专题02 等边三角形（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题02 等边三角形 目录 【题型一 利用等边三角形的性质求角度】 1 【题型二 利用等边三角形的性质求线段的长度】 3 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 6 【题型四 证明等边三角形】 8 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 11 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 14 【题型七 探究等边三角形中的三角板问题】 17 【题型八 等边三角形的性质和判定的综合应用】 20 【题型九 含30度的直角三角形】 24 【题型一 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（24-25七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，，等边的顶点B在直线m上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟记性质并作辅助线得到内错角相等是解题的关键．延长与直线l相交于D，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长与直线l相交于D， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是等边的中线，是上的点，且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是等边三角形性质及三角形内角和定理，由是等边的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得 ，又由 根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵是等边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据题意先求出，再证明，再根据直角三角形两内角互余即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是等边三角形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 【题型二 利用等边三角形的性质求线段的长度】 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在等边三角形中，于点于点，若，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由等边三角形的性质得到，再证明，则可得到，再由三线合一定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的高， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形等知识点，当点、、 （关于的对称点）三点共线且于点时，的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案，熟练掌握轴对称最短路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键． 【详解】如图所示，以为对称轴作，的对称点为， ， 当三点共线时，且时，的值最小， ∵，，， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：14． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，是等边三角形， 是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当 的和最小时， ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， ， B，C关于直线对称， ， ， 是等边三角形，点是边的中点， ， 最小值为4， 故答案为：4． 【题型四 证明等边三角形】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，于点D，，求证：为等边三角形． 证明：∵， ∴是____________． ∵于点D， ∴____________． 又， ∴为等边三角形．（____________） 【答案】等腰三角形，，有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【分析】本题考查等边三角形判定，等腰三角形判定和性质，熟练掌握等边三角形判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形的定义得是等腰三角形，继而求出，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴是等腰三角形． ∵于点D， ∴． 又， ∴为等边三角形．（有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ） 故答案为：等腰三角形，，有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 例题：（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，等边三角形的边长为4，请你建立以B为原点的直角坐标系，顶点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，如图建立以B为原点的直角坐标系，过A作于H，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图建立以B为原点的直角坐标系，过A作于H， ∵是等边三角形，边长为4， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）对于边长为的等边三角形建立如图直角坐标系，其中顶点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角坐标系，过点A作交于点H，则，根据三角形是边长为的等边三角形得，根据得，在中，根据勾股定理得，，即可得，掌握等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点H，    则， ∵三角形是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴点A的坐标为， 故选：C． 2．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）已知等边，以顶点O为原点，AB边上的高OD所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，若D点坐标为（，0），则B点的坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】首先由等边三角形的性质可知、，再结合等腰三角形“三线合一”的性质可得，从而可知，然后在中，利用勾股定理求出DB的长即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵D点坐标为（，0）， ∴， 在中，， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，折叠的性质，正六边形的性质， 作于点，作于点，易得，再根据折叠的性质得都是等边三角形，然后由阴影部分为正六边形的一半，且周长为30，可得，进而得出，即可得出答案． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点， ∴. ∴， ∴； 根据题意可知，， ∴， ∴． ∴； 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形. ∵阴影部分为正六边形的一半，且周长为30， ∴， ∴，则的周长为． 故答案为：54． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又， ∴， ∴， 故答案为： 2．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及折叠性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，.因为，得，根据折叠性质以及平角的概念，列式计算，即可作答． （2）先运用勾股定理，得，因为折叠，得，结合周长公式列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，. （2）解：在中，，，， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，， ∴， ∴等边的周长. 【题型七 探究等边三角形中的三角板问题】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、相交于点、，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些性质． （1）由，，得到，再根据三角形的内角和求出和，即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， （2）解：是等边三角形， ， ， ． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，将两块全等的含的直角三角板拼接成一个，则是_____三角形，写出与的数量关系；    （2）如图2，将三块全等的含的直角三角板拼接成如图所示的四边形，连接，若，求的长．    【答案】（1）等边，；（2） 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，证明、、三点在同一条直线上，而，则，所以是等边三角形，由全等三角形的性质得，则，于是得到问题的答案； （2）由，得，由，，，根据勾股定理得，由全等三角形的性质得，则． 【详解】解：（1）， 理由：， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：等边． （2）， ， ，，， ， ， ， ， 的长是． 【题型八 等边三角形的性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了折叠的性质及等边三角形的性质和判定、30度角直角三角形的性质等知识，折叠轴对称的问题经常转化到一个直角三角形中，利用直角三角形的边角关系使问题得以解决是常用的方法． 根据折叠的性质，可以得出是等腰三角形，在直角三角形中由30度锐角所对直角边等于斜边一半可求进而求出． 【详解】解：， ， 长方形纸片中，，， ， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，是边上的中线．点在边上，且，则直线与的位置关系是 ，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一，得到，角的和差关系求出，推出，为等边三角形，进而得到即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：，． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C为线段上一点，是等边三角形，直线交于点E，直线交于点F．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）证明，根据得到，，再由，即可证明，得到； （2）根据，推出是等边三角形，则，即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【题型九 含30度的直角三角形】 例题：（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）在中，，则 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据含直角三角形所对的直角边等于斜边的一半可得，再代入数值可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴． 故答案为：8． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如圈，是等边三角形，点是的中点，，．则的长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后根据线段中点的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到． （2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，三线合一，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，再根据三线合一得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是驼梁山景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．18米 B．16米 C．15米 D．12米 【答案】C 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据含所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， ∴米． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是的三边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及等边三角形的判定方法是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得三边的数量关系，进而可判断出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， 又∵，，是的三边， ∴是等边三角形． 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，P为边上的一点，若，D为边上的一点，连接交的延长线于点Q，当时，，则的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． ， 的周长为6， 故选：A． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，是等边三角形，点为右侧一点，连接、、，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意可得，由，推出，利用三角形内角和定理求出，进而求出，结合等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质．构造辅助线证是等腰三角形是解题的关键．过点D作于F，过点D作于G，得到， ，，，证，再求出，即可求得． 【详解】解：如图，过点D作于F，过点D作于G， ，，，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接那么的长为 ； 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的知识，等边三角形的性质和判定．根据中点的性质得，再根据对称的性质得，判定三角形为等边三角形即可求． 【详解】解：，为的中点， ， 根据轴对称的性质可得：，， ， 为等边三角形， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，等边的三条角平分线交于一点O，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理．利用等边三角形的性质和角平分线的定义求得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵的三条角平分线交于一点O， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，四边形中，，，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意等边三角形的判定和性质．可判定为等边三角形，再结合垂直可求得，则可得出的度数． 【详解】解：，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 12．（24-25八年级上·重庆梁平·期末）如图，它是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，．求和的值． 【答案】立柱的长是． 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，可得长，再证明是等边三角形，可求得． 【详解】解：，，， ， 又， ， 在中，， 又， 是等边三角形， ， 答：立柱的长是．． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，一艘轮船以每小时25海里的速度从南向北航行，在处测得灯塔在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西方向上．当轮船到达灯塔的正东方向处时，一共航行了多少海里？ 【答案】75海里 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质以及方向角的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质推断，并根据三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质确定是解决本题的关键．由题意得海里，欲求，需求．由，得，从而得到，由，得，那么，故（海里） 【详解】解：根据题意可知：海里，，， 在中， ． ． ． 在中，． 海里 一共航行了75海里． 14．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 15．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点O，若． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）根据已知条件证明，可得，再根据，可得，然后证明是等边三角形即可； （2）证明是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：是等边三角形； 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， 又，， 是等边三角形， ，， 在中， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等边三角形 目录 【题型一 利用等边三角形的性质求角度】 1 【题型二 利用等边三角形的性质求线段的长度】 2 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 3 【题型四 证明等边三角形】 4 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 5 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 6 【题型七 探究等边三角形中的三角板问题】 7 【题型八 等边三角形的性质和判定的综合应用】 8 【题型九 含30度的直角三角形】 9 【题型一 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（24-25七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，，等边的顶点B在直线m上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是等边的中线，是上的点，且，则 ． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 【题型二 利用等边三角形的性质求线段的长度】 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在等边三角形中，于点于点，若，那么的长是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，是等边三角形， 是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当 的和最小时， ． 2．（24-25八年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为 ． 【题型四 证明等边三角形】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，于点D，，求证：为等边三角形． 证明：∵， ∴是____________． ∵于点D， ∴____________． 又， ∴为等边三角形．（____________） 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 例题：（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，等边三角形的边长为4，请你建立以B为原点的直角坐标系，顶点A的坐标是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）对于边长为的等边三角形建立如图直角坐标系，其中顶点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）已知等边，以顶点O为原点，AB边上的高OD所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，若D点坐标为（，0），则B点的坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 2．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【题型七 探究等边三角形中的三角板问题】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、相交于点、，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，将两块全等的含的直角三角板拼接成一个，则是_____三角形，写出与的数量关系；    （2）如图2，将三块全等的含的直角三角板拼接成如图所示的四边形，连接，若，求的长．    【题型八 等边三角形的性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，是边上的中线．点在边上，且，则直线与的位置关系是 ，的长为 ． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C为线段上一点，是等边三角形，直线交于点E，直线交于点F．    (1)求证：； (2)求证：． 【题型九 含30度的直角三角形】 例题：（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）在中，，则 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如圈，是等边三角形，点是的中点，，．则的长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是驼梁山景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．18米 B．16米 C．15米 D．12米 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是的三边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，P为边上的一点，若，D为边上的一点，连接交的延长线于点Q，当时，，则的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，是等边三角形，点为右侧一点，连接、、，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知中，，点在底边上，，，．若，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接那么的长为 ； 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，等边的三条角平分线交于一点O，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，四边形中，，，且，则的度数是 ． 10．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 12．（24-25八年级上·重庆梁平·期末）如图，它是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，．求和的值． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，一艘轮船以每小时25海里的速度从南向北航行，在处测得灯塔在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西方向上．当轮船到达灯塔的正东方向处时，一共航行了多少海里？ 14．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 15．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点O，若． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$