方形的右端点从移动到； ∵的整数部分为4， ∴右端点的小数部分为 故答案为： 【题型7】无理数整数部分的有关计算 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）设的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出x、y的值是解题的关键． 先根据无理数的估算求其x、y的值，然后计算即可． 解：， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， 故答案为：． 【题型8】实数的混合运算 【例8】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根与立方根，化简绝对值以及有理数的乘方进行计算即可求解． 解：原式． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，先根据立方根，算术平方根，有理数的乘方和绝对值将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 解： ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）与 互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质和相反数的定义，熟练掌握非负数的性质和相反数的定义是解答本题的关键． 根据非负数的性质和相反数的定义解答即可． 解：与 互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【题型9】程序设计与实数运算 【例9】（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是 【答案】 【分析】将代入程序进行计算即可求解． 解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为：． 【点拨】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 解：输入x的值为256时，256的算术平方根是16， 16是有理数，再输入可得： 16的算术平方根是4， 4是有理数，再输入可得： 4的算术平方根是2， 2是有理数，再输入可得： 2的算术平方根是， 是无理数，则输出y的值是． 故答案为：． 【题型10】新定义下的实数运算 【例10】（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． （1）_______； （2）对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 解：（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 【变式1】（24-25八年级上·山西临汾·期中）定义新运算“☆”：，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据新定义运算计算即可． 解： ， 故选：A ． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．根据题意列式计算即可． 解：原式， ， ， 故答案为：19． 【考点四】实数的运算的应用 【题型11】实数的大小比较 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与． 【答案】（1） ；（2） 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法． （1）利用作差法比较即可； （2）利用作差法比较即可． 解：（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，且， 所以，即， 所以． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·开学考试）估计大小关系： （填或）． 【答案】 【分析】本题考查了利用求差法比较实数的大小．任意两个实数和比较大小，可以求这两个实数的差，当的差大于时，；当的差小于时，；当的差等于时，． 解： ， ． 故答案为： ． 【变式2】（10-11八年级·四川成都·期中）比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键． 先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小． 解：∵，，， 而， ∴． 故选：D． 【题型12】实数运算的实际应用 【例12】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． （1）圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】（1），；（2）圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 解：（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 【变式2】（15-16七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点拨】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 【题型13】与实数运算相关的规律题 【例13】（20-21八年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 【答案】 【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案． 解：因为等式左边第一项依次增加2， 所以第5个等式的第一项是11， 因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1， 所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5， 因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积， 所以这个数是30， 观察其余部分都相同，直接带下来即可， 所以第5个等式是． 故答案为：． 【点拨】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力． 【变式1】（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 【变式2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型10】新定义下的实数运算 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 解： ， 故选：B． 【变式】（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型14】中考链接 【例1】（2021·湖南永州·中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得． 解：原式， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键． 【例2】（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ． 【答案】0，1，0，1 【分析】根据定义先确定x0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1即可． 解：∵，，，依次为3，1，2，1， ∴x0=x4=1，x5=x1=3， ∴x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3， ∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1； ∴其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1． 故答案为：0， 1， 0， 1． 【点拨】本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键． 【题型15】拓展延伸 【例1】（20-21七年级下·广东广州·期中）设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【答案】D 【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案． 解：，即，，则有2个1； ，即，，，都是2，则有4个2； ，同理，可得出有6个3； ，同理，可得出有8个4； ，同理，可得出有10个5； 则剩余11个数全为6． 故 ． 故选：D． 【点拨】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键． 【例2】（22-23七年级下·重庆彭水·期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可． 解：， ， 解得：，故①正确； 若，， 则，故②正确； ， 解得：，故③错误； ， 当时，有最小值，故④错误． 故选：B． 【点拨】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$