精品解析：广东省汕尾市陆丰市龙山中学2024-2025学年高一下学期阶段性考试（一）数学试题

龙山中学2024-2025学年度第二学期高一年级阶段性考试（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，，.则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 14. 若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）当 ，且时，求实数的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点． （1）求点的坐标； （2）求的值． 17. 已知函数 且 ． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若 ，求实数 的取值范围． 18. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 19. 已知函数 （1）求c的值 （2）已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由. （3）若对任意的，都存在及实数m，使得求实数n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙山中学2024-2025学年度第二学期高一年级阶段性考试（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为集合，又集合， 所以. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得答案. 【详解】 . 故选；B. 3. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因为当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式以及面积公式计算可得结果. 【详解】易知圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为. 故选：D. 5. 若“存在，使得”是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原命题为假，则命题的否定为真，再由二次不等式的判别式建立不等关系，解出实数 的取值范围. 【详解】设：存在，使得，为假命题， 则：，，为真命题. 所以，所以 . 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】齐次化变形，代入求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【详解】， 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的图象关于直线对称且在上为增函数，根据对称性与单调性比较大小即可. 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以， 因为，所以， 又由对任意，且，都有， 所以函数在上为增函数， 又，，， 所以，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答. 【详解】对于A，由①，以及， 对等式①两边取平方得，则②，故A正确； 对于B，∵，∴，由②知，，故B正确； 对于C，又，故C错误； 对于D，由方程，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知 ，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AC；利用二次函数的性质可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断D. 【详解】因为 ，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出 的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B，，则， 即，解得 ，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增， 所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 由 . 所以函数的定义域为：. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则实数 的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式组，由此求得 的取值范围. 【详解】若使在上单调递增，则 ； 若使在上单调递增，则． 若使函数在上单调递增， 则解得，故实数 的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛： 解决分段函数单调性问题，关键是分别分析各段函数的单调性，对于二次函数，根据对称轴与单调性的关系确定参数范围；对于一次函数，根据 的系数与单调性的关系确定参数范围. 14. 若，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造函数，根据函数单调性可得，从而得解. 【详解】根据题意，，， 设函数，其是增函数，方程有唯一解， 又， ． 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：根据题意，，，构造函数，得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）当 ，且时，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解指数不等式，化简集合；再解一元二次不等式，化简集合 ，最后求并集即可； （2）先由将 中不等式化为，讨论，，三种情况，分别求集合 ，再由交集为空集，即可求出结果. 【小问1详解】 由，解得， 当时，即为， 即为，， ． 【小问2详解】 ， 当，即 时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，则，不合题意； 综上所述，实数 的取值范围是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点． （1）求点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角函数定义，根据题中条件，用表示出 ， ，，，由同角三角函数基本关系，即可求出点的坐标； （2）根据同角三角函数基本关系，求出，再利用诱导公式对式子进行化简，再代值计算即可． 【小问1详解】 由得，， 又，所以， 由题可知，所以， ， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知． 所以 ． 17. 已知函数 且 ． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若 ，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为， 定义域为，关于原点对称； 又， 所以为奇函数； （2） 当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可； （2）利用奇函数和单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 要使有意义，需满足 ，解得，故定义域为； 是奇函数； 证明：略 【小问2详解】 由 ，得． 由（1）知为奇函数，所以 ，所以. 因为， 令 ，则 在上单调递增， 当时，在上单调递减，则，解得； 当时，在上单调递增，则，解得． 综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 18. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第 天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第 天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第 天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第 天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 【答案】（1）选择模型②， （2），441（万元） 【解析】 【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式； （2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值. 【小问1详解】 由表格数据知，当时间 变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②， 由，可得，解得 ， 由，解得， 所以与时间 的变化的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知： 所以. 当时，由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441（万元）. 19. 已知函数 （1）求c的值 （2）已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由. （3）若对任意的，都存在及实数m，使得求实数n的最大值. 【答案】（1）1； （2）存在，； （3）3. 【解析】 【分析】（1）由，即可求参数值； （2）根据题设可得恒成立，即可求参数； （3）由得，进而有，即可求结果. 【小问1详解】 由，可得 ； 【小问2详解】 假设函数图象关于点对称，则在定义域内恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得， 所以存在对称中心为； 【小问3详解】 对任意，都存在及实数m，使得， 所以，则，即， 所以，则， 因为，则， 因为，所以， 所以，即， 所以，故，即n的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，根据关系式得，将问题化为为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $