专题05 角平分线（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题05 角平分线 目录 【题型一 由角平分线的性质求线段长度】 1 【题型二 由角平分线的性质求面积】 3 【题型三 由角平分线的性质进行证明】 6 【题型四 证明是角平分线】 9 【题型五 由角平分线的判定求解】 13 【题型六 尺规作角平分线】 15 【题型七 角平分线的性质与判定的综合运用】 18 【题型八 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 21 【题型九 角平分线的实际应用】 26 【题型一 由角平分线的性质求线段长度】 例题：（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，平分，于点，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵平分，，于点， ∴， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知在中，，平分，且，则点到边的距离为 【答案】7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是7， 故答案为：7． 2．（24-25八年级上·吉林松原·期中）在中，，作的平分线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解答本题的关键．过点D作于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于G， ∵，平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 【题型二 由角平分线的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，平分， ， ， ． 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，过点作于点，可得，可证，得，再证，得，则，由此得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键； 延长交于点，根据角平分线的性质可得，进而得到，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，，进而求解的面积； 【详解】解：如图，延长AP交BC于点D； 平分，， ，， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：C 【题型三 由角平分线的性质进行证明】 例题：（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，，，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识．结合题意证，得，由角平分线的性质即可得证． 【详解】证明：连接， 在和中， ， ， ， 又，， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在四边形中，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，然后根据“”可判定全等； （2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型四 证明是角平分线】 例题：（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证： (1)平分； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两端点的距离相等在线段垂直平分线上是解题的关键． （）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可； 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即平分； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型五 由角平分线的判定求解】 例题：（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定，根据题意，易得平分，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，于且， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，邻补角的定义；根据已知得出是的角平分线，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，最后根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型六 尺规作角平分线】 例题：（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，是边上的高，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；画射线，与交于点；作，垂足为点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，尺规作图，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 由作图可得平分，则由角平分线的性质定理得到，再根据以及线段和差计算即可． 【详解】解：由作图可得平分， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南·阶段练习）如图，=是两条笔直交叉的公路，C，D是两个社区，政府现准备在所在的区域内建一个社区集体充电桩，要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请用尺规作图在图中画出充电桩的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线和线段垂直平分线，充电桩到两个社区的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，充电桩到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角的平分线、作线段的垂直平分线的方法，作出的平分线、线段的垂直平分线即可； （2）先证明，由∠，根据三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】（1）解：如图，射线是的平分线，直线是线段的垂直平分线． （2）解：如图，与交于点F， ∵平分， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查尺规作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． 【题型七 角平分线的性质与判定的综合运用】 例题：（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点E作于点G，于点H． ∵，， ∴． ∵ ∴， ∴，即平分． 又∵，， ∴． ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：连接，过点D作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【题型八 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ①根据题目信息，结合尺规作角平分线的知识即可判断①的正误； ②由三角形内角和定理和角平分线的知识可得，再等角对等边的知识可得到，结合线段垂直平分线的判定即可判断②的正误； ③由，结合直角三角形两锐角互余可得到的度数； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半以及三角形的面积公式求出和的面积，计算两个面积的比值即可判断④的正误，进而完成本题的解答． 【详解】解：①根据尺规作角平分线的知识可知是的平分线，故①正确； ②在中，，， ， 是的平分线， ． ， ， 点D在的垂直平分线上，故②正确； ③． ，故③正确； ④在中，， ， ，， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，下列结论： ； ； 点F一定在的垂直平分线上； 点F到，，三边的距离相等； 其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】根据角平分线的概念和平行线的性质得到，，然后根据等角对等边得到，，进而可判断①；根据角平分线的概念和三角形内角和定理即可判断②；根据和不一定相等即可判断③；根据角平分线的性质定理即可判断④． 【详解】如图所示， ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∴ ∴，故②错误； ∵和不一定相等 ∴点F不一定在的垂直平分线上，故③错误； ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴由角平分线的性质得，点F到，，三边的距离相等，故④正确． 综上所述，其中所有正确的结论是①④． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，等角对等边，垂直平分线的判定和角平分线的性质定理，平行线的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，同理，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点作于，于，连接，根据角平分线的性质得，，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：①是的平分线， ， ， ， ， ， 同理：， ， 故结论①正确； ②和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作于，于，连接，如图所示： 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 点到各边的距离相等， 故结论③正确； ④，， 由③正确得：， ，， ． 故结论④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，等角对等边，三角形的面积等知识点，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【题型九 角平分线的实际应用】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ， 过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短， 平分交于D， ，即线段的最小值为 故选：B 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，平分交边于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．10 D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为． 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，，和分别平分和,过点，且与垂直，若．则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 作于点，由题意得，进而得出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 点到的距离是， 故选：C ． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，平分，交于点，且．已知点到轴的距离是6，那么点关于轴对称的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与坐标、角平分线的性质定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点C作与点，由角平分线的性质定理可得，即可得出点C的坐标，再根据关于y轴对称的坐标横坐标相反，纵坐标相等即可得出答案． 【详解】解：过点C作与点G， ∵平分，，， ∴， ∴点C的纵坐标为：4， ∵点到轴的距离是6， ∴点C的横坐标为：6， 即， 则点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的是（） A．①③④ B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明、是解题的关键．作交的延长线于点，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点， 平分，于， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 在和中， ， ， ，， 故③正确； ， ， ， 故②正确； ，，， ， 故④错误， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，连接， 平分，，，， ， 动点在射线上运动， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，是的外角，是的平分线，是的平分线，与交于点E，连接．若，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 延长，作，，，设，则，进而根据三角形的外角的性质得出，证明，即可求解． 【详解】解：延长，作，，，    设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：55． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，有以下结论：①．②与互余的角有四个，③，④点是的中点．其中正确的结论有： ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，根据角平分线的性质得，，可得①不正确；与互余的角有，结论②正确；可得，结论③正确；证明，，可得结论④正确． 【详解】解：①∵点A，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点， ∴，， ∴， ∴结论①不正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余的角有： ； ∴结论②正确； ③∵； ∴结论③正确； ④∵，， ∴， ， ∴， 即点O是的中点； ∴结论④正确； 故答案为：②③④． 9．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点在的角平分线上，，垂足为，点在上，若且，则 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 平分，，， ， 在中， ， ， ． 故答案为：2.5． 10．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，于点，且，则的周长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，先利用角平分线的性质得到，则的周长，再证明，得到，进而即可得的周长，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：平分， ， 的周长， 在和中 ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在的内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，根据点P到两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在的角平分线上，又在垂直平分线上，即的角平分线和垂直平分线的交点处即为点P． 【详解】如图所示：作的垂直平分线，的角平分线的交点P即为所求． 12．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点、分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， 又， ， ， ． （2）解：平分，，， ． 在和中， ， ∴． ． ， ． 15．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中， D是角平分线上的一点，过点D作于E，的延长线于G，且垂直平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键，如图，连接，利用角平分线性质得到，结合角平分线性质到，证明即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接， 平分，，， ，， 垂直平分， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 角平分线 目录 【题型一 由角平分线的性质求线段长度】 1 【题型二 由角平分线的性质求面积】 2 【题型三 由角平分线的性质进行证明】 3 【题型四 证明是角平分线】 4 【题型五 由角平分线的判定求解】 5 【题型六 尺规作角平分线】 6 【题型七 角平分线的性质与判定的综合运用】 7 【题型八 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 8 【题型九 角平分线的实际应用】 9 【题型一 由角平分线的性质求线段长度】 例题：（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，平分，于点，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知在中，，平分，且，则点到边的距离为 2．（24-25八年级上·吉林松原·期中）在中，，作的平分线交于点．若，，则的长为 ． 【题型二 由角平分线的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ．    2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型三 由角平分线的性质进行证明】 例题：（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，，，于点，于点．求证：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在四边形中，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型四 证明是角平分线】 例题：（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证： (1)平分； (2)是的垂直平分线． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【题型五 由角平分线的判定求解】 例题：（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【题型六 尺规作角平分线】 例题：（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，是边上的高，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；画射线，与交于点；作，垂足为点．若，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南·阶段练习）如图，=是两条笔直交叉的公路，C，D是两个社区，政府现准备在所在的区域内建一个社区集体充电桩，要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请用尺规作图在图中画出充电桩的位置． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【题型七 角平分线的性质与判定的综合运用】 例题：（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【题型八 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，下列结论： ； ； 点F一定在的垂直平分线上； 点F到，，三边的距离相等； 其中所有正确的结论是 ．（填序号） 2．（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型九 角平分线的实际应用】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，平分交边于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．10 D．2.5 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，，和分别平分和,过点，且与垂直，若．则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，平分，交于点，且．已知点到轴的距离是6，那么点关于轴对称的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的是（） A．①③④ B．①②③ C．②③ D．①②④ 二、填空题 6．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是 ． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，是的外角，是的平分线，是的平分线，与交于点E，连接．若，则 ． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，有以下结论：①．②与互余的角有四个，③，④点是的中点．其中正确的结论有： ．（填序号） 9．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点在的角平分线上，，垂足为，点在上，若且，则 ． 10．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，于点，且，则的周长是 ．    三、解答题 11．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在的内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 12．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点、分别在、上，且，，，求的长． 14．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中， D是角平分线上的一点，过点D作于E，的延长线于G，且垂直平分．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$