1.4角平分线（教案）-2024—2025学年北师大版数学八年级上册

《角平分线》 一、教学内容 角平分线的性质与判定及其简单应用。 二、教学理念 从实际问题出发，引导学生经历探索-发现-猜想-证明的过程，源于生活，高于生活，源于课本，同时不囿于课本。注重启发诱导，鼓励合作交流，同时重视严谨的逻辑推理，大胆猜想，小心求证。 三、教材解析 在七年级下册，学生曾经历过探索角平分线性质定理的过程。本节内容在七年级的基础上，增加了对定理的证明，接着通过对性质定理的逆向思考，探索并证明角平分线的判定定理。最后通过例题对角平分线的判定定理进行简单应用。 四、学情分析 1.学生对于角平分线的性质定理已经有所了解，但给出严格的证明过程对于部分学生可能略有困难。 2.经历了上一节垂直平分线的性质定理及其逆定理的研究，学生能够比较自然地类比角平分线的性质定理及其逆定理，但在证明逆定理时准确判断已知和求证是一个易错点。 3.学生已经掌握了所有的三角形全等证明方法，因此在证明时只要准确找到条件，大多数学生可以顺利给出证明过程。 4.学生对于学校所处的环境较为熟悉，也充满感情，因此采用情境引入的方式可以有效激发学习与探索的兴趣。 五、教学目标 1. 理解并掌握角平分线的性质定理及判定定理，能够利用角平分线的性质定理及判定定理解决相应的问题。 2. 在探究角平分线的性质定理及判定定理的过程中，发展几何直觉；提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；初步了解角平分线的性质定理及判定定理在生产、生活中的应用。 3. 在自主探索的过程中，经历观察、测量、猜想、证明等环节，形成探究问题的兴趣，增强解决问题的信心。 六、教学重难点 1.教学重点：角平分线的性质定理及判定定理的证明与应用 2.教学难点：角平分线的性质定理及判定定理的探究 七、教学方法与策略 设置悬念法、直观演示法、合作探究法、启发诱导法 八、教学资源与工具 角平分仪、尺规、Geogebra、课件 九、教学流程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：沣西新城位于渭河以南，沣河之西，两条河流交汇，形成了沣渭三角洲，即图中的∠AOB。假如你是城市规划师，要在沣西设计一条景观带，要求这条景观带上的任意一点到沣河和渭河（即角的两边）的距离相等，那么这条景观带应该在什么位置呢？ 学生活动：思考教师提出的问题，带着问题开始后续知识的学习。 教师活动：根据角平分仪的工作原理，我们利用尺规可以作出一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 学生活动：复习回顾角平分线的尺规作图方法，为探究角平分线的性质做好准备。 设计意图：从学生熟悉的知识与事物入手，建立新旧知识之间的联系，为本节微课后续的学习做好准备，同时创设情境，设置悬念，引起学生探索新知的热情与兴趣。 （二）致知穷理，探索性质 教师活动：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点。过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长度。 学生活动：在练习本上作出∠AOB及其角平分线OC，在角平分线上任取一点P，过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，测量PD、PE的长度。 教师活动：引导学生根据测量结果，写出线段PD与PE的大小关系。 学生活动：得到PD=PE。 教师活动：改变P的位置，再次测量新的PD、PE的长度.你有什么发现呢？ 学生活动：发现PD与PE的长度仍相等。 教师活动：利用Geogebra演示改变P点的位置，PD与PE的长度变化，引导学生发现虽然P点的位置发生了变化，但只要P点在角平分线上，PD与PE的长度始终相等。 学生活动：猜想角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 教师与学生活动：利用全等三角形的判定与性质证明角平分线的性质。 教师活动：总结并给出角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 符号语言：∵点P 在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 教师活动：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 学生活动：说出逆命题，并提出大致的证明思路。 师生活动：共同给出角平分线判定定理的证明。 教师活动：回到课堂开始时提出的问题，引导学生依据角平分线的性质说出∠AOB的平分线OC即为景观带的位置，其上任意一点到沣河和渭河（即角的两边）的距离相等。 设计意图： （1）层层递进，层层深入，从实验探索中发现角平分线的性质，培养学生的数学抽象能力与理性思维。 （2）利用现代化教学手段培养学生数学几何直观，进一步验证猜想。 （3）通过全等三角形的判定与性质严格证明角平分线的性质与判定，让学生养成严谨细致的学习品质。 （4）总结概括性质定理及判定定理的符号语言，对角平分线的性质定理及判定定理的使用方法加以明确。 （5）回到情境中提出的问题，利用所学知识解决实际问题。 （三）融会贯通，学以致用 教师活动：求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。给出提示：三角形的两条角平分线一定交于一点，关键在于证明第三条角平分线也过该点。 学生活动：深入思考，灵活运用。 设计意图：加深学生对角平分线判定定理的理解,培养学生的逻辑推理能力，及时反馈学习效果。 （四）总结串联 升华提升 教师活动：本节课你有哪些收获？ 学生活动：总结与思考。知识+方法+过程+素养 设计意图：结合所学内容与自我思考，学会归纳总结，利于强化学生对知识的理解和记忆，完善学生对知识的梳理，提高总结能力。 （五）作业布置 巩固拓展 作业内容：初一时，通过观察，我们还曾经发现了以下三个现象： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点 2.三角形的三条中线交于一点 3.三角形三条高所在的直线交于一点 聪明的你可以给出严格的证明吗？这些交点又有哪些有趣的性质呢？ 设计意图：该作业的设计层次分明，垂直平分线教育一点在上一节课已经证明，属于复习回顾，中线交于一点引出重心，高线所在直线交于一点略有难度。同时该作业设计还具有开放性，与九年级的圆以及高中的向量可以有效衔接。 十、教学反思，不断前行 本课题设计思路按照观察、测量、猜想、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，教学始终围绕问题与情境展开，从规划景观带位置这一实际问题出发，层层深入，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识。 利用现代化教学手段，形象直观地展示了角平分线的性质，引导学生大胆猜想，小心求证，准确表达，灵活应用。 在教学过程中给学生的思考留下适当的时间和空间，由学生去发现结论，在经历“将现实问题转化为数学问题”的过程中，学生对角平分线的性质与判定有了更深刻的认识，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识与能力。 十一、创作思路 本作品以《角平分线的性质与判定》为主题，综合利用多种软件及教具，充分结合沣西地域特色，以学生的认知发展为教学主线进行课程设计与录制。 通过城市发展，规划先行；源于生活，高于生活；致知穷理，探索性质；融会贯通，学以致用；总结串联，升华提升；布置作业，巩固拓展六大环节将知识进行串联，有利于学生在较短的时间内掌握重点，突破难点。 在微课录制过程中，主要使用Camtasia 9进行录制与剪辑，EV录屏、CourseMaker为辅助软件，在探索角平分线的性质过程中，为了让学生能有更加直观的认识，利用动态几何作图软件Geogebra实现了角平分线上点P的位置移动及PD、PE长度测量，形象直观，易于理解，并且将其导出为GIF动图，插入PPT中，演示效果良好。在复习旧知时，展示了角平分仪的工作原理照片，有利于学生回顾与思考。 在课件制作过程中，与教学设计方案充分呼应，利用精炼的文字与图片将核心内容展示在屏幕上，增加适量且合理的动画效果，辅助教学。 总之，本作品重在利用现代化教学手段，引导学生积极思考，大胆猜测，小心求证，严密推理，培养良好的思维习惯与数学品质，在有限的时间内获得更多的收获。 学科网（北京）股份有限公司 $$