专题04 线段的垂直平分线（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题04 线段的垂直平分线 目录 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长度】 1 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 2 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 3 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 4 【题型五 由垂直平分线的性质证明】 5 【题型六 证明是线段的垂直平分线】 6 【题型七 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 6 【题型八 线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用】 7 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长度】 例题：（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是的垂直平分线，点是上一点，若周长是，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 例题：（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，垂足为，若，的周长为，则的周长为 ． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为11，则的周长为 ． 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 例题：（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，为的垂直平分线．若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，则的度数是 ． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 例题：（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，为底边高线，、分别为，边上不与端点重合的动点，若，的最小值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为 ． 【题型五 由垂直平分线的性质证明】 例题：（23-24八年级下·江西吉安·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于．    (1)求的长； (2)若，且，求证：． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·福建福州·期中）在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 2．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【题型六 证明是线段的垂直平分线】 例题：（24-25九年级上·山东滨州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【题型七 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期中） (1)过点作线段，垂足是； (2)过点作（尺规作图，保留作图痕迹）． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，通过尺规作图的方式分别以，为圆心，大于长为半径画弧的交点分别为，，线段交，分别于点，，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．15 D．20 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，；求作：点P，使，且点P在边的高线上． 【题型八 线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用】 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接交于点．求证：． 2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．，，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．12 D．9 2．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，，．直线垂直平分，分别是上的动点，的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的垂直平分线，，的周长是16，则的周长是 ．    7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，则 ． 8．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 9．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，在中，，以A为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点E，则的长是 ． 10．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，，，是的中垂线，垂足为D，交于E，，则 ， ， ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，求的长． 12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·广东茂名·期末）实践与操作：如图，在中， (1)用尺规作的垂直平分线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，时，试求的长． 14．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）已知：如图，中，平分于E，于F，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 线段的垂直平分线 目录 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长度】 1 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 3 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 5 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 8 【题型五 由垂直平分线的性质证明】 11 【题型六 证明是线段的垂直平分线】 14 【题型七 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 16 【题型八 线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用】 18 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长度】 例题：（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是的垂直平分线，点是上一点，若周长是，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵周长是，， ∴， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 根据线段垂直平分线的性质求出，求出，根据三角形外角的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：， 垂直平分， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键．在上截取，连接，则是的垂直平分线，则，再证明，进而可得的长． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 例题：（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的周长及垂直平分线的性质及勾股定理，解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质．根据题意，由的周长及勾股定理得的长，再由垂直平分线的性质得到，则可得到，进而即可得到的周长． 【详解】解：的周长为，， ． ． ∵， ∴即， ∴， ∴ 是的垂直平分线， ． ． 的周长． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，垂足为，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和三角形的周长，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据垂直平分线的性质求得，再根据，，即可求解的周长； 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵，， 则的周长． 故答案为： 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为11，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图及其性质，先根据作图过程得到垂直平分，然后根据线段垂直平分线得到，，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解． 【详解】解：根据作图过程得垂直平分， ∴，， ∵的周长为11， ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 例题：（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，为的垂直平分线．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到 【详解】解：，， ， ∴， 为的垂直平分线， ， ， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．由垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质求出，再结合得出，由等边对等角可得的度数． 【详解】解：连接， 是边的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，是的垂直平分线，可得，根据三线合一可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 例题：（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，为底边高线，、分别为，边上不与端点重合的动点，若，的最小值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，作出适当的辅助线是解题的关键．过点C作，垂足为E，连接，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可得，进而得出的最小值为的长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点C作，垂足为E，连接， ∵，为底边高线， ∴垂直平分， ∴， 此时，的值最小， 即， ∵， ∴， ∴的最小值为4， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，结合“将军饮马”问题的求解方法步骤，利用对称性求解即可得到答案．本题考查动点最值问题-将军饮马问题，涉及中垂线性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握将军饮马问题求动点最值的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 垂直平分，交于点， ， ， 根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值， 等腰中，，，点为的中点， 由等腰三角形“三线合一”可知，，，则， 当三点共线，时，有最小值，为， 故选：． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 如图：连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵垂直平分边， ∴， ∵， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值． 故答案为：12． 【题型五 由垂直平分线的性质证明】 例题：（23-24八年级下·江西吉安·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于．    (1)求的长； (2)若，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长等于，即可求出的长； （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再利用三角形外角的性质得到，则有，即可得证． 【详解】（1）解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为， ． （2）证明：，， ． 由（1）得，， ， ， ， ． ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·福建福州·期中）在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 2．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由线段垂直平分线的性质可得，点F是的中点，得出为的平分线．求出，，由等腰三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ∴． ∵为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形． （2）解：∵垂直平分于点F ∴，点F是的中点 为的平分线． ∴． ． ． ∵为等腰三角形， ∴． ∴． 【题型六 证明是线段的垂直平分线】 例题：（24-25九年级上·山东滨州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键．根据线段垂直平分线的判定求解． 【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型七 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期中） (1)过点作线段，垂足是； (2)过点作（尺规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查作垂线，尺规作角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，则即为所求； （2）以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交弧于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：作垂线如图所示， 根据作图可得，，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴点即为所求点的位置； （2）解：根据尺规作角等于已知角，如图所示， 根据作图可得，， ∴， ∴， ∴即为所求图形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，通过尺规作图的方式分别以，为圆心，大于长为半径画弧的交点分别为，，线段交，分别于点，，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，的周长为，根据是线段的垂直平分线，得，得到，，计算周长即可 【详解】解：根据作图可得，是线段的垂直平分线， ， 的周长为， 的周长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，；求作：点P，使，且点P在边的高线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和垂线的作图，垂直平分线的性质等知识．根据点C作，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【题型八 线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用】 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，由和是等边三角形可得，再由，得到，即可得到，推出，得到是的垂直平分线，得到． 【详解】证明：和是等边三角形， ， ， ， ， 即， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ． 2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角： （1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可； （2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．，，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．12 D．9 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用三角形周长公式解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴的周长是：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，，．直线垂直平分，分别是上的动点，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知当点重合时，的值最小，利用线段垂直平分线的性质可得，进而得，得到，即得为等边三角形，得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，当点重合时，的值最小， ∵直线垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，根据作图得到垂直平分，进而得到，等边对等角得到，三角形的外角求出的度数，再根据等边对等角求出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形周长，是解题关键． 先根据线段垂直平分线的定义得，则，再根据，，得，据此可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及中垂线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，先由中垂线性质得到，再结合等边对等角确定，再由直角三角形两锐角互余得到，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握中垂线的性质及三角形的相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，，则， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的垂直平分线，，的周长是16，则的周长是 ．    【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案， 【详解】解：的周长是16， ； ； 是的垂直平分线， 的周长， 故答案为：10． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理；先求出，，根据是的垂直平分线，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，最后由即可求出答案． 【详解】解：中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 8．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】33 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，在中，，以A为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点E，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理： 由作图得垂直平分，根据线段垂直平分线性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图得垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，，，是的中垂线，垂足为D，交于E，，则 ， ， ． 【答案】 5 30 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出的长，再由等腰三角形的性质得出的度数，由三角形外角的性质可求出的度数；根据直角三角形的性质可得出的长． 【详解】解：是的中垂线，， ； 是等腰三角形， ， ； ， 故答案为：5；30； 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长为，，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， 又∵，周长为， ∴ 12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，然后由可得，然后根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后联立求得即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，， ∴ ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（1）可知为直角三角形，， ∴. ∵D是的中点， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解答本题的关键． 13．（24-25九年级上·广东茂名·期末）实践与操作：如图，在中， (1)用尺规作的垂直平分线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，时，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可； （2）设，则，，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点P为所作； （2）解：设， ∵的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ， 解得， ． 14．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）已知：如图，中，平分于E，于F，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定． （1）由角平分线的定义，垂直定义，可以得到全等三角形的条件，根据全等三角形性质，得出对应边相等； （2）根据全等三角形的性质可得，，即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 于，于， ， 在与中， ， ． （2）证明：∵ ∴， ∴垂直平分． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$