第16讲 概率-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

因为x =x1 =x2 袁故 s12= 18 渊x22+x32+噎+x92冤-x 2袁s22= 12 渊x12+x102冤- x 2袁S2= 110 渊x12+x22+噎+x102冤-x 2. 故 x22+x32+噎+x92=8s12+8x 2袁 x12+x102=2s22+2x 2袁故 S2= 110窑渊8s12+8x 2+2s22+2x 2冤-x 2= 45 s12+ 15 s22袁D正确. 三尧填空题 16. 18 83.5揖解析铱样本数据从小到大排列为院72袁74袁77袁79袁 80袁82袁85袁90袁共 8 个袁极差为 90-72=18袁因为 8伊75%=6袁 所以这组数据的第 75百分位数为 82+852 =83.5. 17. 265 揖解析铱 15 伊渊1垣2垣m垣6垣7冤越4袁解得 m越4袁所以这组数的 方差为 s2越 15 咱渊1原4冤2垣渊2原4冤2垣渊4原4冤2垣渊6原4冤2垣渊7原4冤2暂越 265 . 18. 8揖解析铱设高一学生人数为 x袁则高三学生人数为 2x袁高二 学生人数为 x+300袁所以 x+2x+x+300=3 500袁可得 x=800袁 高一尧高二尧高三学生人数分别为 800袁1 100袁1 600袁所占比 例为 8颐11颐16袁则应抽取的高一学生人数为 35伊 88+11+16 =8. 19. 0.030 3揖解析铱由渊0.005垣0.010垣0.020垣a垣0.035冤伊10越1袁 得 a越0.030. 因为三组内学生数的频率分别为 0.3袁0.2袁0.1袁 所以三组内学生的人数分别为 30袁20袁10. 因此从咱140袁150暂 内选取的人数为 1060 伊18越3. 四尧解答题 20. 渊1冤频率分布直方图如下图院 渊2冤该家庭使用节水龙头后袁日用水量小于 0.35 m3的概率 为 p=渊0.2+1.0+2.6+1.0冤伊0.1=0.48. 渊3冤未使用水龙头 50天的日均水量为院 150 渊1伊0.05+3伊0.15+ 2伊0.25+4伊0.35+9伊0.45+26伊0.55+5伊0.65冤=0.48袁使用节水龙 头 50天的日均用水量为院 150 渊1伊0.05+5伊0.15+13伊0.25+ 10伊0.35+16伊0.45+5伊0.55冤=0.35袁所以估计该家庭使用节 水龙头后袁一年能节省院365伊渊0.48-0.35冤=47.45渊m3冤. 21. 渊1冤设事件 A 为恰好选到一级果和二级果各一箱袁样本空 间的样本点的个数 n=C 2136= 136伊1352 =9 180袁A 事件的样本 点的个数 m=C1102C134=3 468袁所以 P渊A冤=mn = 1745 . 渊2冤因为一级果箱数颐二级果箱数=3颐1袁所以 8箱水果应从 一级果抽取 6箱袁二级果抽取 2箱. 渊3冤设总体样本平均质量为z 袁方差为 S2袁z = 120120+48 伊303.45+ 48120+48 伊240.41抑285.44克袁S2= 120120+48 伊咱603.46+渊303.45- 285.44冤2暂+ 48120+48 伊咱648.21+渊240.41-285.44冤2暂=1 427.27. 预估平均质量为 102136 伊303.45+ 34136 伊240.41=287.69渊克冤. 22. 渊1冤根据表中数据袁计算 zi=xi-yi渊i=1袁2袁3袁噎袁10冤袁填表如下院 z = 110 移 10 i=1 z i=11袁s2= 110 移渊 10 i=1 zi-z 冤2=61. 渊2冤由渊1冤知袁z =11袁2 s210姨 =2 6.1姨 <2 6.25姨 =5袁所以z 逸 2 s210姨 袁认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工 艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 第 16讲 概 率 一尧单项选择题 1. A揖解析铱当甲尧乙两人中至少一个能破译密码袁则密码被成 功破译袁所以表示野密码被成功破译冶的事件为 A胰B. 2. A揖解析铱根据频率的定义可知袁正面向上的频率为 0.48袁反 面向上的频率为 0.52袁A正确袁C错误曰正面向上尧反面向上 的概率均为 0.5袁B尧D错误. 3. D揖解析铱在 2袁3袁5袁6 中任选 2 个不同数字袁基本事件总数 n=C24=6袁其乘积能被 3 整除的基本事件有 5 个袁分别为院 渊2袁3冤袁渊2袁6冤袁渊3袁5冤袁渊3袁6冤袁渊5袁6冤袁概率为 56 . 4. B揖解析铱数字 0和 1都出现即为事件 M发生袁概率为 618 = 13 . 5. B揖解析铱由题可知共有 6伊6=36个样本点袁其中两次点数之 和等于 7的有渊1袁6冤袁渊6袁1冤袁渊2袁5冤袁渊5袁2冤袁渊3袁4冤袁渊4袁3冤袁共 6个袁点数和等于其余数字的都少于 6个袁故 Pi的最大值为 P7越 636 越 16 . 6. A揖解析铱野甲站排头冶与野乙站排头冶不能同时发生袁为互斥 事件. 7. B揖解析铱所求概率 P越 23 伊 14 垣 13 伊 34 越 512 . 8. C揖解析铱因为 P渊A冤+P渊B冤=1- 14 = 34 袁P渊A冤=3P渊B冤袁所以 P渊A冤= 916 袁P渊B冤= 316 袁所以 P渊A 冤=1-P渊A冤= 716 . 9. D揖解析铱P渊A疑B冤=P渊A冤+P渊B冤-P渊A胰B冤= 13 + 34 - 56 = 14 . 10. D揖解析铱频率与实验次数有关袁且在概率的附近波动袁A错 误曰骰子掷 6次出现 3点的次数不确定袁B错误曰若事件A袁 B不互斥袁但恰好 P渊A冤=0.5袁P渊B冤=0.5袁满足 P渊A冤+P渊B冤= 1袁但 A 与 B不是对立事件袁C错误曰由条件可知事件 A 与 B相互独立袁从而事件A 与 B相互独立袁D正确. 11. B揖解析铱事件 A 和事件 B可以同时发生袁即选中第四个礼 盒袁事件 A 与事件 B不互斥袁A错误曰因为 P渊A冤= 12 袁P渊B冤= 12 袁P渊AB冤= 14 袁所以 P渊A冤窑P渊B冤=P渊AB冤袁B正确曰事件 A 日用水量/m3 0.60.50.40.30.20.10 3.43.23.02.82.62.42.22.01.81.61.41.21.00.80.60.40.2 频率 组距 试验 序号 i zi=xi-yi 伸缩 率 xi 伸缩 率 yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 220 与事件 B胰C可以同时发生袁即选中第四个礼盒袁C错误曰 因为 P渊A冤= 12 袁P渊B疑C冤= 14 袁P渊A疑渊B疑C冤冤= 14 袁所以 P渊A冤P渊B疑C冤屹P渊A疑渊B疑C冤冤袁所以 A 与 B疑C不独立袁D 错误. 12. B揖解析铱甲后 4局的比赛输赢情况只能为野输赢赢赢冶或 野赢输赢赢冶袁故 P= 12 伊 35 伊 12 伊 12 + 12 伊 12 伊 35 伊 12 = 320 . 二尧多项选择题 13. BD揖解析铱野至少有 1件次品冶与野至多有 1件正品冶袁两事件 相等袁A错误曰野至少有 1件次品冶包含着野1件正品 1件次 品冶野2件次品冶袁与野2件都是正品冶是对立事件袁B正确曰野至 少有 1件次品冶与野至少有 1件正品冶都包含着野1件正品袁1 件次品冶袁不是互斥事件袁C错误曰野恰有 1件次品冶与野恰有 2件正品冶是互斥而不对立事件袁D正确. 14. ABD揖解析铱P渊A冤=P渊B冤=P渊C冤= 12 袁P渊AB冤=P渊AC冤=P渊BC冤= 14 袁P渊ABC冤= 14 袁故 P渊AB冤=P渊A冤P渊B冤袁P渊AC冤=P渊A冤P渊C冤袁 P渊BC冤=P渊B冤P渊C冤袁P渊ABC冤屹P渊A冤P渊B冤P渊C冤. 15. BC揖解析铱连续两次抛掷同一颗骰子袁共有 6伊6=36种情况袁 其中 p >q 的情况有院渊2袁1冤袁渊3袁1冤袁渊3袁2冤袁渊4袁1冤袁渊4袁2冤袁 渊4袁3冤袁渊5袁1冤袁渊5袁2冤袁渊5袁3冤袁渊5袁4冤袁渊6袁1冤袁渊6袁2冤袁渊6袁3冤袁 渊6袁4冤袁渊6袁5冤袁共有 15种情况袁故 P渊p>q冤= 1536 = 512 袁A错 误曰p+q=7的情况有渊1袁6冤袁渊2袁5冤袁渊3袁4冤袁渊4袁3冤袁渊5袁2冤袁渊6袁1冤袁 共有 6种情况袁故 P渊p+q=7冤= 636 = 16 袁B正确曰A=3包含 pq = 31 袁 62 袁即渊3袁1冤袁渊6袁2冤两种袁与 p +q =7 的 6 种情况均不 同袁所以事件 p+q=7与 A =3不会同时发生袁两事件互斥袁C 正确曰q=1袁 所有可能情况为院渊1袁1冤袁渊2袁1冤袁渊3袁1冤袁渊4袁1冤袁 渊5袁1冤袁渊6袁1冤袁A=0包含的情况有渊1袁2冤袁渊1袁3冤袁渊1袁4冤袁渊1袁5冤袁 渊1袁6冤袁渊2袁3冤袁渊2袁4冤袁渊2袁5冤袁渊2袁6冤袁渊3袁4冤袁渊3袁5冤袁渊3袁6冤袁 渊4袁5冤袁渊4袁6冤袁渊5袁6冤袁其余情况既不在事件 q=1中袁也不在 A =0 中袁比如渊4袁2冤袁所以 q=0 与 A =0 互斥袁但不对立袁D 错误. 三尧填空题 16. A 与 B袁A 与 C袁C与 B袁B与 D B与 D揖解析铱事件野两次 都击中飞机冶发生袁则 A 与 D都发生曰事件野恰有一次击中 飞机冶发生袁则 C与 D都发生. A 与 B袁A 与 C袁B与 C袁B与 D都不可能同时发生袁B与 D中必有一个发生. 17. 1揖解析铱事件 A袁B袁C之间是互斥的袁且又是一枚硬币连掷 三次的所有结果袁所以 P渊A冤垣P渊B冤垣P渊C冤越1. 18. 1720 揖解析铱A 题库占比为 512 袁B题库占比为 13 袁C题库占 比为 14 袁故 P= 512 伊0.92+ 13 伊0.86+ 14 伊0.72= 1720 . 19. 881 揖解析铱甲队胜两场且乙队胜一场袁可分为甲胜乙丙袁且 甲平或负丁曰甲胜乙丁袁平或负丙曰甲胜丙丁三种情况分 析袁渊i冤甲胜乙丙袁且甲平或负丁院淤乙胜丙袁且乙平或负丁袁 概率为 13 伊 13 伊 23 伊 13 伊 23 = 435 曰于乙胜丁袁且乙平或负丙袁 同淤袁概率为 435 . 因此袁渊i冤概率为 835 . 渊ii冤甲胜乙丁袁平或 负丙袁同渊i冤袁概率为 835 . 渊iii冤甲胜丙丁院淤甲平乙袁乙胜丙袁 且乙平或负丁袁此时概率为 13 伊 13 伊 13 伊 13 伊 23 = 235 曰于甲 平乙袁乙胜丁袁且乙平或负丙袁同淤袁概率为 235 曰盂甲负乙袁 乙平或负丙尧丁袁此时概率为 13 伊 13 伊 13 伊 23 伊 23 = 435 袁因 此袁渊iii冤概率为 235 + 235 + 435 = 835 . 综上袁甲胜两场且乙胜 一场的概率为 835 + 835 + 835 = 881 . 四尧解答题 20. 渊1冤分两种情况袁第一种是 B回答正确袁概率为 34 曰第二种 是 B回答错误袁且 C两道问题均回答正确袁概率为 14 伊 23 伊 23 = 436 袁所以取得复赛资格的概率为 34 + 436 = 3136 . 渊2冤根据 C 的不同位置分为三种情况院ABC渊BAC冤袁ACB 渊BCA冤袁CAB渊CBA冤. 若按照 ABC渊BAC冤顺序回答袁则取得 复赛资格的概率为 34 伊 34 + 14 伊 23 伊 23蓸 蔀= 3148 曰若按照 ACB 渊BCA冤顺序回答袁则取得复赛资格的概率为 34 伊 23 + 13 伊 34 伊 34蓸 蔀= 4164 曰若按照 CAB渊CBA冤顺序回答袁则取 得复赛资格的概率为 23 伊 34 + 14 伊 34 伊 34蓸 蔀= 1932 袁因为 3148 > 4164 > 1932 袁故按 ABC渊BAC冤顺序回答问题取得复赛资格的 概率最大. 21. 将 5张奖券编号为 1袁2袁3袁4袁5袁其中 4袁5为中奖奖券袁用 渊x袁y冤表示甲抽到号码 x袁乙抽到号码 y袁则可能的结果为 渊1袁2冤袁渊1袁3冤袁渊1袁4冤袁渊1袁5冤袁渊2袁1冤袁渊2袁3冤袁渊2袁4冤袁渊2袁5冤袁 渊3袁1冤袁渊3袁2冤袁渊3袁4冤袁渊3袁5冤袁渊4袁1冤袁渊4袁2冤袁渊4袁3冤袁渊4袁5冤袁 渊5袁1冤袁渊5袁2冤袁渊5袁3冤袁渊5袁4冤袁共 20种. 渊1冤甲中奖包含 8个样本点袁所以 P渊A冤越 820 越 25 . 渊2冤甲尧乙都中奖包含 2个样本点袁所以 P渊B冤越 220 越 110 . 渊3冤只有乙中奖包含 6个样本点袁所以 P渊C冤越 620 越 310 . 渊4冤乙中奖包含 8个样本点袁所以 P渊D冤越 820 越 25 . 22. 渊1冤记野射击一次袁命中 9环或 10环冶为事件 A袁由互斥事件 的加法公式得 P渊A冤=0.32+0.28=0.60. 渊2冤设野射击一次袁至少命中 8环冶的事件为 B袁由互斥事件 概率的加法公式得 P渊B冤=0.18+0.28+0.32=0.78. 渊3冤由于事件野射击一次袁命中不足 8环冶是事件 B的对立 事件袁即B表示事件野射击一次袁命中不足 8环冶袁根据对立 事件的概率公式得 P渊B 冤=1-P渊B冤=1-0.78=0.22. 221 第 16讲 概 率 一尧单项选择题 1. 甲尧乙两人独立地破译一份密码袁设事件 A =野甲成功破译冶袁事件 B=野乙成功破译冶袁则表示野密 码被成功破译冶的事件为 渊 冤 A. A胰B B. A疑B C. A 胰B D. A 疑B 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币 100次袁正面向上的次数为 48次袁则在本次试验中袁下列说法正确 的是 渊 冤 A. 正面向上的频率为 0.48 B. 正面向上的概率为 0.48 C. 反面向上的频率为 0.48 D. 反面向上的概率为 0.48 3. 在 2袁3袁5袁6中任选 2个不同数字袁其乘积能被 3整除的概率为 渊 冤 A. 16 B. 17 C. 13 D. 56 4. 一个袋子中有红尧黄尧蓝尧绿四个小球袁有放回地从中任取一个小球袁将野三次抽取后袁红色小 球尧黄色小球都取到冶记为事件 M袁用随机模拟的方法估计事件 M发生的概率. 利用电脑随机 产生整数 0袁1袁2袁3四个随机数袁分别代表红尧黄尧蓝尧绿四个小球袁以每三个随机数为一组袁表 示取小球三次的结果袁经随机模拟产生了以下 18组随机数院 由此可以估计事件 M发生的概率为 渊 冤 A. 29 B. 13 C. 518 D. 23 5. 一个骰子连续投 2次袁点数和为 i渊i越2袁3袁噎袁12冤的概率记作 Pi袁则 Pi的最大值是 渊 冤 A. 112 B. 16 C. 14 D. 13 6. 甲尧乙等若干个人站成一排袁其中为互斥事件的是 渊 冤 A. 野甲站排头冶与野乙站排头冶 B. 野甲站排头冶与野乙不站排尾冶 C. 野甲站排头冶与野乙站排尾冶 D. 野甲不站排头冶与野乙不站排尾冶 7. 两个实习生每人加工一个零件袁加工为一等品的概率分别为 23 和 34 袁两个零件是否加工为一 等品相互独立袁则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 渊 冤 A. 12 B. 512 C. 14 D. 16 8. 已知事件 A袁B互斥袁A袁B都不发生的概率为 14 袁且 P渊A冤=3P渊B冤袁则 P渊A 冤= 渊 冤 A. 13 B. 23 C. 716 D. 916 9. 已知随机事件 A袁B满足 P渊A冤= 13 袁P渊B冤= 34 袁P渊A胰B冤= 56 袁则 P渊A疑B冤= 渊 冤 A. 116 B. 18 C. 316 D. 14 231 130 233 110 321 001 031 123 021 132 220 320 122 103133 230 023 231 121 10. 下列命题正确的是 渊 冤 A. 事件 A 发生的概率 P渊A冤等于事件 A 发生的频率 fn渊A冤 B. 一个质地均匀的骰子掷一次得到 3点的概率是 16 袁说明这个骰子掷 6次一定会出现一次 3点 C. 若事件 A袁B满足 P渊A冤+P渊B冤=1袁则事件 A 与 B是对立事件 D. 若两个事件 A袁B满足 P渊A B 冤=P渊A冤咱1-P渊B冤暂袁则事件A 与 B相互独立 11. 有四种礼盒袁前三种里面分别仅装有中国结尧记事本尧笔袋袁第四个礼盒里面三种礼品都有袁 现从中任选一个盒子袁设事件 A院所选盒中有中国结袁事件 B院所选盒中有记事本袁事件 C院所 选盒中有笔袋袁则 渊 冤 A. 事件 A 与事件 B互斥 B. 事件 A 与事件 B相互独立 C. 事件 A 与事件 B胰C互斥 D. 事件 A 与事件 B疑C相互独立 12. 国际羽毛球比赛规则从 2006年 5月开始袁正式决定实行 21分的比赛规则和每球得分制袁并 且每次得分者在下一回合发球袁每局获胜分至少是 21分袁最高不超过 30分袁即先到 21分的 一方赢得该局比赛袁如果双方比分为 20颐20时袁一方需超过对方 2分才算取胜袁直至双方比分 打成 29颐29时袁那么先到 30分的一方获胜. 甲乙两人按此规则进行比赛袁已知在一局比赛 中袁甲发球赢球的概率为 12 袁甲接发球赢球的概率为 35 袁且甲每次发球尧接发球的结果相互 独立袁则在比分为 20颐20袁且甲发球的情况下袁甲以 23颐21赢下比赛的概率为 渊 冤 A. 18 B. 320 C. 950 D. 720 二尧多项选择题 13. 现有 5件产品袁其中 3件正品袁2件次品袁从中任取 2件袁则互斥的两个事件是 渊 冤 A. 至少有 1件次品与至多有 1件正品 B. 至少有 1件次品与都是正品 C. 至少有 1件次品与至少有 1件正品 D. 恰有 1件次品与恰有 2件正品 14. 设样本空间 赘={a袁b袁c袁d}含有等可能的样本点袁且 A ={a袁b}袁B={a袁c}袁C={a袁d}. 则下列结论正 确的有 渊 冤 A. P渊AB冤=P渊A冤P渊B冤 B. P渊AC冤=P渊A冤P渊C冤 C. P渊ABC冤=P渊A冤P渊B冤P渊C冤 D. P渊BC冤=P渊B冤P渊C冤 15. 连续两次抛掷同一颗骰子袁记第一次向上的点数为 p袁第二次向上的点数为 q袁设 A= pq嗓 瑟 袁其 中{x}表示不超过 x的最大整数袁则 渊 冤 A. P渊p>q冤= 12 B. P渊p+q=7冤= 16 C. 事件 p+q=7与 A=3互斥 D. 事件 q=1与 A=0相互对立 三尧填空题 16. 对飞机连续射击两次袁每次发射一枚炮弹袁设 A越{两次都击中飞机}袁B越{两次都没有击中飞 机}袁C越{恰有一次击中飞机}袁D越{至少有一次击中飞机}. 其中彼此互斥的事件是 袁互为对立事件的是 . 17. 一枚硬币连掷三次袁事件 A 为野三次反面向上冶袁事件 B为野恰有一次正面向上冶袁事件 C为野至 少两次正面向上冶袁则 P渊A冤垣P渊B冤垣P渊C冤越 . 122 18. 某校举办科学竞技比赛袁有 A袁B袁C 3种题库袁A 题库有 5 000道题袁B题库有 4 000道题袁C 题库有 3 000道题. 小申已完成所有题袁他 A 题库的正确率是 0.92袁B题库的正确率是 0.86袁 C题库的正确率是 0.72. 现他从所有的题中随机选一题袁正确率是 . 19. 在 2024年欧洲杯某小组赛中袁共有甲尧乙尧丙尧丁四支队伍进行单循环比赛袁即每两支队伍在 比赛中都要相遇且仅相遇一次袁最后按各队的积分排列名次渊积分多者名次靠前袁积分同者 名次并列冤袁积分规则为每队胜一场得 3分袁平一场得 1分袁负一场得 0分. 若每场比赛中两 队胜尧平尧负的概率都为 13 袁则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 . 四尧解答题 20. 某电视台举办野读经典冶知识挑战赛. 初赛环节袁每位选手先从 A袁B袁C三类问题中选择一类袁 该类题库随机提出一个问题袁该选手若回答错误则被淘汰袁若回答正确则需从余下两类问题 中选择一类继续回答. 再次选择的一类题库随机提出一个问题袁该选手若回答正确则取得复 赛资格袁本轮比赛结束袁否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题袁两个问 题均回答正确该选手才可取得复赛资格袁否则被淘汰. 已知选手甲能正确回答 A袁B两类问 题的概率均为 34 袁能正确回答 C类问题的概率为 23 袁每题是否回答正确与回答顺序无关袁且 各题回答正确与否相互独立. 渊1冤已知选手甲先选择 A 类问题且回答正确袁接下来他按照 B袁C的顺序对各类问题继续回答袁 求他能取得复赛资格的概率. 渊2冤由于选手甲能正确回答 A袁B两类问题的概率均为 34 袁故可将回答顺序 ABC和顺序 BAC视 为同一个顺序. 为使取得复赛资格的概率最大袁选手甲应如何选择各类问题的回答顺序钥 请说明理由. 123 21. 若 5张奖券中有 2张是中奖的袁先由甲抽 1张袁然后由乙抽 1张袁求院 渊1冤甲中奖的概率 P渊A冤. 渊2冤甲尧乙都中奖的概率 P渊B冤. 渊3冤只有乙中奖的概率 P渊C冤. 渊4冤乙中奖的概率 P渊D冤. 22. 为了备战第 33届夏季奥林匹克运动会渊2024年法国巴黎奥运会冤袁中国奥运健儿刻苦训练袁 成绩稳步提升. 射击队的某一选手射击一次袁其命中环数的概率如表院 求该选手射击一次院 渊1冤命中 9环或 10环的概率. 渊2冤至少命中 8环的概率. 渊3冤命中不足 8环的概率. 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 命中环数 10环 9环 8环 7环 124