第06讲 复数的概念（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第06讲 复数的概念 【人教A版2019】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的基本概念】 【例1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 【例1.2】（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【解题思路】根据复数的概念即可求解. 【解答过程】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：C. 【变式1.1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【解题思路】用复数的相关概念判断即可 【解答过程】A：表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误； B：由，可知的平方根是，故B正确； C：当是实数，故C错误； D：若，则复数虚部为0，故D错误； 故选：B. 【题型2 已知复数的类型求参数】 【例2.1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若复数是纯虚数，则（    ） A． B．且 C． D． 【解题思路】根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【解答过程】由题意可得：，解得或，又，所以. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解答过程】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【解题思路】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【解答过程】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 【变式2.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【解题思路】根据复数的类型列式求参. 【解答过程】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 【题型3 复数相等的求参问题】 【例3.1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】由复数相等可列出方程组求解. 【解答过程】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 【例3.2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1) ； (2). 【解题思路】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答. 【解答过程】（1）因x，y∈R，，则有，解得， 所以. （2）因x∈R，，于是得，解得， 所以. 【变式3.2】（23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （2）令实部为0且虚部为0解方程即可； （3）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （4）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【解答过程】（1）由，可得； （2）由，可得； （3）由，可得，或； （4）由，可得. 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型4 复数的几何意义】 【例4.1】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由共轭复数，及复数几何意义可得答案. 【解答过程】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 【例4.2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】首先根据复数的特征求，再根据复数的几何意义求解. 【解答过程】复数为纯虚数，则，则， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一下·广东云浮·期末）已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. （2）因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 【变式4.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）求实数m的取值或取值范围，使复数： (1)对应的点在第三象限； (2)对应的点在直线上. 【解题思路】（1）根据第三象限点的特征可得答案； （2）要使z对应的点在直线上，有，求出可得答案. 【解答过程】（1）要使z对应的点在第三象限，必有， 解得，所以， 所以当时，复数z在复平面内对应的点在第三象限； （2）要使z对应的点在直线上， 有， 解得或， 所以当或时， 复数对应的点在直线上. 【题型5 共轭复数的有关计算】 【例5.1】（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用共轭复数的定义即可求解. 【解答过程】因为复数，所以的共轭复数. 故选：B. 【例5.2】（24-25高二上·重庆·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义得到，再利用共轭复数的定义，即可求解. 【解答过程】因为复数对应的点的坐标是，得到，所以， 故选：B. 【变式5.1】（23-24高一下·山东烟台·期中）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由,得， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限． 【解答过程】由题意知， ， 其共轭复数为， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C． 【题型6 复数的模的问题】 【例6.1】（2024高一·全国·专题练习）设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】根据复数相等求出的值，根据复数的几何意义，即可求得答案 【解答过程】因为，所以 所以，得， 故 故选：B. 【例6.2】（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由建立的等量关系，求解，从而判断选项. 【解答过程】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式6.1】（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】设，结合条件求出，再求模即可． 【解答过程】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 【变式6.2】（2024·河南·一模）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据复数的模即可得到方程，解出即可. 【解答过程】因为，所以，所以． 故选：D. 【题型7 复数的向量表示】 【例7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案. 【解答过程】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A. 【例7.2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何含义确定点的坐标，再由向量的坐标运算求得的值即可. 【解答过程】复数，则，复数，则， 故， 复数对应的点为C，则， 因为，所以，解得. 故选：C． 【变式7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【解题思路】根据复数的几何意义及向量的运算法则即可求解 . 【解答过程】（1）因为 所以, 所以, 对应复数为 ; , 对应复数为 . （2）因为 所以， 所以, 对应复数为 ， , 对应复数为 . 【变式7.2】（23-24高一下·浙江台州·期中）已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 【解题思路】（1）设点坐标，计算可得，根据，借助于坐标运算可得结果； （2）由向量的夹角公式可求出，进而求出，由三角形的面积公式计算可得结果. 【解答过程】（1）设点坐标，对应复数. 由题意知，点坐标， ∴， ∵平行四边形中，， ∴,解得：，，∴点对应的复数为. （2）由题意可得：，， ， ∵，∴， ∴三角形面积. 【题型8 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例8.1】（2025高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离的最小值即可. 【解答过程】设， ， 则复数对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的几何意义是点到点的距离， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即. 故选：B. 【例8.2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得. 【解答过程】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【解题思路】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【解答过程】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． 【变式8.2】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【解题思路】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【解答过程】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据共轭复数的定义及复数的几何意义得解. 【解答过程】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 4．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据复数相等求解即可. 【解答过程】依题意，得，解得， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【解题思路】利用复数的旋转性质建立方程，求解参数后得到新复数，再求模即可. 【解答过程】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C. 6．（23-24高一下·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．设则是纯虚数的充要条件是 B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方 C．设复数与满足，则 D．若复数与满足，则 【解题思路】A.由一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0判断；B.由实数与其共轭复数对应的点都在实轴上判断；C.由得到与都是实数判断；D.分实数和虚数判断. 【解答过程】解：一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，故A选项错误； 实数与其共轭复数对应的点都在实轴上，故B选项错误； 说明与都是实数，所以C正确； 选项对实数成立，但对虚数未必成立．如但不成立. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 8．（23-24高一下·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 【解题思路】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B， ，当时取等号，B正确； 对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D错误. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD. 10．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【解题思路】根据共轭复数的定义判断A选项，根据复数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应点判断D选项. 【解答过程】对于A，由共轭复数定义知的共轭复数为，故A正确； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：AD． 11．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（    ） A．若为纯虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【解题思路】根据选项中复数的特征，分别求解，即可判断选项. 【解答过程】A.若为纯虚数，则，得，故A错误； B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则， 解得：，故B正确； C. 若，则，则，所以的虚部为，故C错误； D. 若，则，得，所以， 则，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 1 . 【解题思路】根据题意结合纯虚数的定义列式求解即可. 【解答过程】若复数是纯虚数，则，解得， 所以实数的值为1. 故答案为：1. 13．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 【解题思路】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标. 【解答过程】因向量所对应的复数是， 所以， 因，所以. 故答案为：. 14．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 【解题思路】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【解答过程】设，因为，即， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离， 又，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】根据复数相等得到方程组，解得即可. 【解答过程】（1）因为，为实数，且， 则，解得或； （2）因为且，为实数， 所以，解得或， 解得或， 所以或或或； （3）因为且，为实数， 所以，解得. 16．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 【解题思路】这两问都是根据复数的特征，列出关于实部和虚部的方程或不等式，即可求解. 【解答过程】（1）若是虚数，则且， 所以且且； （2）若是纯虚数，则， 解得：. 17．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【解题思路】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【解答过程】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果. （2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围. 【解答过程】（1）由z为纯虚数，得，解得，则， 所以. （2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 19．（23-24高一下·湖北·期末）已知，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【解题思路】（1）由复数的几何意义可得A，B，C的坐标，再由模长公式计算可得结果； （2）由平行四边形性质及平面向量线性计算可得,再由向量夹角的坐标表示计算可得出结果. 【解答过程】（1）易知，，， ，，， ， . （2）设，则，， 由平行四边形可得， 故，又， 所以， 即可得. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 复数的概念 【人教A版2019】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的基本概念】 【例1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【例1.2】（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【变式1.1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1.2】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【题型2 已知复数的类型求参数】 【例2.1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若复数是纯虚数，则（    ） A． B．且 C． D． 【例2.2】（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【变式2.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【题型3 复数相等的求参问题】 【例3.1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3.2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1) ； (2). 【变式3.2】（23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型4 复数的几何意义】 【例4.1】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4.2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4.1】（23-24高一下·广东云浮·期末）已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【变式4.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）求实数m的取值或取值范围，使复数： (1)对应的点在第三象限； (2)对应的点在直线上. 【题型5 共轭复数的有关计算】 【例5.1】（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高二上·重庆·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·山东烟台·期中）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6 复数的模的问题】 【例6.1】（2024高一·全国·专题练习）设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【例6.2】（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.1】（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式6.2】（2024·河南·一模）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 复数的向量表示】 【例7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【变式7.2】（23-24高一下·浙江台州·期中）已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 【题型8 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例8.1】（2025高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【变式8.2】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 6．（23-24高一下·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．设则是纯虚数的充要条件是 B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方 C．设复数与满足，则 D．若复数与满足，则 7．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 8．（23-24高一下·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 二、多选题 9．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 10．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 11．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（    ） A．若为纯虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 13．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 14．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值： (1)； (2)； (3)． 16．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 17．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 19．（23-24高一下·湖北·期末）已知，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$