精品解析：陕西省西安中学2025届高三上学期第二次月考数学试题

西安中学2025届高三第一学期第二次月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 100 B. 110 C. 210 D. 190 5. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ） A. 268米 B. 265米 C. 266米 D. 267米 8. 哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ） A. 至少有个位置存放了不少于个数据 B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为 D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示： 已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过点作垂直的延长线于H，则 11. 如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. ，，，四点不共面 B. 该几何体的体积为8 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形的周长的最小值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________. 14. 已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病的疫苗逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病的特效疫苗在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）. 疫苗 特效疫苗 生成抗体人数 未生成抗体人数 （1）可否有把握认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升？ （2）统计学上通常用疫苗的有效率来衡量疫苗的真实效果.在全面投入使用特效疫苗的试点城市中，疫苗的接种率达到了，若在一段时间内统计得感染疾病的人群中接种过疫苗的比例为，试评价疫苗在投入使用之后的表现. 参考公式及数据：，其中.，，. 16. 记为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和，并比较与的大小. 17. 已知函数（）． （1）当时，讨论的单调性； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围． 18. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆在第一象限上的一点，直线，分别交轴于点，. （1）求的值； （2）在直线上取一点（异于），使得. （ⅰ）证明：，，三点共线； （ⅱ）求与面积之比的取值范围. 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025届高三第一学期第二次月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，得到虚部. 【详解】， 故的虚部是. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 4. 设数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 100 B. 110 C. 210 D. 190 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以，则，， 所以是以10为首项，2为公差的等差数列， 则. 故选：D. 5. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，找出最小，即时，然后计算即可. 【详解】如图所示，圆的面积为：. ,要使最大，则最小. 由圆的性质知道，当时，最小. ，则，则. 与圆的交点为. 此时.. 故选：C. 7. 如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ） A. 268米 B. 265米 C. 266米 D. 267米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高. 【详解】 如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E． 根据题意易得，． 在中，由正弦定理得， 在中，,则， 在中，,则， 所以米． 故选：C. 8. 哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ） A. 至少有个位置存放了不少于个数据 B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为 D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 【答案】D 【解析】 【分析】设为数据除以的余数为的数的个数，利用特例法可判断A选项；求出这个数的值，结合中位数的定义可判断B选项；利用方差的定义可求出的最大值和最小值，可判断C选项；对个位置是否存在空位进行讨论，结合极差的定义可判断D选项. 【详解】设为数据除以的余数为的数的个数， 对于A选项，， 不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，A错； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、， 这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 所以，，，，，，，， 将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，B错； 对于C选项，由题意可知，这个数的平均数为， 且，， 因为，， 当这个数中有个，个时，取最小值， 即， 当这个数中有个，个时，取最大值， 即，C错； 对于D选项，不妨这个数依次为：、、、、、、， 满足极差为，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为， 因为，此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，D对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题D选项，主要要对个位置是否存在空位进行讨论，利用特例法结合极差的定义进行判断. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数以及对数的性质化简集合，即可根据集合的交并补的定义，结合选项逐一求解. 【详解】由可得 得， 故,A错误， ,B正确， ，C正确， ，D正确， 故选：BCD 10. “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示： 已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过点作垂直的延长线于H，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出. 【详解】A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为.由离心率，可得， 于是方程为.代入点，解得.双曲线方程为.故A正确. B选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间. 焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，答案应为.故B错误. C选项：利用点斜式求得，与双曲线方程联立，得到， 可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线. 根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，.故C正确. D选项：由C选项的计算结果.因为直线垂直于直线，所以. 因为，可求得. 两方程进行联立，解出，因此.故D正确. 故选：ACD 11. 如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. ，，，四点不共面 B. 该几何体的体积为8 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，过，，，构造正方体，则外接球直径为正方体的体对角线，进而求表面积；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可. 【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故错误； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正、余弦公式，再化弦为切，代入即可求值. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解. 【详解】因为，所以， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 而，，所以由正弦函数性质得， 解得，则的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先证明为奇函数，由，将可化为,证明在上单调递增,得到在上恒成立,构造函数，转化为求最值即可. 【详解】设，， 由知函数是奇函数， ∵ ∴可化为 ∴ 又 所以在上单调递增， ∴在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，，则 所以在上递减，在上递增，所以 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病的疫苗逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病的特效疫苗在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）. 疫苗 特效疫苗 生成抗体人数 未生成抗体人数 （1）可否有把握认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升？ （2）统计学上通常用疫苗的有效率来衡量疫苗的真实效果.在全面投入使用特效疫苗的试点城市中，疫苗的接种率达到了，若在一段时间内统计得感染疾病的人群中接种过疫苗的比例为，试评价疫苗在投入使用之后的表现. 参考公式及数据：，其中.，，. 【答案】（1）有的把握可以认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升 （2）疫苗在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病防治效果良好 【解析】 【分析】（1）利用卡方直接求解，然后根据问题直接下结论即可； （2）根据题目中用疫苗的有效率直接求解，然后下结论即可. 【小问1详解】 由 ， 又，， 所以有的把握可以认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升 【小问2详解】 设城市共有人，在这段时间内感染人数为， 则有效率 ， 可见疫苗在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病防治效果良好. 16. 记为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和，并比较与的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列通项公式联立方程组求解即可； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，再结合对数运算比较大小即可. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为， 因为，，所以， 解得，故. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 则对，， 又，故. 17. 已知函数（）． （1）当时，讨论的单调性； （2）若不等式对恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，再利用导数与函数单调性单间的关系，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 因为时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 18. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆在第一象限上的一点，直线，分别交轴于点，. （1）求的值； （2）在直线上取一点（异于），使得. （ⅰ）证明：，，三点共线； （ⅱ）求与面积之比的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （i）直线， 因为在直线上且，得， 消得， 因为在椭圆上，所以， 代入上式整理得（1） 因为，所以（1）式一定有一个根1， 得，即，得， 故，，， 得， 所以，，三点共线， （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，分别求出直线的方程，即可求出的坐标，再根据为椭圆上的一点，计算即可得解； （2）（ⅰ）求出直线的方程，结合，求出点的坐标，再分别求出，即可得出结论； （ⅱ）根据求解即可. 【小问1详解】 由题意， 设，则直线，故， 同理直线得， 则， 又，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为为椭圆在第一象限上的一点，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式， 利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量， 设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. 【小问3详解】 设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $