精品解析：江苏省盐城市阜宁县滨湖高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

阜宁县滨湖高级中学2024年秋学期高二年级期末测试 数学试卷 姓名：______ 班级：______ 考号：______ 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 4. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 二、多选题 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 三、填空题 12. 已知数列，则数列的通项公式________． 13. 已知函数，则在处的切线方程为________. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 四、解答题 15. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，都有，求的取值范围. 18. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜宁县滨湖高级中学2024年秋学期高二年级期末测试 数学试卷 姓名：______ 班级：______ 考号：______ 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】写出直线方程，根据直线与轴垂直可得直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线方程为，直线与轴垂直， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 3. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 4. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 6. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 7. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 8. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C 二、多选题 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查了导数的定义、基本求导公式和法则，掌握导数的定义及常见函数的求导方法是解题的关键． 根据导数的定义、求导公式和法则，逐一计算并判断各选项的正确性． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，若，则，即，故C正确； 对于D，，故，故，故D正确． 故选：CD． 10. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出数列通项判断A,B,C，再结合二次函数的对称性判断D. 【详解】A选项，当时，，又， 所以，因为，则是递减数列，故A错误； B选项，由可得，故B正确； C选项，令，解得，故C正确； D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知数列，则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 13. 已知函数，则在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数定义求切线斜率，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②， ∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是， ∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即． 考点：椭圆的简单性质 四、解答题 15. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）0或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【小问1详解】 若，则，解得或2. 【小问2详解】 若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 16. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 17. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用列方程求解即可； （2）分离参数得恒成立，令，利用导数求解的最值即可求解. 【小问1详解】 易知，所以，又， 所以，所以； 【小问2详解】 若对任意的，都有， 即恒成立，即：恒成立， 令，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； 所以时，有最大值，所以，即的取值范围为. 18. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $