精品解析：河南省南阳市南召县2024-2025学年下学期九年级数学开学练习

2025年春期九年级开学摸底练习数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷硬币时，正面朝上 B. 明天太阳从东方升起 C. 经过红绿灯路口，遇到红灯 D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ） A. B. C. D. 6. 用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），每个转盘内被分成的扇形面积都相等，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指的颜色即为转出的颜色（若指针停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 8. 如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2024秒时，点的对应坐标为（ ） A B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论中： ①； ②关于x的方程，有两个不等的实数根； ③； ④当时，； 正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中，，若，则的值为______． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 090 0.91 通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为______．（精确到0.1） 14. 已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____. 15. 如图，在等腰中，，，于点D，点P是边上的一个动点，以为边向右作，连接，则_____，的最小值为_____． 三、解答题（10＋9＋9＋9＋9＋9＋10＋10=75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 月日，某中学“科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩活动，A．三阶面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为 ； （2）该校有名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从类中挑选出名男生和名女生，计划从这名学生中随机抽取名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 18. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 19. 二次函数中的x，y的部分取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … 根据表中数据完成下列各题： （1）该函数图象的对称轴是 ； （2）该函数图象与x轴的交点的坐标是 ； （3）画出该函数的大致图象； （4）当时，y的取值范围是 ； （5）不等式的解集是 ． 20. 如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．请解答以下问题： （1）求坡顶A到地面PQ的距离； （2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00） 21. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 22. 如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上． （1）如图①，连结、交于点，直接写出的值为 ； （2）如图②，在上找一点，使；（只用无刻度直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法） （3）如图③，在上找一点，使的面积为（要求同上）． （4）如图④，、交于点，直接写出的值 ． 23. 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， （1）若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ； （2）若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值； （3）在范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期九年级开学摸底练习数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷硬币时，正面朝上 B. 明天太阳从东方升起 C. 经过红绿灯路口，遇到红灯 D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答． 【详解】A．抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件； B．太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件； C．经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件； D．对方有可能出“剪刀”，也有可能出“石头”、“布”，出现对方出“剪刀”是随机事件． 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的概念，充分理解随机事件的概念是解答本题的关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，最简二次根式要满足两个条件：被开方数不能含有开得尽方的数或因式；被开方数不能含有分母，当然分母不允许含有二次根式．根据最简二次根式的含义判断即可． 【详解】A. ，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； B. 不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键． 对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 5. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡比为1：2.5求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可． 【详解】如图， ∵坡比为 i=1:2.5， ∴AC:BC=1:2.5 ， 即 AC:5=1:2.5 ， 解得:AC＝2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB=（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理的运用，属于基础题． 6. 用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），每个转盘内被分成的扇形面积都相等，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指的颜色即为转出的颜色（若指针停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：． 7. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即 由根与系数的关系得：， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，当点M与点B重合时，最大，从而可得到的取值范围．． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 当点M与点B重合时，最大值8，最大值为4， ∵点M为边上的动点（不与点B重合）， ∴． 故选D． 9. 如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2024秒时，点的对应坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识．每秒旋转，则8次一个循环，，第2024秒时，点的对应点回到原来的位置，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2024秒时，点的对应点回到原来的位置， 作轴于点， 由题意得，， 是等腰三角三角形， ， 点的坐标为． 故选：C． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论中： ①； ②关于x的方程，有两个不等的实数根； ③； ④当时，； 正确的是（ ） A ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与轴的交点个数，二次函数的对称性，图象法确定一元二次方程的根，以及不等式的解集，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点， ∴，故①正确，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，点关于对称轴对称的点为：， ∴关于x的方程，有两个不等的实数根，故②正确， ，故③正确； 由图象可知：当时，；故④正确； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：中，，， ∴， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程整理得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案：且． 13. 兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为______．（精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据表格可知：随着实验麦粒数增加，其发芽的频率稳定在0.9左右，据此解答． 【详解】解：由表格可知，随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.9左右， 故答案为：0.9． 14. 已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____. 【答案】y3＞y1＞y2 【解析】 【分析】分别计算自变量为4、2、-2对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 详解】当x=4，y1=（x-2）2-1=（4-2）2-1=3； 当x=2，y2=（x-2）2-1=（2-2）2-1=-1； 当x=-2，y3=（x-2）2-1=（-2-2）2-1=15， 所以y2＜y1＜y3． 故答案为y2＜y1＜y3． 15. 如图，在等腰中，，，于点D，点P是边上的一个动点，以为边向右作，连接，则_____，的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等边对等角，求出的度数，三线合一，结合勾股定理求出的长，作射线，证明，得到，得到点的轨迹，过点作，得到当点与点重合时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作射线，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， ∴当点与点重合时，最小即为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题（10＋9＋9＋9＋9＋9＋10＋10=75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）2；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式计算各项，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 或 解得，． 17. 月日，某中学“科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为 ； （2）该校有名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从类中挑选出名男生和名女生，计划从这名学生中随机抽取名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 【答案】（1）人 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数； （2）用学校人数乘以选择类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 本次调查总人数为人； 故答案为： 【小问2详解】 解：（人） ∴该校参加环保调查的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好抽到名男生和名女生有种， ∴恰好抽到名男生和名女生的概率是； 18. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 【答案】（1）否，是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得得到，从而得到； （3）设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【小问1详解】 解：①设是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程不是差根方程； ②设是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴，即； 【小问3详解】 解：设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程（是常数，）是“差根方程”， ∴， ∴=1，即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 19. 二次函数中的x，y的部分取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … 根据表中数据完成下列各题： （1）该函数图象的对称轴是 ； （2）该函数图象与x轴的交点的坐标是 ； （3）画出该函数的大致图象； （4）当时，y的取值范围是 ； （5）不等式的解集是 ． 【答案】（1） （2）和 （3）见解析 （4） （5）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质结合表格计算即可得解； （2）由表格可得，该抛物线与轴的一个交点为，由（1）可得该图象的对称轴是直线，结合对称轴的性质即可得解； （3）结合表格利用描点法画出函数图象即可； （4）根据二次函数的图象即可得解； （5）画出函数的图象，结合图象即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可得，当时，；当时，， ∴该图象的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：由表格可得，该抛物线与轴的一个交点为， 由（1）可得该图象的对称轴是直线， ∴该抛物线与轴的另一个交点为， ∴该函数图象与x轴的交点的坐标是和； 【小问3详解】 解：画出二次函数的图象如图所示： ； 【小问4详解】 解：由抛物线的图象可得，当时，y的取值范围是； 【小问5详解】 解：画出函数的图象如图所示， 由图可得，不等式的解集是或． 20. 如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．请解答以下问题： （1）求坡顶A到地面PQ的距离； （2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00） 【答案】（1）10m；（2）19m 【解析】 【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果； （2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ∴, 设AH＝5k，则PH＝12k， 在Rt△AHP中，由勾股定理，得， ∴13k＝26， 解得k＝2． ∴AH＝10（m）． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．； （2）如图，延长BC交PQ于点D， 由题意可知四边形AHDC是矩形， ∴CD＝AH＝10m，AC＝DH． ∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°， ∴PD＝BD． ∵PH＝12×2＝24（m）， 设BC＝x，则x+10＝24+DH． ∴AC＝DH＝（x﹣14）m． 在Rt△ABC中，即， 解得x≈19（m）． 答：信号塔BC的高度约为19m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 21. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝ （2）石块不能飞越城墙 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用． （1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答； （2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设石块运行的函数关系式为， ∵ ∴点C的坐标为， ∵抛物线过点， ∴，代入，得， 解得： ∴抛物线的表达式为， 即； 【小问2详解】 ∵， ∴点D的横坐标为75， 将代入函数，得， 即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为， ∵，， ∴， ∴石块不能飞越城墙． 22. 如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上． （1）如图①，连结、交于点，直接写出的值为 ； （2）如图②，在上找一点，使；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法） （3）如图③，在上找一点，使的面积为（要求同上）． （4）如图④，、交于点，直接写出的值 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明得到； （2）取点格点，连接交于点，点即为所求； （3）取格点，连接交于点，点即为所求； （4）取格点连接交于点，得到，，证明，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，取点格点，连接交于点，点即为所求； ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求； ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图，取格点连接交于点， 由图可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， （1）若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ； （2）若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案； （2）①将点代入，可得的值，再将代入，解方程即可； ②利用二次函数的顶点式求得和的值，即可求得答案； （3）由题意可得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即转化为在内与x轴至少有一个交点求解即可． 【小问1详解】 根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得． 故答案为：． 【小问2详解】 ①将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：， 解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为． ②∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 【小问3详解】 由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得：， 即转化为在内与x轴至少有一个交点， 函数的对称轴为,开口向上， 当时，;当时，;当时，; ①当与x轴交点的横坐标x，满足时， 则有即解得：; ②当与x轴的交点的横坐标x，满足时， 则有即解得：; 综上，的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，根的判别式的应用和新定义“三倍点”的理解与应用，根据“三倍点”的定义结合二次函数的相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$