6.2.4向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 新知引入 s F s F F1 F 问题：物理中功是如何定义的？ 新知引入 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移， 功是一个数量，它由力和位移两个向量确定. 如果把“功”看成是两个向量“相乘”的结果，受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 那么力所做的功 如何定义两向量的夹角？ 向量的模 数量 新知讲解—向量的夹角 已知两个非零向量是平面上的任意一点，作叫做向量与的夹角，亦可记作. 显然，（1）当时，与同向； （2）当时，反向； （3）如果，我们说垂直，记作. 注意：向量夹角的范围是 典例分析 例1.已知，且与的夹角为，则与的夹角是多少？与的夹角又是多少？ 学以致用 训练1. 在△中，是线段的中点，且则与 的夹角为______________. 新知讲解—向量的数量积 已知两个非零向量它们的夹角是我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即 规定：零向量与任一向量的数量积为. 向量的数量积是一个数，可正可负可为0，它的正负取决于的正负. 思考 我们知道实数运算中，若，则或，那如果呢？ 或 注意： “ ”中间的“•”不可以省略， 也不可以用“ ×”代替． 典例分析 例2.（1）已知正三角形的边长为，求： ①； ②；③. （2）设是两个非零向量，则“”是“的夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 学以致用 训练2. 设 （1）求的取值范围； （2）当时，求的值； （3）若，求. [- 108，108] - 54 新知讲解—投影向量 你如何借助做功理解公式？这对于我们认识向量的数量积有什么启发？ 垂直位移方向的力不做功，可以将功的大小转化为位移和沿着位移方向的分力所做的功. 这个过程我们在向量中称为投影，得到的沿着位移方向的分力我们叫做投影向量. 新知讲解—投影向量 已知是两个非零向量，若如图（1），，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 如图（2），若向量，共起点，则过终点作直线的垂线，垂足为就是向量在向量上的投影向量. 新知讲解—投影向量 我们研究图（2）情况下投影向量的表达式. 探究 为了表示方便，我们引入与方向相同的单位向量，与的夹角为，如何用，和表示投影向量呢？ 新知讲解—投影向量 当为锐角时，与方向相同， 当为直角时，，满足式子 当为钝角时，与方向相反， 如此 即两个不共线的向量的数量积问题可以转化为两个共线向量的数量积问题. 新知讲解—投影向量 当时， 所以 当时， 所以 对于任意的都有 其中 典例分析 例3.已知， （1）若的夹角， ①； ②上的投影向量； （2）若在上的投影向量的模长是2，求. 新知讲解—向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 （1） （2） （3）当同向时，； 当反向时，； 特别地，或. （4） 模长公式 判断向量垂直 新知讲解—向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 （1） （2） （3） 新知讲解—向量数量积的运算律 思考 1.设是向量，一定成立吗？为什么？ 2.数的运算中有完全平方公式，平方差公式等，向量运算中，以上公式是否仍然成立？即对任意向量，是否有： （1）（2） 例12： 新知讲解—向量数量积的运算律 巩固练习—向量数量积的运算律 巩固练习—向量数量积 巩固练习—向量数量积 例13： 新知讲解—向量数量积的运算律 巩固练习—向量数量积的运算律 巩固练习—向量数量积的运算律 题型一：两向量的数量积 能力提升 题型二：两向量的夹角 能力提升 题型三：投影向量 能力提升 题型四：向量的模 能力提升 课堂小结 1.向量的数量积与性质 2.投影向量 ，其中 即两个不共线的向量的数量积问题可以转化为两个共线向量的数量积问题. 3.数量积的运算律及应用 O A B C D (1)向东走20 km (2)向东走5 km 课后习题——习题6.2（第22页） 2．一架飞机向北飞行300 km，然后改变方向向西飞行400 km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成． 课后习题——习题6.2（第22页） 3．一艘船垂直于对岸航行,航行速度的大小为16 km/h,同时河水流速的大小为4 km/h.求船实际航行的速度的大小与方向(精确到1°)． A B C D 课后习题——习题6.2（第22页） 课后习题——习题6.2（第22页） A B C D O 课后习题——习题6.2（第22页） (2)不一定能构成三角形．结合向量加法的三角形法则知，当三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形．本题不一定能构成三角形． (1) 课后习题——习题6.2（第22页） C A B D A B D C 课后习题——习题6.2（第22页） A B D C 课后习题——习题6.2（第22页） 课后习题——习题6.2（第22页） A B C M N 第9题 课后习题——习题6.2（第22页） 5 1 课后习题——习题6.2（第22页） 课后习题——习题6.2（第22页） 课后习题——习题6.2（第22页） 综上所述，等式成立． 课后习题——习题6.2（第22页） A B C D (1) A D B C (2) A B C D (3) 课后习题——习题6.2（第22页） A B C D E N M 课后习题——习题6.2（第22页） A B C D E F 课后习题——习题6.2（第22页） A B C D E F G 课后习题——习题6.2（第22页） 16．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400 km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400 km到达丙地．画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？ 甲 乙 丙 东 北 课后习题——习题6.2（第22页） … A B C C B A D A1 A2 A3 A4 A5 An (1) (2) (3) 课后习题——习题6.2（第22页） … A B C C B A D A1 A2 A3 A4 A5 An (1) (2) (3) 课后习题——习题6.2（第22页） … A B C C B A D A1 A2 A3 A4 A5 An (1) (2) (3) 课后习题——习题6.2（第22页） 课后习题——习题6.2（第22页） O A C B 课后习题——习题6.2（第22页） O A B C 课后习题——习题6.2（第22页） O A B C A 课后习题——习题6.2（第22页） O A B C D 课后习题——习题6.2（第22页） O A B C D 课后习题——习题6.2（第22页） A B C D 课后习题——习题6.2（第22页） 【变式】已知 ， 与 的夹角 求： (1) ； (2) 的值； (3) . 【详解】(1) ； (3) ， 所以， . 【变式】已知向量 ， 满足 ， ， ． (1)求 的值； (2)求向量 与 的夹角． 【详解】(1)因 ， , 由 可得， ，即 于是， ； 【变式】已知向量 ， 满足 ， ， ． (1)求 的值； (2)求向量 与 的夹角． 【详解】(2)设向量 与 的夹角为 ，则 ， 因 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 与 的夹角为 ． 【变式】已知平面向量 ，且 ， ，且 与 的夹角为 . (1)求 ； (2)若 与 垂直，求 的值. 【详解】解：(1)因为 EMBED Equation.DSMT4 与 的夹角为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 所以 EMBED Equation.DSMT4 所以 【变式】已知平面向量 ，且 ， ，且 与 的夹角为 . (1)求 ； (2)若 与 垂直，求 的值. 【详解】解：(2)因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 故 . 【练习1】已知向量 , , 与 的夹角为 ,且 ,则 实数k的值为( ) A． B． C．2 D． 【解析】 向量 ， ， 与 的夹角为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 由 ，可得 ，解得 . 故选：D. 【练习2】已知 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】设 与 的夹角为 ，因为 为单位向量， ，即 ， 即 ，即 ， 所以 ，即 . 故选：C. 【练习3】已知向量 和 满足 ， ， ，则向量 在 向量 上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量 和 满足 ， ， ，可得 ，解得 ， 所以向量 在向量 上的投影向量 .故选：A. 【练习4】已知向量 , 满足 ，则 （   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ，即 ，可得 ， 又 ，则 .故选：A. $$