第16讲 矩形(三类知识点+十二大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第16讲 矩形（十二大题型） 学习目标 1.了矩形的概念； 2.知道矩形的性质定理及其相关计算、证明； 3. 掌握矩形的判定定理，并会结合矩形的性质综合应用. 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即学即练1】下列命题错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．矩形的对边相等 D．矩形的四个角都是直角 【即学即练2】如图，在矩形中，，则的长是 ． 【即学即练3】如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【即学即练4】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【即学即练5】如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形． 题型1:矩形性质的辨析 【典例1】．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【典例2】．下列选项中，矩形不具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角互补 【典例3】．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对边互相平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 题型2:利用矩形的性质求长度 【典例4】．如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ）    A．2 B．3 C． D．4 【典例5】．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例7】．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是 ． 题型3:利用矩形的性质求角度 【典例8】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【典例9】．在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D．不确定 【典例10】．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【典例11】．在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 度． 【典例12】．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 题型4:利用矩形的性质求面积 【典例13】．矩形的一边长是，一条对角线的长是6，则这个矩形的面积是 ． 【典例14】．如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ．    【典例15】．如图，在矩形中，相交于点O，若，则矩形ABCD的面积 ． 【典例16】．如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 题型5：利用矩形的性质解答证明 【典例17】．如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且．求证：． 【典例18】．如图，已知是矩形的对角线，过点作，交的延长线于点．求证：． 【典例19】．如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形． 【典例20】．6．如图．是矩形的一条对角线，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积 题型6：折叠问题 【典例21】．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 【典例22】．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 【典例23】．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例24】．在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ． 题型7：矩形的判定 【典例25】．下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【典例26】．下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 【典例27】．已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【典例28】．如图，在中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（   ）    A． B． C． D． 题型8：添加一个条件成为矩形 【典例29】．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 【典例30】．如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ． 【典例31】．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型9：矩形判定的证明 【典例32】．如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 【典例33】．如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【典例34】．如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：    (1)四边形是平行四边形； (2)若，，，求证四边形是矩形． 【典例35】．如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接．    (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状． 题型10：矩形性质与判定综合 【典例36】．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 【典例37】．如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °． 【典例38】．如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为 ．    【典例39】．如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【典例40】．四边形的对角线相交于点，且，，则 ． 【典例41】．如图，矩形中于，若，则 度． 【典例42】．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 题型11：根据矩形在平面直角坐标系中写出点的坐标 【典例43】．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例44】．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【典例45】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【典例46】．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为 ． 题型12：解答综合题 【典例47】．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【典例48】．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【典例49】．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【典例50】．如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 一、单选题 1．下列性质中，矩形一定具有的是（    ） A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（     ） A．60° B．70° C．80° D．90° 4．矩形的对角线交于点O，且，的周长为23，则矩形的两条对角线的和是 （      ） A．18 B．28 C．36 D．46 5．如图，在矩形中，，，点E在边上，若平分，则的长为(   ) A． B． C． D． 6．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如图，在矩形中，若对角线，则 ． 8．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，则 ． 9．在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则长为 ． 10．如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ．    11．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ． 12．在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，射线交边于点F，当时， ． 三、解答题 13．已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点E．求证：． 14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．    求证：AE＝BE． 15．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF． (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若EF⊥BD，求AE的长度． 16．如图所示，在矩形中，平分. （1）求的度数； （2）求证：. 17．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 矩形(十二大题型） 学习目标 1.了矩形的概念； 2.知道矩形的性质定理及其相关计算、证明； 3. 掌握矩形的判定定理，并会结合矩形的性质综合应用. 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即学即练1】下列命题错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．矩形的对边相等 D．矩形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质对各选项分析判断即可． 【解析】A.矩形的对角线互相平分，命题正确，不符合题意； B. 矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本选项命题错误，符合题意； C. 矩形的对边相等，命题正确，不符合题意； D. 矩形的四个角都是直角，命题正确，不符合题意； 故选B． 【即学即练2】如图，在矩形中，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】矩形的对角线相等且相互平分，据此即可作答． 【解析】∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且相互平分，是解答本题的关键． 【即学即练3】如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【解析】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 【即学即练4】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以BO=DO=AO=CO，在△ABO和△ADO中，因为底BO=DO，高相同，所以S△ABO=S△ADO，同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO，所以矩形ABCD面积=4S△ABO． 【解析】则由题意可得：BO=DO=AO=CO 则在△ABO和△ADO中， ∵BO=DO，高相同 ∴S△ABO=S△ADO 同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO ∴S矩形ABCD =4S△AOB=4×4=16 故选 D 【点睛】本题考查了矩形，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【即学即练5】如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形，进一步由三线合一定理得到，由此即可证明四边形是矩形． 【解析】证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 题型1:矩形性质的辨析 【典例1】．矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【解析】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 【典例2】．下列选项中，矩形不具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角互补 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质．根据矩形的性质逐项进行判断即可． 【解析】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意； B、矩形的对边相等，故选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，故选项不符合题意；     D、矩形的对角互补，故选项不符合题意； 故选：A 【典例3】．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对边互相平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟知矩形和平行四边形的性质是解题的关键． 【解析】解：A、矩形和平行四边形的对边都互相平行，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； C、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； D、矩形和平行四边形的对角都相等，故此选项不符合题意； 故选；B． 题型2:利用矩形的性质求长度 【典例4】．如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ）    A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，据此可得答案． 【解析】解：∵矩形的对角线交于点O，， ∴， 故选：A． 【典例5】．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【解析】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【典例6】．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质可知，，再根据勾股定理可求出的长，进而即可求出的长． 【解析】四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 故选：D． 【典例7】．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是 ． 【答案】8 【分析】由题意根据勾股定理求出AC=BD=5，即可得到OA=OB=2.5，即可得出结果． 【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4， ∴AC=BD===5， ∴OA=OB=2.5， ∴△AOB的周长=3+2.5+2.5=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键． 题型3:利用矩形的性质求角度 【典例8】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 【典例9】．在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形，是解题的关键． 利用矩形的性质和得到是等边三角形，问题随之得解． 【解析】解：∵矩形中，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【典例10】．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【典例11】．在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 度． 【答案】45或135/135或45 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义得出，再分两种情况：①当的平分线交线段于点E，②当的平分线交线段外于点E，分别求解即可． 【解析】∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， 由题意可分：①当的平分线交线段于点E， ； ②当的平分线交线段外于点E， ； 综上所述： 或45°， 故答案为：45或135． 【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，分情况讨论是解题的关键． 【典例12】．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案； 【解析】解：∵矩形中，； ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B 题型4:利用矩形的性质求面积 【典例13】．矩形的一边长是，一条对角线的长是6，则这个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，矩形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【解析】解：如图所示： 四边形是矩形， ，，， ， 矩形的面积； 故答案为： 【典例14】．如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是． 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴对角线、相等且互相平分，， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴矩形的面积是． 故答案为： 【典例15】．如图，在矩形中，相交于点O，若，则矩形ABCD的面积 ． 【答案】 【解析】先根据矩形的性质得到，再证明是等边三角形，求出，则，根据勾股定理求出的值，再根据矩形的面积公式求出答案即可． 【分析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的判定、勾股定理等知识点的应用是解题的关键． 【典例16】．如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 【答案】28 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明． 由矩形的性质推出矩形的面积的面积，证明，得到，进而得到求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴ (AAS)， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 题型5：利用矩形的性质解答证明 【典例17】．如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．通过矩形得到，，，证明，则，即可求证． 【解析】证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴． 【典例18】．如图，已知是矩形的对角线，过点作，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，矩形的性质，先由矩形的性质得到，，又，可得到四边形是平行四边形，从而有，即可得证结论． 【解析】证明：四边形是矩形， ，． ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ． 【典例19】．如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键．由矩形的性质，得出，，，再由等腰三角形的性质得到，进而推出结论． 【解析】证明：∵四边形矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【典例20】．6．如图．是矩形的一条对角线，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，可得； （2）由勾股定理而且的长，可求矩形的面积，即可求解． 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【解析】（1）证明：四边形是矩形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：，， ， ， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ， 四边形， 四边形的面积．． 题型6：折叠问题 【典例21】．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 【典例22】．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点N可得，所以，；在中由勾股定理求得的长，在中由勾股定理列出方程求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【解析】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， 即． ∴的面积为， 故答案为：． 【典例23】．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再根据勾股定理求解，即可得答案． 【解析】解：由对折可得：， 矩形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【典例24】．在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，掌握图形翻折的性质是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，再利用勾股定理求出即可解题． 【解析】解：点N为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， 又∵沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 故答案为：． 题型7：矩形的判定 【典例25】．下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可． 【解析】解：A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意； B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意； C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意． 故选：D． 【典例26】．下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键．根据矩形的判定定理逐项分析即可． 【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意; B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【典例27】．已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可． 【解析】解：如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形，故A不符合题意； ∵， 根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形， 故B不符合题意； ∵， ∴， 但不一定与相等，无法判定四边形是矩形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：C． 【典例28】．如图，在中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，根据矩形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【解析】解：、∵， ∴是矩形，不符合题意； 、∵， ∴是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形，不符合题意； 、， ∴是菱形，符合题意； 故选：． 题型8：添加一个条件成为矩形 【典例29】．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 【答案】不唯一 【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【解析】∵，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 【典例30】．如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，为矩形， 此时的长度为3． 故答案为：3 【典例31】．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 题型9：矩形判定的证明 【典例32】．如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键．先证四边形是平行四边形，结合即可求证. 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【典例33】．如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等角对等边等等，先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【典例34】．如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：    (1)四边形是平行四边形； (2)若，，，求证四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，即可得证； （2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，进而得到，由此根据一个角是直角的平行四边形是矩形，即得证； 【解析】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）证明： ， ， 是直角三角形，且， ， ∵四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【典例35】．如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接．    (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质以及矩形的判定． （1）根据，可知，得出，再根据等量代换可知； （2）根据，，可知四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，得出四边形是矩形． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵且点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 题型10：矩形性质与判定综合 【典例36】．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】首先根据题意得出平行四边形ABCD是矩形，进而求出∠OAB的度数． 【解析】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是判断出四边形ABCD是矩形，此题难度不大． 【典例37】．如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据四边形的对角线得四边形是矩形，可得，即可得；掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形的对角线， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【典例38】．如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为 ．    【答案】 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出即可． 【解析】解：如图，连接．   直线垂直平分， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典例39】．如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 【典例40】．四边形的对角线相交于点，且，，则 ． 【答案】1：2 【分析】求出，判定四边形是矩形，求出是等边三角形，求出，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质和判定的应用，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 【典例41】．如图，矩形中于，若，则 度． 【答案】 【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可. 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， ∵∠DCE=3∠ECB， ∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°， ∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°， ∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解. 【典例42】．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【解析】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 题型11：根据矩形在平面直角坐标系中写出点的坐标 【典例43】．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【解析】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【典例44】．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【解析】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键． 【典例45】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【解析】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【典例46】．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为 ． 【答案】（3，4） 【分析】根据点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，得OD=OP=OA=5，根据勾股定理即可求解． 【解析】解：由已知得OD=OP=OA=5，OC=4， 由勾股定理得CP==3， 则点P的坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 题型12：解答综合题 【典例47】．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质． 先由矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【解析】解：四边形是矩形，对角线与交于点， ，，，， ∴． ． ，． ， ． ． 【典例48】．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定和性质． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴． 【典例49】．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【解析】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 【典例50】．如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，再证明，等量代换即可得出答案； （2）依题意补全图形，线段之间的数量关系是：．连接，先证明，再证明，进而得出，根据，即可得出结论． 【解析】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：线段，，之间的数量关系是：． 证明：连接，，． 在中，是的中点， ， ，， ， ，， ∵， ， ，， ， ， ， ． 一、单选题 1．下列性质中，矩形一定具有的是（    ） A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可． 【解析】矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意； 矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意； 矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； 矩形的对角线相等，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键． 2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可． 【解析】解：在矩形中， 故选D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键． 3．如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（     ） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有一角的度数，可由三角形内角和求解角的度数． 【解析】解：如图， ∵矩形两对角线相等且互相平分，一边与对角线的夹角为50°，即∠OAB = 50°，OB=OA， ∴另一角∠OBA =∠OAB =  50°， 由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即∠AOB= 180°- 50° - 50°= 80°． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理． 4．矩形的对角线交于点O，且，的周长为23，则矩形的两条对角线的和是 （      ） A．18 B．28 C．36 D．46 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分，对边相等可得，，，再由的周长为23可得，然后可得答案． 【解析】解：四边形是矩形， ，，， 的周长为23， ， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，对边相等． 5．如图，在矩形中，，，点E在边上，若平分，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线和平行线内错角相等，可证明，则ED=AD，则可用勾股定理求出ED． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，AB=CE=3 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ED=AD=4 ∴ 故选： C． 【点睛】本题考查了角平分线、平行线性质，灵活运用相关知识进行角度代换是解题关键． 6．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】判断出是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再判断出是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出，再求出，可判断②；由直角三角形的性质可得，可判断③；由面积公式可得，可判断④． 【解析】解：平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在矩形中，， 是等边三角形，是等边三角形，故①正确； ， ， ， 是等腰三角形，故②正确； 在中，， ，故③错误； ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 二、填空题 7．如图，在矩形中，若对角线，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 根据矩形的对角线相等，即可求解． 【解析】解：∵四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：4． 8．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，则 ． 【答案】/80度 【分析】由矩形的性质可知OA=OD，即得出，再根据三角形外角的性质即可求出答案． 【解析】∵四边形ABC D是矩形， ∴OA=OD， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识是解题关键． 9．在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则长为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据矩形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【解析】解：如图，连接， 在矩形中，∵， ， 是边的中点， ， ，， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握矩形的性质以及等面积法的应用是解题关键． 10．如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ．    【答案】20 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点O和点M分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【解析】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵O是矩形的对角线的中点， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中位的性质，解题的关键在于灵活运用所学知识． 11．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ． 【答案】 【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC． 所以△AOE≌△COE． 设CE为x． 则DE=AD-x，CD=AB=2． 根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22 解得CE=13/6． 12．在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，射线交边于点F，当时， ． 【答案】/ 【分析】如图所示，延长交于H，由矩形的性质得到，则由平行线的性质和折叠的性质可证明得到；过点F作于G，则，证明，得到，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解析】解：如图所示，延长交于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 如图所示，过点F作于G，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 13．已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质得出，，然后根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，得出，最后根据等腰三角形的性质即可得证． 【解析】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．    求证：AE＝BE． 【答案】见解析. 【分析】根据矩形的性质证明△ADE≌△BCE，即可求解. 【解析】证明：∵矩形ABCD ∴∠D＝∠C AD＝BC ∵E是CD的中点 ∴CE＝DE 在△ADE和△BCE中，AD＝BC，∠D＝∠C，CE＝DE ∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE 【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定. 15．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF． (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若EF⊥BD，求AE的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可完成证明； （2）结合（1）证明四边形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，ADBC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DEBF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：∵四边形BFDE是平行四边形，EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形， ∴DE=BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2， 根据勾股定理得：BE2=AE2+AB2， ∴（4-AE）2=AE2+22， 解得AE=． 【点睛】此题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质定理解答． 16．如图所示，在矩形中，平分. （1）求的度数； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线的性质可知∠AEB=∠EAD=45°，则∠ACE=∠AEB-∠EAC=30°； （2）通过∠ACE=30°，∠BAO=60°证得△AOB为等边三角形，结合AB=BE可得BO=BE． 【解析】（1）在矩形中，平分， . ， . ， . （2）， 在中，. ， 是等边三角形， . 【点睛】本题考查等边三角形的性质和矩形的性质．解题的关键是要知道：矩形的两条对角线互相平分且相等． 17．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 (3)的长为或 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解； （3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：当时，设， 第一种情况，点在线段上，如图所示： 则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示： 则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为或． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键． 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$