精品解析：江苏省盐城市阜宁县滨湖高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

阜宁县滨湖高级中学2024年秋学期高二年级期末测试 数学试卷 姓名：______ 班级：______ 考号：______ 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存 2. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 4. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 二、多选题 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C D. 设函数的导函数为，且，则 10. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 三、填空题 12. 已知数列，则数列的通项公式________． 13. 已知函数，则在处的切线方程为________. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 四、解答题 15. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，都有，求的取值范围. 18. 已知等比数列各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阜宁县滨湖高级中学2024年秋学期高二年级期末测试 数学试卷 姓名：______ 班级：______ 考号：______ 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】写出直线方程，根据直线与轴垂直可得直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线方程为，直线与轴垂直， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 3. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 4. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 6. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 7. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 8. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可. 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 10. 数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据求出通项公式，进而得到，单调递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴可得D正确. 【详解】A选项，当时，， 又，所以， 因为， 则是递减数列，故A错误； B选项，由可得，故B正确； C选项，令，解得，故C正确； D选项，因为的对称轴为，开口向下， 又，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知数列，则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 13. 已知函数，则在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数定义求切线斜率，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②， ∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是， ∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即． 考点：椭圆的简单性质 四、解答题 15. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）0或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 【小问1详解】 若，则 ，解得或2； 【小问2详解】 若，则 ，解得或1. 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以. 16. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 17. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，都有，求取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用列方程求解即可； （2）分离参数得恒成立，令，利用导数求解的最值即可求解. 【小问1详解】 易知，所以，又， 所以，所以； 【小问2详解】 若对任意的，都有， 即恒成立，即：恒成立， 令，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； 所以时，有最大值，所以，即的取值范围为. 18. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$