专题05 整式乘除单元过关【培优版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题05 整式乘除单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A． B． C． D． 5．的计算结果的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．2 D．0 6．使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 7．已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 8．设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①②④ 9．已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或 ② ③若，，则 ④若，则 ⑤代数式的最小值为2022 以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算∶ ． 12．计算： ． 13．计算的结果为 ． 14．观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为 ． 15．如果一个四位数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称这个数为“四位凹对称数”．例如：，均为“四位凹对称数”．一个“四位凹对称数”，其前两位数与后两位数的平方差为的倍数，令，则的最大值为 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．用完全平方公式进行计算： (1)； (2)； (3)． 17．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第 3个等式： ； 第4个等式： ； …. 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示） 18．先化简，再求值：当，时，求代数式的值． 19．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）； (2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）； (3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____． (4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）； (5)若＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值． 20．配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知29是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式__________； (2)若可配方成（、为正整数），则__________； 【探究问题】 (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 21．【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 22．填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 23．探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式乘除单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 2．2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解题的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用积的乘方化成计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：A． 4．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方式的结构：或即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故选：D． 5．的计算结果的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．2 D．0 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键． 根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可． 【详解】解： ， ∴的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现， ∵，故与的个位数字相同即为1， ∴的个位数字为0， ∴的个位数字是0． 故选：D． 6．使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 7．已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、负整数指数幂、有理数大小比较 【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方的运算，据此相关性质内容先化简，再结合有理数的大小比较，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握新运算规则． 根据新运算规则进行化简，然后对选项逐个进行判断． 【详解】解：①，，故①符合题意； ②，，故②不符合题意； ③，，故③符合题意； ④；，故④不符合题意； 故选：A． 9．已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或 ② ③若，，则 ④若，则 ⑤代数式的最小值为2022 以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】①利用完全平方公式的形式求解； ②利用整式的加减运算和配方法求解； ③利用完全平方和和完全平方差公式求解； ④利用完全平方和和完全平方差公式求解； ⑤利用完全平方公式和配方法求解． 【详解】解：①多项式是完全平方式， ，故结论正确； ② ， 而， ，故结论正确； ③，， ， ， 根据②故结论错误； ④ ， ；故结论正确； ⑤ ， ，， 当，时有最小值为2022， 但是根据②， 结论错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难． 10．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可 【详解】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021， ∴第一项为：x2021， 第二项为： 故选：D 【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算∶ ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握相关的知识．根据零指数幂和负整数指数幂的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键. 根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13．计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案，熟练掌握整式的运算法是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据，结合，得到，求出，代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵，，… ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 15．如果一个四位数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称这个数为“四位凹对称数”．例如：，均为“四位凹对称数”．一个“四位凹对称数”，其前两位数与后两位数的平方差为的倍数，令，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、数的整除、构造二元一次方程组求解 【分析】先判断出，且，进而得出，再根据前两位数与后两位数的平方差为的倍数，得到为的倍数，进而得出关于，的方程组求出，的值，求出，最后比较即可求出答案． 【详解】解：为“四位凹对称数”， ，且， ， ， 前两位数与后两位数的平方差为的倍数， 为的倍数， ， 为的倍数， ，且为的整数，为的整数， ，，， ， 或， 或， 当，时， ， 当，时， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方差公式，整除问题，新定义，得出关于，的方程组是解本题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 16．用完全平方公式进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算，完全平方公式的逆用； （1）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可， （3）先逆用完全平方公式把原式化为，再进一步的计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 17．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第 3个等式： ； 第4个等式： ； …. 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示） 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了数字类的变化规律，解题的关键是根据等式的变化找出其规律； （1）根据规律，直接写出等式即可； （2）总结规律，再证明等式的左边等于右边即可， 【详解】（1）解：第6个等式为：， 故答案为： （2）解：第n等式个为：， 证明如下： 左边 ， 右边 ， 左边=右边， 则等式成立 18．先化简，再求值：当，时，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先将完全平方公式展开，然后按照整式的加减运算法则计算括号内的部分，得出结果后再计算整式的除法，最后将、的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）； (2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）； (3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____． (4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）； (5)若＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值． 【答案】(1) (2)（a+b）（a﹣b） (3)＝（a+b）（a﹣b） (4) (5)2x﹣3y的值为5 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积即可； （2）根据长方形面积公式解答即可； （3）由（1）、（2）即可得到公式； （4）根据平方差公式，得到，再计算即可； （5）将=10，化为（2x+3y）（2x-3y）=0的形式，再由4x+6y＝4求出2x+3y=2，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）， ∴， 故答案为：； （3）由（1）、（2）可得，＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：＝（a+b）（a﹣b）； （4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c] ＝， ＝； （5）＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝10， ∵4x+6y＝4， ∴2x+3y＝2， ∴2x﹣3y＝10÷2＝5， 故2x﹣3y的值为5． 【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，用不同方法表示同一个图象的面积是解决问题的关键． 20．配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知29是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式__________； (2)若可配方成（、为正整数），则__________； 【探究问题】 (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)13，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴； （3） ∵是“完美数”，，也是整数， ∴k可以取13． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 21．【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）；②12 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设， 则， ； （2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是 8 ， ， 阴影部分面积， 设， 则，     ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 12 ． 22．填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解； （2）根据题中条件总结归纳即可求解； （3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案． 【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：， 故答案为：； （2）解：根据上式猜想得：， 故答案为：； （3）解：① ∴， ∴原式； ②由题意可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键． 23．探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【答案】（1）；（2）；（3）该物业筹集的资金不够用，说明见解析 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据正方形的面积等于边长乘以边长，又等于四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积即可得到结论； （2）设，则，，即，由（1）的结论可得，则（负值舍去），； （3）设，由题意得，，两个三角形区域的面积之和，两个长方形区域的面积之和，则一共需要的资金 元，求出，则一共需要的资金 元，根据，得到， 则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）正方形的面积可以表示为，正方形的面积又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）设， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）该物业筹集的资金不够用，说明如下： 设， 由题意得，， 两个三角形区域的面积之和， 两个长方形区域的面积之和， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该物业筹集的资金不够用． 学科网（北京）股份有限公司 $$