第07讲 复数的四则运算（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第07讲 复数的四则运算 【人教A版2019】 模块一 复数的加、减运算及其几何意义 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型1 复数加减法的代数运算】 【例1.1】（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3) . 【变式1.2】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2.1】（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2021·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【变式2.1】（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 模块二 复数的乘、除运算 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 4．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 【题型3 复数的乘法、除法运算】 【例3.1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·陕西西安·模拟预测）是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【变式3.2】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 【例4.1】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【例4.2】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式4.1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二下·河南商丘·期中）若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例5.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例5.2】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5.1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【题型6 复数范围内分解因式】 【例6.1】（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【例6.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【变式6.2】（24-25高一·湖南·课后作业）利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 的问题】 【例7.1】（23-24高一下·河南焦作·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（    ） A． B．或 C． D． 【例7.2】（23-24高一下·广东珠海·期中）已知复数，是关于的方程 的两根，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式7.1】（23-24高一下·湖南·期中）已知关于的方程，. (1)当时，在复数范围内求方程的解； (2)已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围. 【变式7.2】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【题型8 复数中的新定义问题】 【例8.1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【例8.2】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8.1】（23-24高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且. (1)求复数； (2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值. 【变式8.2】（23-24高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京东城·期末）已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2024·上海宝山·一模）已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 10．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 11．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）已知复数，是关于的方程（，，）的两个复数根，且，，则（    ） A．与互为共辄复数 B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 14．（23-24高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 . 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 17．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知复数（，，且），且是实数. (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)求的最小值. 18．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 19．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）设是关于x的方程的一个根． (1)求实数的值； (2)求方程的另一个根及的值； (3)已知，求的值． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 复数的四则运算 【人教A版2019】 模块一 复数的加、减运算及其几何意义 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型1 复数加减法的代数运算】 【例1.1】（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用复数的减法运算求解. 【解答过程】若，，则. 故选：A. 【例1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】移项化简可得． 【解答过程】，， 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3) . 【解题思路】（1）利用复数的四则运算法则求解即可. （2）利用复数的四则运算法则求解即可. （3）利用复数的四则运算法则求解即可. 【解答过程】（1） . （2） . （3） . 【变式1.2】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】（1）解：由复数的运算法则，可得. （2）解：由复数的运算法则，可得. （3）解：由复数的运算法则，可得. （4）解：由复数的运算法则，可得. 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2.1】（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【解答过程】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【例2.2】（2021·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【变式2.1】（2024高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【解题思路】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为 ， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 【解题思路】（1）根据复数与向量间的关系运算得，，则，从而得到其对应的复数； （2），则，利用平行四边形面积公式即可得到答案. 【解答过程】（1）向量对应的复数为,所以向量， 对应的复数为,所以向量， ， ， ， 点对应的复数为5 . （2）， ， ，， . 故平行四边形面积为7. 模块二 复数的乘、除运算 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 4．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 【题型3 复数的乘法、除法运算】 【例3.1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的四则运算法则计算求解即可. 【解答过程】由题，. 故选：B. 【例3.2】（2024·陕西西安·模拟预测）是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，，，再结合复数的四则运算求解即可. 【解答过程】因为复数， 所以，， 所以， 故选：B. 【变式3.1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据复数的加减法运算计算即可； （2）根据复数的乘法运算计算即可； （3）根据复数的除法运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式3.2】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）根据复数的乘除法运算即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 【例4.1】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【解题思路】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案. 【解答过程】由题意可得， 故，解得 ， 故选：A. 【例4.2】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【解答过程】， 由已知得，解得， 故选：D. 【变式4.1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【解答过程】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【变式4.2】（23-24高二下·河南商丘·期中）若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的周期性及复数的除法运算法则，结合复数实部与虚部相等即可求解. 【解答过程】由题意可知，， 因为复数的实部和虚部相等， 所以，解得， 所以． 故选：C． 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例5.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【解答过程】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选： 【例5.2】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的运算公式，以及复数的几何意义，即可求解.S 【解答过程】由条件可知， 对应的点是，位于第一象限. 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【解题思路】（1）由复数为纯虚数，列出方程组求解即可得的值； （2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得的取值范围． 【解答过程】（1）. 因为为纯虚数， ，解得， 所以. （2）由， 由复数在复平面内所对应的点位于第四象限，得，解得． 的取值范围为． 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）化简，由其为纯虚数求出的值，将代入化简，从而可求出其模； （2）将代入化简，再由复数在复平面内所对应的点在第一象限，列不等式组可求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1）， ． 又为纯虚数， ，解得， 所以， ． （2）由（1）知， ． 又复数在复平面内所对应的点在第一象限， ，解得， 即实数a的取值范围是． 【题型6 复数范围内分解因式】 【例6.1】（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【解答过程】（1） （2） . 【例6.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【解答过程】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【解题思路】（1）由利用平方差公式可得答案； （2）由利用平方差公式可得答案. 【解答过程】（1）； （2）. 【变式6.2】（24-25高一·湖南·课后作业）利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）根据所给等式，直接可得答案； （2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案； （3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案； （4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 【题型7 的问题】 【例7.1】（23-24高一下·河南焦作·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（    ） A． B．或 C． D． 【解题思路】根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解. 【解答过程】因为是关于的方程在复数范围内的一个根， 所以关于的方程的另一个根为， 由韦达定理，得，解得，或（舍）， 所以. 故选：A. 【例7.2】（23-24高一下·广东珠海·期中）已知复数，是关于的方程 的两根，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【解题思路】在复数范围内解方程得，，然后根据复数的概念、运算判断各选项． 【解答过程】对于关于的方程，则， ∴，不妨设，， ，故A正确； ，故C正确； ，∴，当时，，故B错误； 当时，，，所以， ，，同理，故D正确． 故选：B． 【变式7.1】（23-24高一下·湖南·期中）已知关于的方程，. (1)当时，在复数范围内求方程的解； (2)已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围. 【解题思路】（1）代入，配方得到，开方即可得出答案； （2）由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案. 【解答过程】（1）当时，方程为， 配方可得，， 两边开方可得，， 所以，方程的解为. （2）要使方程有虚根，则， 所以，所以. 又，所以， 所以，. 【变式7.2】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或. 【题型8 复数中的新定义问题】 【例8.1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【解答过程】因，依题意得，. 故选：D. 【例8.2】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答过程】由题意，可化为， 所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为， 所以复数在复平面内对应的点在第四象限． 故选：D． 【变式8.1】（23-24高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且. (1)求复数； (2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值. 【解题思路】（1）设，可求，由条件可得，解得，的值，即可得到的值； （2）由题意可求为纯虚数，根据实部为0，虚部不为0即可求解的表达式，根据三角恒等变换以及三角函数的性质即刻求解最值． 【解答过程】（1）设复数,，是虚数单位），则， 因为， 解得，， 可得． （2）， 由题意可得， 当时，取最大值. 【变式8.2】（23-24高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 【解题思路】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论； （2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可. 【解答过程】（1）由定义，有 即，整理得，， 或. （2）①设，，则， ，所以 ①是真命题. ②设，，则， 所以，则是其一组解， 故得不到或. ②是假命题. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数运算和共轭复数定义进行计算，求解虚部. 【解答过程】，故的虚部为2. 故选：B. 2．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】借助纯虚数的定义可计算出复数，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置. 【解答过程】复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第二象限. 故选：B. 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解. 【解答过程】由题意知， 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·北京东城·期末）已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【解答过程】由，，, 由复数的几何意义，可知对应的是第一象限. 故选：A. 5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【解答过程】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B. 6．（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简，设，则，根据得到，即在以为圆心，半径的圆上，求出，由，求出的范围. 【解答过程】因为， 设，则，又，即， 所以，即，所以在以为圆心，半径的圆上， 又复数对应的点为，所以，所以， 所以，表示圆上的点与点的距离， 又， 所以，即，结合选项可知只有A不可能.    故选：A. 7．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由已知运算和复数的运算化简即可. 【解答过程】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 8．（2024·上海宝山·一模）已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则 【解题思路】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【解答过程】对于A，设，则，，A错误； 对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确； 对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D错误． 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【解题思路】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【解答过程】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 【解题思路】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断. 【解答过程】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误； 对于选项B：若（）为纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为， 则另一个虚根为， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：若，，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 11．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）已知复数，是关于的方程（，，）的两个复数根，且，，则（    ） A．与互为共辄复数 B． C． D． 【解题思路】根据韦达定理与题目所给条件建立方程组，可得，进而可得的值，再逐项判断即可. 【解答过程】因为是关于的方程的两个复数根， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得， 因为， 所以. 对于A，由，得，， 所以与互为共轭复数，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由A选项知， ， 所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 1 . 【解题思路】设出复数的代数形式，结合复数模的意义列式求解即得.. 【解答过程】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【解题思路】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【解答过程】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 20 . 【解题思路】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积. 【解答过程】设， 则. 所以点的坐标分别为 又两点连线的中点对应的复数为， 解得 . 又 的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【解答过程】（1）， ； （2） . （3） . 16．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【解题思路】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【解答过程】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. （2）依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 17．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知复数（，，且），且是实数. (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)求的最小值. 【解题思路】（1）根据题意，利用复数的除法运算结合复数的分类求解； （2）由（1）结合复数的几何意义求解； （3）先利用复数的除法运算化简得，代入运算化简，再利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）因为， 所以， 因为是实数，所以. 因为，所以，即. （2）由（1）可知. 设在复平面内对应的点为，则点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 设，同理可知满足的点的集合是以为圆心，为半径的圆. 因为，所以，即的取值范围是. （3）. 因为，所以， 则， 故. 因为，且，所以，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故，即的最小值是1. 18．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【解题思路】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解. （2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）选条件①，，由，得， 因此，即，又，解得， 所以，. 选条件②，，由 得，因此，解得， 所以，. （2）是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根， 于是，则实数， 所以实数的值为. 19．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）设是关于x的方程的一个根． (1)求实数的值； (2)求方程的另一个根及的值； (3)已知，求的值． 【解题思路】（1）利用方程根的意义，结合复数相等求解即得. （2）求出方程的根得，再利用复数乘法计算得解. （3）由（1）可得，再利用指数运算法则计算得解. 【解答过程】（1）依题意，，即， 整理得，而，因此，解得， 所以. （2）由（1）知，方程为，即， 解得或，所以， . （3）由（1）知，，而，则，即， 显然，因此， ， 所以. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$