专题04 整式乘除单元过关【基础版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题04 整式乘除单元过关（基础版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．对于算式，括号中应填入的代数式是（    ） A． B． C． D． 2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 4．乐乐计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，但中间一项不慎被污染了，这一项应该是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 7．下列各式中，计算结果为x的是（   ） A． B． C． D． 8．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为（    ） A．4 B． C．5 D．6 10．观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C．或 D．或 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 12．已知，那么x，y，z三者之间的数量关系是 ． 13．已知一个多项式除以多项式，所得商式是，余式为，这个多项式是 ． 14．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．（1）利用简便方法计算：； （2）先化简，再求值，其中，． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．定义新运算：对于任意数a，b，都有a⊕b＝（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如5⊕2＝（5﹣2）（52+5×2+22）+23＝3×39+8＝117+8＝125 （1）求3⊕（﹣2）的值； （2）化简（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3． 19．乘法公式的探究及应用： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）： 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 ：（写成多项式乘法的形式）： 比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表达） (2)运用你所得到的公式，计算的值： 20．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 21．观察下列各式的计算规律，解答下列问题． …… (1)根据上面各式的规律可得： ； (2)根据（1）中规律计算的值； (3)求的个位数字． 22．综合与实践 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 23．阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式．即用方法甲计算某图形面积表示为A，用方法乙计算同一图形面积表示为B，进而得到等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知：运用“算两次”的方法计算图1中最大正方形的面积，可得等式：_________．   方法应用：如图2，将四个直角边为、斜边为的等腰直角三角形拼成正方形．用“算两次”的方法计算正方形的面积，可得： S正方形ABCD， S正方形ABCD， 则与之间满足的等式为_________．       任务： (1)补全由图1得到的等式： ； (2)写出由图2得到的等式： ； (3)将四个直角边为，斜边为的直角三角形按图3的方式拼成正方形和正方形．请用“算两次”的方法验证等式“”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式乘除单元过关（基础版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．对于算式，括号中应填入的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴应填入的是， 故选：D ． 2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】解：． 故选：B 3．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】零指数幂、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方，零指数幂，解答的关键是积的乘方法则的逆用． 逆用积的乘方法则和零指数幂计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 4．乐乐计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，但中间一项不慎被污染了，这一项应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟练记住公式的灵活变形是解题的关键．完全平方公式是指：，只要根据定义即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴中间一项不慎被污染的一项应该是， 故选：D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查单项式的除法，完全平方公式的应用，平方差公式应用，去括号，根据以上运算法则分别进行计算即可． 【详解】解：A．，该项计算错误； B．，该项计算错误； C．，该项计算错误； D．，该项计算正确； 故选：D． 6．若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可． 把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可． 【详解】 ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 7．下列各式中，计算结果为x的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、负整数指数幂、合并同类项、同底数幂的除法运算 【分析】根据合并同类项可判断A；根据负整数指数幂和幂的乘方可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据负整数指数幂的意义可判断D． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不符合题意；     B．，故不符合题意； C．，故符合题意；     D．，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项，负整数指数幂的意义，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 8．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键． 选择最简单的计算方式即可． 【详解】解：利用完全平方公式计算，变形最恰当的是， 故选：A． 9．如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，将完全平方公式变形得，即可求出答案． 【详解】设长方形ABCD的边，， 根据题意可知，， 即，， ， 即长方形ABCD的面积为， 故选：B． 10．观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了整式的乘法、求代数式的值．首先根据规律可得：，从而可知，把的值代入代数式求值即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 当时，原式， 当时，原式． 故选：D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 【答案】10 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了零指数幂和乘方，解题的关键是掌握零指数幂的公式，． 先计算零指数幂和乘方，再相加． 【详解】解： 故答案为：10． 12．已知，那么x，y，z三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及幂的乘方的逆用是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法与幂的乘方的逆用可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13．已知一个多项式除以多项式，所得商式是，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，利用除式乘以商式，然后加上余式就是所求式子． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 16．（1）利用简便方法计算：； （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1）1；（2），4 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，化简求值，熟记平方差公式，准确计算是解题的关键； （1）运用平方差公式计算即可； （2）首先计算括号内完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，然后计算括号外除法，然后把，代入化简后的式子，计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先计算平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式以及求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 18．定义新运算：对于任意数a，b，都有a⊕b＝（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如5⊕2＝（5﹣2）（52+5×2+22）+23＝3×39+8＝117+8＝125 （1）求3⊕（﹣2）的值； （2）化简（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3． 【答案】（1）27；（2）a3. 【知识点】整式四则混合运算、计算多项式乘多项式、新定义下的实数运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值 （2）先去括号，再合并同类项，即可解答 【详解】（1）3⊕（﹣2） ＝（3+2）×[32+3×（﹣2）+（﹣2）2]+（﹣2）3 ＝5×7﹣8 ＝27 （2）（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3 ＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3+b3 ＝a3 【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键 19．乘法公式的探究及应用： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）： 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 ：（写成多项式乘法的形式）： 比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式 （用式子表达） (2)运用你所得到的公式，计算的值： 【答案】(1)，， (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用： （1）利用正方形的面积公式即可求出图①阴影部分面积；仔细观察图形就会知道图②中长方形的长，宽，由面积公式就可求出面积，根据图①和图②中的阴影部分面积相等，即可得到对应的等式； （2）把原式变形为，利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知图①中阴影部分的面积； 由图②可知长方形的宽是，长是， ∴面积是； ∵图①和图②中的阴影部分面积相等， ∴ 故答案为：，，． （2）解； ． 20．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1)3 (2)， 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键． 21．观察下列各式的计算规律，解答下列问题． …… (1)根据上面各式的规律可得： ； (2)根据（1）中规律计算的值； (3)求的个位数字． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法． （1）直接依据变化规律，即可得到结果； （2）将变形为，依据（1）中的规律即可计算； （3）将变形为，然后运用（1）中的规律得到结果，再进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ， ∵的个位数字以，，，进行四次一个循环， 又∵， ∴的个位数字为， ∵减去之后的个位数字是，再除以之后个位数字就是， ∴的个数数字就是， ∴的个数数字就是． 22．综合与实践 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【答案】(1)；； (2) (3)证明见详解 【知识点】含乘方的有理数混合运算、平方差公式与几何图形、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解； （2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解； （3）根据（1）中结论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∵， ∴， 故答案为：；；． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为， ∴ ， ∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【点睛】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键． 23．阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式．即用方法甲计算某图形面积表示为A，用方法乙计算同一图形面积表示为B，进而得到等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知：运用“算两次”的方法计算图1中最大正方形的面积，可得等式：_________．   方法应用：如图2，将四个直角边为、斜边为的等腰直角三角形拼成正方形．用“算两次”的方法计算正方形的面积，可得： S正方形ABCD， S正方形ABCD， 则与之间满足的等式为_________．       任务： (1)补全由图1得到的等式： ； (2)写出由图2得到的等式： ； (3)将四个直角边为，斜边为的直角三角形按图3的方式拼成正方形和正方形．请用“算两次”的方法验证等式“”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）由等面积法可得答案； （2）由等面积法可得答案； （3）利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：由面积公式可得：， 故答案为： （2）由等面积法可得：， 故答案为： （3）， ， 根据题意，得， 所以，． 【点睛】本题考查的是整式的乘法与图形面积之间的关系，熟练的利用等面积法是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$