专题02 整式乘除【知识串讲+十四大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题02 整式乘除 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）整式乘法 （1）单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘法易错点： （2）单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 【单项式乘以多项式注意事项】 ①单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。 ②单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） ③不要出现漏乘现象，运算要有顺序。 （3）多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【多项式乘以多项式注意事项】 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。 （二）整式除法 （1）单项式÷单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. （2）多项式÷单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决）。 模块三 考点一遍过 考点1：单项式×单项式 典例1：下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 下列计算正确的是（   ） 【变式1】A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘法，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据积的乘方法则及单项式乘以单项式的法则对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】  若与的积是，则 ． 【答案】8 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出、，熟记法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解方程组得：， ∴， 故答案为：8． 【变式3】计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 考点2：单项式×单项式的实际应用 典例2：一个长方形的宽是，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、计算单项式乘单项式 【详解】长是，则长方形的面积是． 【变式1】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、计算单项式乘单项式 【分析】用大长方形的面积减去小长方形的面积列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：余下的阴影部分面积为： 故选B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是能根据图形列出代数式及整式的混合运算顺序和运算法则． 【变式2】  在某住房小区建设中，为了提高业主的居住环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示），则该广场的面积是 ． 【答案】 【知识点】列代数式、整式的加减运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法混合运算，根据该广场的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，进行计算即可． 【详解】解：该广场的面积是： ， 故答案为：． 【变式3】如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      【答案】 【知识点】列代数式、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． 考点3：单项式×多项式 典例3：下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式的乘法．单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．根据单项式乘以多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】定义：表示，表示，则的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，读懂题意，列式，即可作答 ． 【详解】解：依题意，表示，表示， 则， 故选：B ． 【变式2】  计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到答案． 【详解】解：； ； 故答案为：； 【变式3】一块长方形铁皮，长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的应用，根据题意列式，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 考点4：单项式×多项式的实际应用 典例4：如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个木制的长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键． 先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：长方体的体积为： 故选：A ． 【变式1】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 【变式2】  如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为，再根据整式的混合运算法则整理即可． 【详解】解：由题意得，小芳卧室的面积 ． 故答案为：． 【变式3】如图，四边形和都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为 ．（结果要求化简） 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】根据阴影部分的面积S为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积S为 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据图形列代数式以及求单项式乘以多项式的知识，分析题意，正确求出阴影部分的面积是解题的关键． 考点5：多项式×多项式 典例5：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、计算多项式乘多项式、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的乘法运算，整式的加减，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算，，进行计算，即可． （1）根据整式的乘法，多项式乘以多项式，进行计算，即可； （2）根据整式的乘法，，，整式的加减运算，进行计算，即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】  计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可； （3）利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则求解即可； （4）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据整式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 考点6：（x+p）（x+q）的运算 典例6：若，则a、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 【变式1】若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算多项式乘多项式 【分析】主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】解： 即 故选：D 【变式2】  如果，则的值为 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式3】若且，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵且， ∴ 故答案为：． 考点7：多项式×多项式的实际应用 典例7：如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ） A．纸盒的容积等于 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了正方体，长方体的体积及表面积；由图得长方体的长为，宽为，高为，逐一进行求解，即可求解；会求长方体的体积及表面积是解题的关键． 【详解】解：A.纸盒的容积等于，结论正确，不符合题意； B.纸盒的表面积为，结论正确，不符合题意； C.纸盒的底面积为 ，结论错误，符合题意； D. 若制成的纸盒是正方体， ， ，结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式2】  为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长、宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 ． 【答案】 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘多项式等知识点，根据图形正确列出代数式是解题的关键． 由题意可知，小阳同学这幅作品的长为，宽为，然后根据“面积长宽”即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：小阳同学这幅作品的长为，宽为， 小阳同学的这幅作品的面积是：， 故答案为：． 【变式3】10月1日，太原五一广场举行庄严的升国旗仪式．如图是一块长为，宽为的长方形地块，在其中心是一个边长为的正方形升旗台，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．根据得到，再根据多项式乘多项式以及完全平方公式的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 考点8：单项式÷单项式 典例8：下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的除法，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方的运算，要熟练掌握运算法则．根据整式的除法，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方的运算方法逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，根据整式乘除的运算法则分别计算出各选项的结果，即可得解． 【详解】解：．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】  计算 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式的乘除运算，先计算积的乘方运算，再计算乘法运算，最后计算除法运算即可． 【详解】解： ； 考点9：多项式÷单项式 典例9：计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式法则进行计算即可． （2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【答案】工件的长 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了整式除法运算的应用．用柱体工件的体积除以底面积，即可求得工件的长． 【详解】解：根据题意得，工件的长 ． 【变式2】  计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，后算单项式的除法； （2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，熟记运算法则是解本题的关键； （1）按照多项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）按照多项式除以单项式的运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 考点10：整式乘除应用——求字母、代数式 典例10：已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式2】  已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算进行计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】由已知的式子可得，，然后将所求的式子降次变形结合整体思想解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法运算，正确降次、灵活应用整体思想是解题的关键． 考点11：整式乘除的应用——新定义 典例11：阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 【变式1】探究应用：用“∪”、“∩”定义两种新运算：对于两数a、b，规定，，例如：． (1)求：的值 (2)求：的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了实数的新定义，幂的运算，解题的关键是熟练正确理解题意，熟练应用新定义运算法则． （1）根据，代入计算即可求解； （2）根据，代入计算即可求解； （3）根据两种新定义运算规则，代入后得到，根据幂的运算法则，整理后得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， ， ， ， 解得． 【变式2】  如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【知识点】幂的混合运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【变式3】我们知道，若，则；同样的道理，若 ，则 这样我们定义一种新的运算，如果，则． (1)根据上述定义计算： ， ※ ； (2)若，，，试求a，b，c之间的等量关系； (3)若或，则m还可以表示为 ． 【答案】(1)2；3，27 (2) (3)或（答案不唯一） 【知识点】同底数幂相乘、有理数的乘方运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了有理数的乘方以及新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义结合有理数的乘方运算即可求解． （2）原式利用题中的新定义，把各个算式写成同底数幂，再结合同底数幂的乘法法则即可得到答案． （3）原式利用题中的新定义，把各个算式写成乘方的形式，等号两边同平方，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2；3，27 （2）∵，，， ∴，，． ∴． ∴a，b，c之间的等量关系为：． （3）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 考点12：整式乘除的应用——几何图形 典例12：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2)1 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵，令，， ∴ ． 【变式1】阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 【变式2】  对于一个几何拼接图形，通过不同的方法计算它的面积，可以解释一些数学等式．如图1，先单个计算阅览室（正方形）、卫生间P（正方形）和图书室（长方形）的面积，然后整体计算面积，可以得到数学等式：．    (1)观察图2，填空__________； (2)因式分解：，图3表示面积为的几何拼接图，请你补充完整（涂上阴影）； (3)学校准备利用现有教学楼墙重建图书馆，重建资金额定（即墙厚度和总长度为定值）．图4是图书馆地面一层的平面设计图，由1个长方形阅览室和2个正方形图书室组成，各开了一个1米宽的门相通．若计算面积时不考虑墙体厚度，用总长67米的墙重建长方形图书馆的地面一层．问重建后，图书馆地面一层最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)，图见解析． (3)重建后，图书馆地面一层最大面积是350平方米． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、列代数式、因式分解的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）本题考查用整式表示图形面积，根据图形先计算1个阅览室（正方形）、2个卫生间P（正方形）和3个图书室（长方形）的面积，然后整体计算面积，即可以得到数学等式． （2）本题考查因式分解，掌握因式分解方法即可，再根据因式分解的结果确定图形的长和宽，即可画出图形． （3）本题考查代数式相关知识，设米，依题意得米，米，根据，表示出面积，再利用的非负性，即可求解． 【详解】（1）解：由图知， ， 故答案为：． （2）解：， 补图如下图1所示：    （3）解：设米，依题意得：米，米， ， ， ． 答：重建后，图书馆地面一层最大面积是350平方米． 【变式3】阅读材料；杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)计算与猜想： ①计算： ②猜想：的展开式中含项的系数是______． (3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过天是星期______． 【答案】(1)6，15 (2)①1；② (3)六 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确理解杨辉三角是解题关键． （1）观察发现规律补充杨辉三角，据此即可得到答案； （2）①根据杨辉三角化简求值即可； ②将展开，即可得到含项的系数； （3）由展开可知，除了末项为1，其他项均为7的倍数，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：观察可知，展开项中的项数比二项式乘方的次数多1，展开式中的是按其幂的指数由高到低排列，是按其幂的指数由低到高排列，首项的次数与末项的次数相同，都等于二项式乘方的次数，每一行首末两项的次数都是1，中间各项的系数等于它上一行相邻的两个系数之和， 的展开式共有6项，的第三项的系数是15， 故答案为：6，15； （2）解：①； ②， 含项的系数是， 故答案为：； （3）解：， 除了末项为1，其他项均为7的倍数， 若今天是星期五，那么再过天是星期六， 故答案为：六． 考点13：整式乘除的应用——化简求值 典例13：先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值、整式的混合运算 【分析】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把代入得出答案． （2）直接利用完全平方公式和平方差公式计算，进而合并同类项，把代入得出答案． 【详解】（1）解：原式． 当，即时，原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式 ． 【变式1】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，灵活运用相关法则是解题的关键． （1）运用乘法的平方差公式，完全平方公式，多项式除单项的法则进行计算，再合并同类项即可化简，再将值代入化简后的结果中即可求解； （2）先根据完全平方公式，单项式乘多项式的法则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除单项式的法则进行化简，最后将代入化简后的结果中即可求值． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）原式 ． 当时， 原式． 【变式2】  计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】多项式除以单项式、计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）首先计算括号内完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，然后计算括号外多项式除以单项式，最后代数求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） 当，时，原式． 【变式3】先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)，3 (2)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，完全平方公式，多项式乘以多项式法则，整式的除法法则是解题的关键． （1）运用乘法公式，整式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可； （2）先运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 考点14：整式乘除的应用——不含某项 典例14：若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】幂的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 【变式1】小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式加减的应用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了整式的运算法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据条件求出多项式，然后将和代入中即可求出答案． （2）将和代入中，合并同类项为，再根据的结果不含和项，即可得到，，求解即可得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 的结果不含和项， ∴，， 解得：，． 【变式2】  若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、积的乘方的逆用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）将与的值代入计算即可求出值； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含和项， ∴，， ∴， ， ∴； （2）解： 当， 时，原式 ． 【变式3】若的积中不含项与项， (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】（1）首先去括号，合并同类项，再根据积中不含项与项，可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可求得； （2）把p、q的值分别代入代数式，计算即可求得． 【详解】（1） 积中不含有项与项 ，解得； （2） 将，代入，得 ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值问题，解题的关键是正确求出p，q的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式乘除 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）整式乘法 （1）单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘法易错点： （2）单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 【单项式乘以多项式注意事项】 ①单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。 ②单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） ③不要出现漏乘现象，运算要有顺序。 （3）多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【多项式乘以多项式注意事项】 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。 （二）整式除法 （1）单项式÷单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. （2）多项式÷单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决）。 模块三 考点一遍过 考点1：单项式×单项式 典例1：下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 下列计算正确的是（   ） 【变式1】A． B． C． D． 【变式2】  若与的积是，则 ． 【变式3】计算： ． 考点2：单项式×单项式的实际应用 典例2：一个长方形的宽是，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】  在某住房小区建设中，为了提高业主的居住环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示），则该广场的面积是 ． 【变式3】如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      考点3：单项式×多项式 典例3：下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】定义：表示，表示，则的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2】  计算：（1） ；（2） ． 【变式3】一块长方形铁皮，长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 ． 考点4：单项式×多项式的实际应用 典例4：如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个木制的长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 【变式3】如图，四边形和都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为 ．（结果要求化简） 考点5：多项式×多项式 典例5：计算： (1) (2) 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】  计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式3】计算：． 考点6：（x+p）（x+q）的运算 典例6：若，则a、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 【变式2】  如果，则的值为 ． 【变式3】若且，则 ． 考点7：多项式×多项式的实际应用 典例7：如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ） A．纸盒的容积等于 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【变式1】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 【变式2】  为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长、宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 ． 【变式3】10月1日，太原五一广场举行庄严的升国旗仪式．如图是一块长为，宽为的长方形地块，在其中心是一个边长为的正方形升旗台，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的代数式表示） 考点8：单项式÷单项式 典例8：下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】  计算 ． 【变式3】计算： ． 考点9：多项式÷单项式 典例9：计算： (1)； (2)． 【变式1】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【变式2】  计算： (1) (2) 【变式3】计算． (1)； (2)． 考点10：整式乘除应用——求字母、代数式 典例10：已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【变式1】已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【变式2】  已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【变式3】已知，则代数式的值为 ． 考点11：整式乘除的应用——新定义 典例11：阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【变式1】探究应用：用“∪”、“∩”定义两种新运算：对于两数a、b，规定，，例如：． (1)求：的值 (2)求：的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【变式2】  如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【变式3】我们知道，若，则；同样的道理，若 ，则 这样我们定义一种新的运算，如果，则． (1)根据上述定义计算： ， ※ ； (2)若，，，试求a，b，c之间的等量关系； (3)若或，则m还可以表示为 ． 考点12：整式乘除的应用——几何图形 典例12：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【变式1】阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【变式2】  对于一个几何拼接图形，通过不同的方法计算它的面积，可以解释一些数学等式．如图1，先单个计算阅览室（正方形）、卫生间P（正方形）和图书室（长方形）的面积，然后整体计算面积，可以得到数学等式：．    (1)观察图2，填空__________； (2)因式分解：，图3表示面积为的几何拼接图，请你补充完整（涂上阴影）； (3)学校准备利用现有教学楼墙重建图书馆，重建资金额定（即墙厚度和总长度为定值）．图4是图书馆地面一层的平面设计图，由1个长方形阅览室和2个正方形图书室组成，各开了一个1米宽的门相通．若计算面积时不考虑墙体厚度，用总长67米的墙重建长方形图书馆的地面一层．问重建后，图书馆地面一层最大面积是多少平方米？ 【变式3】阅读材料；杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)计算与猜想： ①计算： ②猜想：的展开式中含项的系数是______． (3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过天是星期______． 考点13：整式乘除的应用——化简求值 典例13：先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式1】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式2】  计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中，． 【变式3】先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 考点14：整式乘除的应用——不含某项 典例14：若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【变式1】小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【变式2】  若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【变式3】若的积中不含项与项， (1)求、的值； (2)求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$