专题03 直角三角形（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题03 直角三角形 目录 【题型一 直角三角形的两锐角互余】 1 【题型二 判断能否构成直角三角形】 3 【题型三 利用锐角互余的三角形是直角三角形证明】 5 【题型四 在网格中判断直角三角形】 7 【题型五 用HL证全等】 9 【题型六 直角三角形的性质和判定的综合应用】 11 【题型七 利用勾股定理的逆定理求解】 14 【题型八 勾股定理逆定理的实际应用】 16 【题型一 直角三角形的两锐角互余】 例题：（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再证明 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：∵， 在和 中， ， ， ． 故选 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点，，，则的长是（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，然后根据线段之间的和差关系可得，于是得解． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：． 2．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，中，，于，，，则 °． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 【题型二 判断能否构成直角三角形】 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，9 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、∵， ∴该三角形不存在，故此选项不符合题意； B、∵， ∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴该三角形不存在，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）已知三边为，，，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理及三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、由，，，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； B、由，又，则，是直角三角形，不符合题意； C、由，得，，是直角三角形，不符合题意； D、由，，得，，不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理，根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； ②∵， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； ③∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； ④∵，，， ∴，故是等边三角形，不符合题意； 综上所述，能判断是直角三角形的有①③，共个， 故选：B． 【题型三 利用锐角互余的三角形是直角三角形证明】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题中是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．三角形的外角大于任一内角 C．三角形的两边之差大于第三边 D．有两个角互余的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握对顶角，平行线的性质，直角三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 根据平行线的性质，三角形外角的性质，三角形三边关系和直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； B、三角形的外角大于任一个与它不相邻的内角，原命题是假命题； C、三角形的两边之差小于第三边，原命题是假命题； D、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题； 故选：D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 2．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【题型四 在网格中判断直角三角形】 例题：（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和网格，解题关键是熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理进行推理，证明，得出等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【题型五 用HL证全等】 例题：（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题可知，， A. ，利用可以得到，不符合题意； B. ，不能证明，符合题意； C. ，利用可以得到，不符合题意； D. ，利用可以得到，不符合题意； 故选B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 2．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质知识点，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等． 利用＂HL＂判定直角三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等来证明． 【详解】证明：、分别是两个钝角和的高， 且，， ， ， ， ． 【题型六 直角三角形的性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时得出是关键．先由条件得出，，从而可以得出，由全等三角形的性质就可以得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 【题型七 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．在 中，先利用三角形内角和得出，再利用勾股定理得出，进而勾股定理的逆定理得出，即可得出的度数． 【详解】解： ， ， 在 中， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 【详解】解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）在中，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴为直角三角形，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 【题型八 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（23-24八年级上·福建漳州·期末）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，求空地的面积．    【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且,然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接，   ，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】(1)米 (2)株 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； （2）解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 2．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是最近的路，说明见解析 (2)米 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）设米，则米，根据勾股定理得到，解得，则米，即可求出原来的路线的长． 【详解】（1）由题知：米，米，米， ∵， ∴在中：， ∴是直角三角形，， 则， 即是最近的路． （2）设米，则米， 在中，根据勾股定理， 即， 解得， 则米，得：米． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的图形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题综合考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．观察图形可知，进而可得与互余，是直角的一半，利用这些关系可解此题． 【详解】解：∵，，， ∴， ， 又， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，是的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故B符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴设， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质得到，，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    【答案】/55度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，，，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，点的坐标与几何图形，余角的定义，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形； 过点C作轴，再利用判定可得，，根据点A、B的坐标，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点C作轴， ， ∵， ∴，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为 故答案为∶． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 【答案】北偏东 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再求出的度数，用方位角表示出来即可． 【详解】解：由题意知，，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 此时快艇位于地的北偏东方向上． 故答案为：北偏东． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）证明即可证明结论； （2）先证明，再根据三角形外角性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，根据已知条件证明，即可得出． 【详解】证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ． 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期中）综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由于点D，于点E可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作轴于点，于是可得，由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段的和差关系可得，进而可得出点B的坐标； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由，可得，，，进而可得点B的横坐标，点B的纵坐标，于是得解． 【详解】（1）证明：于点D，于点E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B的坐标为； （3）解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点B的横坐标， 点B的纵坐标， 点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，写出直角坐标系中点的坐标，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据已知可得到从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由求得的长即可得到答案． 【详解】（1）∵，， ， ， ． （2）由， 得， 又∵，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直角三角形 目录 【题型一 直角三角形的两锐角互余】 1 【题型二 判断能否构成直角三角形】 2 【题型三 利用锐角互余的三角形是直角三角形证明】 2 【题型四 在网格中判断直角三角形】 3 【题型五 用HL证全等】 4 【题型六 直角三角形的性质和判定的综合应用】 5 【题型七 利用勾股定理的逆定理求解】 6 【题型八 勾股定理逆定理的实际应用】 6 【题型一 直角三角形的两锐角互余】 例题：（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点，，，则的长是（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 2．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，中，，于，，，则 °． 【题型二 判断能否构成直角三角形】 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，9 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）已知三边为，，，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D．，， 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三 利用锐角互余的三角形是直角三角形证明】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题中是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．三角形的外角大于任一内角 C．三角形的两边之差大于第三边 D．有两个角互余的三角形是直角三角形 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 2．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【题型四 在网格中判断直角三角形】 例题：（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 2．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【题型五 用HL证全等】 例题：（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 2．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【题型六 直角三角形的性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【题型七 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【题型八 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（23-24八年级上·福建漳州·期末）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，求空地的面积．    【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 2．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的图形中，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，是的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ． 7．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，，，，则点C的坐标为 ． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F． 求证： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，，垂足分别为，，．求证：． 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期中）综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 15．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$