专题01 等腰三角形（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题01 等腰三角形 目录 【题型一 利用等边对等角求解】 1 【题型二 利用等边对等角证明】 3 【题型三 利用三线合一求解】 6 【题型四 利用三线合一证明】 8 【题型五 格点中画等腰三角形】 10 【题型六 找出图中的等腰三角形】 13 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 16 【题型八 利用等角对等边求边长】 18 【题型九 尺规作等腰三角形】 20 【题型十 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 22 【题型一 利用等边对等角求解】 例题：（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等．分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折得到，其中、B、A三点共线，、C、D三点共线，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本体考查了等腰三角形的性质、三角形折叠中的角度问题，根据折叠的性质得，，进而可得，进而可得，再根据可得，进而可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选A． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，是的边上的一点，且，，的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 设，由等腰三角形的性质得，由外角的性质得，然后在中，利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，有， 即， ， ∴． 故答案为：． 【题型二 利用等边对等角证明】 例题：（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知：，，，在同一直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角，根据“等边对等角”，得出，结合，，利用证明，根据“全等三角形的对应边相等”，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由等边三角形的性质可得，， 由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质得到，即得，据此即可求证； （）由等边三角形的性质可得，进而得到，据此即可求证； 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 【题型三 利用三线合一求解】 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据勾股定理，求得，进而求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 的周长为； 故选：A 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，若，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的知识点，解题的关键是证明是的垂直平分线． 通过证明和全等得到，再结合利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，进而求出的长度． 【详解】在和中， ， ，即是的平分线， 又，在等腰三角形中，根据等腰三角形三线合一的性质，可知也是边上的中线， ， ， ． 故答案为：3． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，为中线，，则 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，理解等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得，，再结合三角形内角和定理解得，从而求解． 【详解】解：∵，，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：14． 【题型四 利用三线合一证明】 例题：（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【详解】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边，平行线的性质，由为等边三角形，结合三线合一，得到，由平行线的性质可证明，可得，从而证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形，平分交于点D ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，是的中点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ． 【题型五 格点中画等腰三角形】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）在如图所示的方格中，以为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来． (1)钝角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，钝角三角形的定义，等腰直角三角的定义，形正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，进行作图，即可作答． （2）根据有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，进行作图，即可作答． （3）根据两边相等的三角形是等腰三角形，进行作图，即可作答． 【详解】（1）解：如图，就是所要求作的三角形．（答案不唯一） （2）解：如图，就是所要求作的三角形．（答案不唯一） （3）解：如图，就是所要求作的三角形．（答案不唯一） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 【详解】解：当为等腰三角形时有两种情况︰为腰和为底． 当为腰时，符合条件的点C有4个即黑点； 当为底时，符合条件的点C也有4个即红点， 所以满足题意的点C的个数为8． 故选：C． 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据三角形的面积为，由，可先构造高为4的三角形，即可； （2）直接取格点，使或即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） 【题型六 找出图中的等腰三角形】 例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【变式训练】 1．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，先由角平分线和平行线得到，再根据等角对等边得到，即可说明是等腰三角形． 【详解】证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等角对等边定理的应用是解此题的关键．由，根据平行线的性质，可求得，又由是外角的平分线，即可得，继而证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，与角平分线有关的计算，含30度角的直角三角形的性质： （1）角平分线求出的度数，三角形的内角和求出的度数，根据等角对等边即可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【题型八 利用等角对等边求边长】 例题：（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，30度所对的直角边是斜边的一半，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键，先算出，则，运用三角形外角性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在四边形中，，与相交于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．先证出，可得，可证，即可求解． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 【题型九 尺规作等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 【答案】作图见解析，或或． 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别求解即可得解． 【详解】，， ， 如图，有三种情形： ①当时， ； ②当时，； ③当时，， ， 综上，的度数为或或． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东青岛·期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论已知：线段和求作：等腰，使得，．    【答案】见解析 【分析】先作，然后以点为圆心，为半径画弧交于点，交于点，则满足条件． 【详解】解：如图，等腰为所作．    【点睛】本题考查了作图——复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）作图题 如图，已知线段a，b．求作，使，，BC边上的高等于b．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】先画，进而作出的垂直平分线，交于，以为圆心，b为半径画弧，交于点，连接即可； 【详解】如图，即为所求    【点睛】本题考查了已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质 【题型十 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质，分当时，当时， 当时， 三种情况分别利用数形结合的思想找到符合条件的B点个数即可得到答案． 【详解】解：如图， 当时，符合条件的B有一个， 当时，符合条件的B有两个， 当时，符合条件的B有一个 综上所述，符合条件的点B共有4个． 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知，若坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．根据题意分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【详解】解：如图所示：    分三种情况： 当时，以点为圆心，交坐标轴于点； 当时，以点为圆心，交坐标轴于点； 当时，作的垂直平分线, 交坐标原点； 综上所述：若坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则满足条件的情况有7个， 故答案为：7． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接，根据三角形的面积公式可得，根据等腰三角形的性质即可求得OE+OF的值． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，，是边上的中线，平分交于点，交于点则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角，等边对等角，求出的度数，三线合一求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵中，，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴； 故选A． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，中，，点在上，且，，图中等腰三角形的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意可知，，，都是等腰三角形，根据三角形外角的性质求得的度数，进而可得和的度数，进而证明为等腰三角形，进而求解； 【详解】解：，，， ，，，都是等腰三角形， 则，，，， ， 则，， 在中，， 则， 则， ， 则， 即为等腰三角形， 综上一共有个等腰三角形； 故选：C 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，平分，平分，过点作，，则的周长为（   ）． A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和定义．掌握等角对等边是解题关键．根据题意证明和是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F，若，， ． 【答案】9 【分析】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：9． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据“等角对等边”可得，进而可得答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形所对的边等于斜边的一半，需要熟练运用考查的性质进行解题． 过点作于点，设，然后通过直角三角形角的性质求得，，，再运用由等腰三角形的性质得到，列方程求解，即可求出的长，进而求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则， ，， ， ∵， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， ； 故答案为： 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，、相交于点．连接，求证 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，是中线，是角平分线，． (1)______．（直接填空） (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，角平分析定义，关键是根据等腰三角形的三线合一解答． （1）根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． （2）由角平分线定义得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，是中线， ，即． ， 故答案为：； （2）解：，是的平分线， ． ∵， ∴， 是的外角， ． 13．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与分别相交于点，且．    (1)若，求的度数； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （）由角平分线的定义的，，由平行线的性质得，，即得，，得到，，进而得到的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，掌握以上知识点是解题的关键． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为延长线上一点，，． (1)求证：． (2)连接交于点F，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后根据，即可证明出； （2）首先画出图形，由得到，然后根据三角形内角和定理求解出，进而得到，再求出，根据，结合三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质得到即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，点是边上一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键．先由得出，再由三角形外角性质求得，然后由得到，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形 目录 【题型一 利用等边对等角求解】 1 【题型二 利用等边对等角证明】 2 【题型三 利用三线合一求解】 3 【题型四 利用三线合一证明】 3 【题型五 格点中画等腰三角形】 4 【题型六 找出图中的等腰三角形】 5 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 6 【题型八 利用等角对等边求边长】 7 【题型九 尺规作等腰三角形】 8 【题型十 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 9 【题型一 利用等边对等角求解】 例题：（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折得到，其中、B、A三点共线，、C、D三点共线，若，则（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，是的边上的一点，且，，的度数为 ． 【题型二 利用等边对等角证明】 例题：（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知：，，，在同一直线上，，．求证：． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证： (1)； (2)． 【题型三 利用三线合一求解】 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，若，则 ．    2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，为中线，，则 ． 【题型四 利用三线合一证明】 例题：（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．求证：． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，是的中点．求证：． 【题型五 格点中画等腰三角形】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）在如图所示的方格中，以为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来． (1)钝角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 【题型六 找出图中的等腰三角形】 例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式训练】 1．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，且．求证：是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【题型八 利用等角对等边求边长】 例题：（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在四边形中，，与相交于点．求证：．    2．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 【题型九 尺规作等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东青岛·期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论已知：线段和求作：等腰，使得，．    2．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）作图题 如图，已知线段a，b．求作，使，，BC边上的高等于b．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【题型十 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 2．（23-24八年级上·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知，若坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则满足条件的有 个． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，，是边上的中线，平分交于点，交于点则的度数为（        ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，中，，点在上，且，，图中等腰三角形的个数（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，平分，平分，过点作，，则的周长为（   ）． A．6 B．12 C．18 D．24 二、填空题 6．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 7．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F，若，， ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则 ． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，、相交于点．连接，求证 12．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，是中线，是角平分线，． (1)______．（直接填空） (2)求的度数． 13．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与分别相交于点，且．    (1)若，求的度数； (2)已知，，求的周长． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为延长线上一点，，． (1)求证：． (2)连接交于点F，若，，求的度数． 15．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，点是边上一点，且，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$