第14讲 空间距离和空间角-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

第 14讲 空间距离和空间角 一尧单项选择题 1. 在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中袁E为棱 CC1的中点袁则异面直线 AE与 CD 所成角的正切值为 渊 冤 A. 2姨2 B. 3姨2 C. 5姨2 D. 7姨2 2. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1袁则侧棱与底面所成的角为 渊 冤 A. 75毅 B. 60毅 C. 45毅 D. 30毅 3. 已知正三棱台 ABC-A 1B1C1的体积为 523 袁AB=6袁A 1B1=2袁则 A 1A 与平面 ABC所成角的正切值 为 渊 冤 A. 12 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若正四棱柱 粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员的底面边长为 1袁蚁月员A B越60毅袁则 粤 员悦员到平面 ABCD 的距离为 渊 冤 A. 3姨猿 B. 1 C. 2姨 D. 3姨 5. 在三棱锥 P-ABC中袁PA =PB=PC袁蚁BA C=90毅袁A B=AC袁则下列异面直线 所成角最大的是 渊 冤 A援 PA 与 BC B援 PB与 A C C援 PC与 AB D援 无法确定 6. 在正方体 粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中袁截面 粤 员BD 与底面 A BCD 所成的二面角 粤 员原BD原粤 的正切值等于 渊 冤 A. 3姨猿 B. 圆姨2 C. 圆姨 D. 3姨 7. 如图袁在四棱锥 P-ABCD中袁底面 ABCD是边长为 4的正方形袁PA = PB=4袁PC=PD=2 2姨 袁该棱锥的高为 渊 冤 A. 1 B. 2 C. 2姨 D. 3姨 8. 已知吟ABC为等腰直角三角形袁AB为斜边袁吟ABD为等边三角形袁若二面角 C-AB-D为 150毅袁 则直线 CD与平面 ABC所成角的正切值为 渊 冤 A. 15 B. 2姨5 C. 3姨5 D. 25 9. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器袁利用与晷面垂直的晷针投射到 晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球渊球心记为 O冤袁地球上一 点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角袁点 A 处的水平面是 指过点 A 且与 OA 垂直的平面袁在点 A 处放置一个日晷袁若晷面与赤 道所在平面平行袁点 A 处的纬度为北纬 40毅袁则晷针与点 A 处的水平 面所成角为 渊 冤 A. 20毅 B. 40毅 C. 50毅 D. 90毅 10. 在棱长为 10 的正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中袁P为左侧面 ADD1A 1 上一 点袁已知点 P到 A 1D1的距离为 3袁P到 AA 1的距离为 2袁则过点 P且与 A 1C平行的直线交正方体于 P袁Q两点袁则点 Q所在的平面是 渊 冤 A. A A 1B1B B. BB1C1C C. CC1D1D D. ABCD CB A P BA C C1 B1 D A 1 D1 P C P A B D 113 11. 酝袁晕 分别为菱形 粤月悦阅 的边 月悦袁悦阅 的中点袁将 菱形沿对角线 粤悦折起袁使点 阅不在平面粤月悦内袁 则在翻折过程中袁下列说法正确的是 渊 冤 淤酝晕椅平面 粤月阅 于异面直线 粤悦与 酝晕所成的角为定值 盂在二面角 阅原粤悦原月逐渐变小的过程中袁三棱锥 阅原粤月悦外接球的半径先变小后变大 榆若存在某个位置袁使得直线 粤阅与直线 月悦垂直袁则蚁粤月悦的取值范围是 园袁仔2蓸 蔀 A. 淤于 B. 淤于榆 C. 淤榆 D. 淤于盂榆 12. 如图袁已知正三棱柱 ABC-A 1B1C1袁AC=AA 1袁E袁F分别是棱 BC袁A 1C1上的 点. 记 EF与 AA 1所成的角为 琢袁EF与平面 ABC所成的角为 茁袁二面角 F- BC-A 的平面角为 酌袁则 渊 冤 A. 琢臆茁臆酌 B. 茁臆琢臆酌 C. 茁臆酌臆琢 D. 琢臆酌臆茁 二尧多项选择题 13. 叶九章算术窑商功曳院野斜解立方袁得两堑堵. 斜解堑堵袁其一为阳马袁一为鳖 臑. 冶其中袁阳马是底面为矩形袁且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥 . 如 图袁在阳马 杂原粤月悦阅中袁底面是边长为 1的正方形袁杂粤越 2姨 袁侧棱 杂粤 垂 直于底面 粤月悦阅袁则 渊 冤 A. 直线 杂悦与 粤月所成的角为 远园毅 B. 直线 杂悦与 月阅所成的角为 远园毅 C. 直线 杂悦与平面 粤月悦阅所成的角为 猿园毅 D. 直线 杂悦与平面 杂粤月所成的角为 猿园毅 14. 已知正方体 A BCD-A 1B1C1D1袁则 渊 冤A. 直线 BC1与 DA 1所成的角为 90毅 B. 直线 BC1与 CA 1所成的角为 90毅C. 直线 BC1与平面 BB1D1D所成的角为 45毅 D. 直线 BC1与平面 ABCD所成的角为 45毅15. 如图袁等边三角形 A BC的边长为 1袁BC边上的高为 AD袁沿 A D把三角形 A BC折起袁则 渊 冤 A. 在折起的过程中始终有 AD彝平面 DB忆C B. 三棱锥 A原DB忆C的体积的最大值为 3姨源愿 C. 当蚁B忆DC越60毅时袁点 A 到 B忆C的距离为 员缘姨2 D. 当蚁B忆DC越90毅时袁点 C到平面 ADB忆的距离为 员2 三尧填空题 16. 叶九章算术曳中袁将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑渊n伽o冤. 如图袁在鳖臑 A -BCD 中袁AB彝平面 BCD袁AB=CD=1袁BC= 2姨 袁BD= 3姨 袁则二面角 D-AB-C的余弦值为 . 17. 在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中袁A B=1袁BC=2袁AA 1=5袁则 A 1C 与平面 A BCD 所成角的正切值 为 . 18. 如图袁空间四边形 A BCD 的对角线 AC越8袁BD越6袁M袁N 分别为 AB袁CD 的中点袁并且异面直 线 AC与 BD所成的角为 90毅袁则 MN越 . CB DA S B忆 CD B A A B MC N D A B C D MN F C1A 1 B1 CA B E C N B D M A 第 18题图第 16题图 C A B D 第 17题图 C1 A 1 B1 D1 C A B D 114 19. 已知二面角 琢原l原茁的大小为 60毅袁动点 P袁Q分别在平面 琢袁茁内袁P到 茁的距离为 3姨 袁Q到 琢 的距离为 2 3姨 袁则 P袁Q两点之间距离的最小值为 袁此时直线 PQ与平面 琢所 成的角为 . 四尧解答题 20. 在三棱锥 P-A BC中袁A C彝CB袁AB彝BP袁CB=CP=CA袁BP= 12 AP. 点 C在平面 PAB上的射影 D 恰好在 PA 上. 渊1冤若 E为线段 BP的中点袁求证院BP彝平面 CDE. 渊2冤求二面角 C-AB-P的余弦值. 21. 如图袁在四棱锥 P原A BCD中袁A D彝平面 PDC袁A D椅BC袁PD彝PB袁AD越1袁BC越3袁CD越4袁PD越2. 渊1冤求异面直线 A P与 BC所成角的余弦值. 渊2冤求证院PD彝平面 PBC. 渊3冤求直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值. B A D C P C PA B 115 22. 如图袁在四面体 A BCD 中袁吟ABC 是正三角形袁吟ACD 是直角三角形袁蚁A BD=蚁CBD袁并且 A B=BD=2袁点 E在棱 BD上. 渊1冤求证院平面 A CD彝平面 ABC. 渊2冤若二面角 D-AC-E的正切值为 4 3姨 袁求 DEDB 的值. 渊3冤点 M袁N分别是线段 A B袁BC上的动点袁求吟DMN周长的最小值. C A B E D 116 14. BCD揖解析铱AF彝DE袁设 AF 与 DE 的交点为 M袁若平面 PDE彝 平面 ABC袁根据面面垂直的性质 定理袁必有 AF彝平面 PDE袁此时 AM彝PM袁又因为 M 是 AF的中 点袁则 PA =PF袁显然不成立袁A错 误曰AF彝BC袁PF彝BC袁AF疑PF= F袁故 BC彝平面 PAF袁而 BC奂平 面 ABC袁所以平面 PAF彝平面 ABC袁B 正确曰EF椅AB袁 EF奂平面 PEF袁AB埭平面 PEF袁所以 AB椅平面 PEF袁C正 确曰作 PN彝平面 ABC袁垂足为 N袁则 N为正三角形 ABC的 重心袁所以 AN=3袁PN=4袁设三棱锥 P-ABC的外接球球心为 O袁半径为 R袁则 O在 PN上袁连接 AO袁在吟AON中袁R2=渊4- R冤2+32袁解得 R= 258 袁因此其外接球表面积为 4仔R2= 625仔16 袁 D正确. 15. BC揖解析铱设 CF=x渊0<x<1冤袁则 DF=2-x袁因为 DK彝AB袁平 面 ABD彝平面 ABCF袁平面 ABD疑平面 ABCF=AB袁DK奂平 面 ABD袁所以 DK彝平面 ABCF袁所以 DK彝KF袁DK2=1-t2袁 KF2=1+渊2-t-x冤2袁因为 DF2=DK2+KF2袁所以渊2-x冤2=1-t2+1+ 渊2-t-x冤2袁整理得 t= 12-x 袁在 x沂渊0袁1冤上单调递增袁所以 12 <t<1. 三尧填空题 16. 2姨 揖解析铱因为 EF椅平面 AB1C袁EF奂平面 AC袁平面 AB1C疑平面 AC=AC袁所以 EF椅AC袁又点 E为 AD的中点袁 点 F在 CD上袁所以点 F是 CD的中点袁所以 EF= 12 AC= 2姨 . 17. BM彝PC渊或 DM彝PC冤 PM=MC 揖解析铱蚁PAB=蚁PAD=90毅袁AB=AD= BC =CD袁所以 PB =PD袁当 BM彝PC 时袁有 DM彝PC袁又 BM疑DM=M袁所以 PC彝平面 MBD袁又 PC奂平面 PCD袁 所以平面 MBD彝平面 PCD. 连接 AC袁BD 交于点 O袁则点 O 是 AC 的 中点袁当 M是 PC中点时袁PA椅OM袁因为 PA彝平面 ABCD袁 所以 OM彝平面 ABCD袁而 OM奂平面MBD袁所以平面MBD彝 平面 ABCD. 18. 淤盂揖解析铱因为 AB椅DE袁AB埭平面 DEF袁DE奂平面 DEF袁 所以 AB椅平面 DEF袁淤正确曰如图 1袁取正方体所在棱的中 点 G袁连接 FG 并延长袁交 AB 延长线于 H袁则 AB 与平面 DEF相交于点 H袁于错误曰因为 AB椅DF袁AB埭平面 DEF袁 DF奂平面 DEF袁所以直线 AB与平面 DEF平行袁盂正确曰如 图 2袁取底面中心 O袁连接 OD袁又 D为棱的中点袁所以 OD椅 AB袁又 OD与平面 DEF相交袁所以直线 AB与平面 DEF相 交袁榆错误. 19. 淤于揖解析铱易知四边形 ABCE为 矩形袁所以 AB越EC越DE袁又 AB椅 DE袁所以四边形 ABED 为平行四 边形袁所以 BE越AD袁折叠后如图所 示援 过点 M作 MP椅DE袁交 AE于 点 P袁连接 NP袁可知点 P为 AE的 中点袁故 NP椅EC援 又 MP疑NP越P袁 DE疑CE越E袁所以平面 MNP椅平面 DEC袁故 MN椅平面 DEC袁淤正确曰由已知袁AE彝ED袁AE彝 EC袁即有 AE彝平面 DEC袁所以 AE彝平面 MNP袁所以 MN彝 AE袁于正确曰假设 MN椅AB袁则 MN与 AB确定平面 MNBA袁 从而 BE奂平面 MNBA袁AD奂平面 MNBA袁与 BE和 AD是 异面直线矛盾袁盂错误曰当 EC彝ED 时袁EC彝AD援 因为 EC彝EA袁EC彝ED袁EA疑ED越E袁所以 EC彝平面 AED袁AD奂 平面 AED袁所以 EC彝AD袁榆错误援 四尧解答题 20. 证明院渊1冤因为 ABCD-A 1B1C1D1为正四棱柱袁所以 BB1椅DD1袁 且 BB1=DD1袁所以四边形 BB1D1D为平行四边形袁所以 BD椅 B1D1袁又 BD奂平面 A 1BD袁B1D1埭平面 A 1BD袁所以 B1D1椅平 面 A 1BD. 渊2冤因为底面 ABCD 为正方形袁所以 BD彝AC袁又 ABCD- A 1B1C1D1为正四棱柱袁所以 AA 1彝底面 ABCD袁又 BD奂底面 ABCD袁所以 BD彝AA 1袁又 AA 1袁AC奂平面 A 1ACC1袁A 1A疑AC= A袁所以 BD彝平面 A 1ACC1袁又 BD在平面 A 1BD内袁所以平 面 A 1ACC1彝平面 A 1BD.21. 渊1冤证明院因为吟PBC为等边三角形袁点 O为 BC的中点袁所 以 PO彝BC袁又平面 PBC彝平面 ABC袁平面 PBC疑平面 ABC=BC袁PO奂平面 PBC袁所以 PO彝平面 ABC袁又 AC奂平 面 ABC袁所以 PO彝AC袁又 AC彝PB袁PO疑PB=P袁PO袁PB奂平 面 PBC袁所以 AC彝平面 PBC. 渊2冤由渊1冤知袁PO彝BC袁又 EF彝BC袁 PO疑EF=E袁PO袁EF奂平面 EOF袁所以 BC彝平面 EOF袁又 OF奂平面 EOF袁所 以 OF彝BC袁 又 AC彝平面 PBC袁则 AC彝BC袁所以 AC椅OF袁由 O 为 BC 中点袁可得 F为 AB中点袁由 AF=姿AB袁 可得 姿= 12 . 22. 渊1冤证明院连接 OE袁OC袁OP袁PA =PB=4袁O 为 AB 的中点袁所 以 PO彝AB袁又平面 PAB彝平面 ABCD袁平面 PAB疑平面 ABCD=AB袁PO奂平面 PAB袁所以 OP彝平面 ABCD袁CE奂平 面 ABCD袁所以 OP彝CE袁因为 OE2=OA 2+AE2=12+12=2袁OC2= OB2+BC2=12+32=10袁CE2=DE2+CD2=22+22=8袁所以 OE2+CE2= OC2袁所以 OE彝CE袁又 OE疑OP=O袁所以 CE彝平面 POE袁又 PE奂平面 POE袁所以 CE彝PE. 渊2冤存在袁F为线段 PB 上靠近点 B的三等分点. 证明院取 BC的三 等分点 M渊靠近点 C冤袁连接 AM袁 易知 AE椅MC袁AE=MC袁所以四边 形 AECM 是平行四边形 袁所以 AM椅EC袁取 BM中点 N袁连接 ON袁 有 ON椅AM袁所以 ON椅EC袁又 ON埭平面 PEC袁EC奂平面 PEC袁则 ON椅平面 PEC袁因为 N 为 BM 中点袁所以 N 为 BC 的三等分点渊靠近点 B冤袁连接 OF袁NF袁所以 NF椅PC袁又 NF埭平面 PEC袁PC奂平面 PEC袁 则 NF椅平面 PEC袁又 ON疑NF=N袁ON奂平面 ONF袁NF奂平 面 ONF袁所以平面 ONF椅平面 PEC袁又 OF奂平面 ONF袁所 以 OF椅平面 PEC. 第 14讲 空间距离和空间角 一尧单项选择题 1. C揖解析铱因为 AB椅CD袁所以蚁BAE 是异面直线 AE 与 CD 所成角袁连接 BE袁设正方体 ABCD-A 1B1C1D1棱长为 2袁则 AB= 2袁BE= 22+12姨 = 5姨 袁因为 AB彝平面 BCE袁BE奂平面 BCE袁 所以 AB彝BE袁所以 tan蚁BAE= BEAB = 5姨2 . C F B N E M DO A P C D M A B P 韵 图 1 B A E D F H G 图 2 B A O D F E A P N M E D C B P A BF C E O D CE O BA P F MN 216 2. C揖解析铱如图袁正四棱锥 P-ABCD中袁 过 P作 PO彝平面 ABCD 于 O袁连接 AO袁则 AO是 AP在底面 ABCD上的射 影. 所以蚁PAO即为所求线面角袁因 为 AO= 2姨2 袁PA=1袁所以 cos蚁PAO= AO PA = 2姨2 . 所以蚁PAO=45毅袁即所求线面角为 45毅. 3. B揖解析铱设棱台的高为 h袁三条侧棱延 长后交于一点 O袁则由 AB=3A 1B1得院O 到上底面 A 1B1C1的距离为 12 h袁O到下 底面 ABC 的距离为 32 h袁A 1A 与平面 ABC所成角即为 OA 1与平面 A 1B1C1所 成角蚁OA 1O1袁 又 S吟ABC= 3姨4 伊62=9 3姨 袁S吟A1B1C1= 3姨4 伊 22= 3姨 袁所以 V= 13 渊9 3姨 + 3姨 + 9 3姨 窑 3姨姨 冤窑h= 523 袁 解得 h= 43姨 袁O1A 1= 23 伊 3姨2 伊2= 23姨 袁所以 A 1A 与平面 ABC所成角的正切值为 12 h2 3姨 = 3姨4 h=1. 4. D揖解析铱正四棱柱中袁四边形 ABB1A 1 为矩形袁AB越1袁又 蚁B1AB越60毅袁所以 BB1越 3姨 袁即 A 1C1到平面 ABCD的距离 为 3姨 . 5. A揖解析铱如图袁因为 PA =PB=PC袁所以顶 点 P在底面的射影为底面三角形的外 心袁设为 O袁因为蚁BAC=90毅袁AB=AC袁所 以 O为 BC的中点袁则 AO彝BC袁又 PO彝 BC袁可得 BC彝平面 PAO袁则 PA彝BC袁 所以 PA 与 BC 所成角为 90毅曰易得 PB 与 AC所成角和 PC与 AB 所成角均小 于 90毅援 6. C揖解析铱如图所示袁连接 AC 交 BD 于 O袁连接 A 1O袁蚁A 1OA 为二面角 A 1原BD原A 的平面角. 设 A 1A越a袁则 AO越 2姨2 a袁所 以 tan蚁A 1OA越 A 1AAO 越 2姨 . 7. D揖解析铱由题意知吟PAB为正三角 形袁因为 PC2+PD2=CD2袁所以 PC彝 PD袁分别取 AB袁CD的中点 E袁F袁连 接 PE袁EF袁PF袁则 PE=2 3姨 袁PF=2袁 EF=4袁则 PE2+PF 2=EF 2袁所以 PE彝 PF袁过点 P作 PG彝EF袁垂足为 G. 易知 CD彝PF袁CD彝EF袁 EF袁PF奂平面 PEF袁且 EF疑PF=F袁所以平面 CD彝平面 PEF. 又 PG奂平面 PEF袁所以 CD彝PG.又 PG彝EF袁CD袁EF奂平面 ABCD袁CD疑EF=F袁所以 PG彝平面 ABCD袁所以 PG 为四棱 锥 P-ABCD 的高袁因为 12 PE窑PF= 12 EF窑PG袁所以 PG = PE窑PF EF = 3姨 . 8. C揖解析铱如图 1袁取 AB 的中点 E袁连接 CE袁DE袁则易得 AB彝CE袁AB彝DE袁所以 二面角 C -AB -D 的平面角为蚁CED= 150毅袁因为 AB彝CE袁AB彝DE袁且 CE疑 DE=E袁所以 AB彝平面 CED袁又 AB奂平面 ABC袁所以平面 CED彝平面 ABC袁所以 CD 在平面 ABC 内 的射影为 CE袁所以直线 CD 与平面 ABC所成角为蚁DCE袁 过 D作 DH 垂直 CE所在直线袁垂足为点 H袁设等腰直角三 角形 ABC的斜边长为 2袁则易得 CE=1袁DE= 3姨 袁又蚁DEH= 30毅袁所以 DH= 3姨2 袁EH= 32 袁所以 CH=1+ 32 = 52 袁所以 tan蚁DCE= DHCH = 3姨5 . 9. B揖解析铱如图所示袁已O为赤道平面袁 已O1 为 A 点处的日晷的晷面所在 的平面袁由点 A 处的纬度为北纬 40毅 可知蚁OAO1越40毅袁又点 A 处的水平 面与 OA 垂直袁晷针 AC与已O1所在 的面垂直袁则晷针 AC与水平面所成 角为 40毅. 10. D揖解析铱如图袁由点 P到 A 1D1的距 离为 3袁P到 AA 1的距离为 2袁可得 P 在吟AA 1D 内袁过 P作 EF椅A 1D袁且 EF疑AA 1于 E袁EF疑AD于 F袁在平面 ABCD中袁过 F作 FG椅CD袁交 BC于 G袁则平面 EFG椅平面 A 1DC. 连接 AC袁交 FG 于 M袁连接 EM袁因为平面 EFG椅平面 A 1DC袁平面 AA 1C疑平面 A 1DC=A 1C袁平面 AA 1C疑 平面 EFM=EM袁所以 EM椅A 1C. 在吟EFM中袁过 P作 PQ椅 EM袁且 PQ疑FM于 Q袁则 PQ椅A 1C. 因为线段 FM在四边形 ABCD 内袁Q 在线段 FM 上袁 所以 Q 在四边形 ABCD 内袁 则点 Q所在的平面是平面 ABCD. 11. B揖解析铱易知 MN椅BD袁因为 MN埭平面 ABD袁BD奂平面 ABD袁所以 MN椅平面 ABD袁淤正确曰取 AC的中点 O袁连接 BO袁DO袁则 AC彝DO袁AC彝BO袁BO疑DO=O袁BO袁DO奂平面 BDO袁所以 AC彝平面 BDO袁AC彝BD袁因为 MN椅BD袁所以 AC彝MN袁于正确曰借助极限状态袁当平面 DAC与平面 ABC 重合时袁三棱锥 D-ABC的外接球以吟ABC外接圆圆心为 球心袁外接圆半径为球半径. 当二面角 D-AC-B逐渐变大 时袁球心离开平面 ABC袁但是球心在平面 ABC的射影仍为 吟ABC外接圆圆心袁故二面角 D-AC-B 逐渐变小的过程 中袁三棱锥 D-ABC外接球的半径不可能先变小后变大袁盂 错误曰过 A 作 AH彝BC袁垂足为 H. 若蚁ABC为锐角袁H 在 线段 BC上袁AD彝BC袁因为 AH彝BC袁所以 BC彝平面 AHD袁 由线面垂直的性质可知袁CB彝HD. 若蚁ABC为直角袁H 与 B 重合袁所以 CB彝BD袁在吟CBD 中袁因为 CB=CD袁所以 CB彝BD不可能成立曰若蚁ABC为钝角袁H 在线段 CB的延 长线上袁则在原平面图菱形 ABCD中袁蚁DCB为锐角袁由于 立体图中 DB<DO+OB袁所以立体图中蚁DCB一定小于平面 图中的蚁DCB袁故蚁DCB为锐角袁CB彝HD袁故点 H 在线段 BC上与 H在线段 CB的延长线上矛盾袁因此蚁ABC不可能 是钝角袁综上可知袁蚁ABC的取值范围是 0袁仔2蓸 蔀袁榆正确. 12. A揖解析铱因为正三棱柱 ABC-A 1B1C1 中袁AC=AA 1袁所以正 三棱柱的所有棱长相等袁设棱长为 1袁如图袁过 F作 FG彝AC袁 垂足为 G袁连接 GE袁则 AA 1椅FG袁所以 EF与 AA 1所成的角 B CA B1 C1 O1 A 1 O COB A P B C C1 O B1 D A A 1 D1 C P A B D FGE A E DB C 图 1 图 2 HE D C 30毅 水平面 A C O O1 B BA C C1 B1 D A 1 D1 F E P G B MC N O A D B MC N H A D C B O A D P 217 为蚁EFG =琢袁且 tan 琢= GEFG =GE袁又 GE沂咱0袁1暂袁所以 tan 琢沂咱0袁1暂袁所以 EF与平面 ABC所成的角为蚁FEG=茁袁 且 tan 茁= GFGE = 1GE 沂咱1袁+肄冤袁所以 tan 茁逸tan 琢 淤袁再过 G 作 GH彝BC袁 垂足为 H袁连接 HF袁又易知 FG彝底面 ABC袁BC奂底面 ABC袁所以 BC彝FG袁又 FG疑GH =G袁所以 BC彝平面 GHF袁 所以二面角 F-BC-A 的平面角为蚁GHF=酌袁 且 tan 酌= GFGH = 1GH 袁又 GH沂咱0袁 3姨2 暂袁所以 tan 酌沂 咱 2 3姨3 袁+肄冤袁所以 tan 酌逸tan 琢 于袁又 GE逸GH袁所以 tan 茁臆 tan 酌 盂袁由淤于盂得 tan 琢臆tan 茁臆tan 酌袁又 琢袁茁袁酌沂咱0袁 仔2 冤袁y=tan x在咱0袁仔2 冤上单调递增袁所以 琢臆茁臆酌. 二尧多项选择题 13. AD揖解析铱CD=1袁AC= 2姨 袁SC=2袁SB=SD= 3姨 袁则蚁SCD=60毅袁蚁SCA =45毅袁蚁CSB=30毅. 因为 AB椅CD袁所以直线 SC 与 AB所成的角为蚁SCD=60毅袁A正确曰BD彝SA袁BD彝AC袁 SA疑AC=A袁所以 BD彝平面 SAC袁故 BD彝SC袁B错误曰直线 SC 与平面 ABCD 所成的角为蚁SCA =45毅袁C 错误曰BC彝 BA袁BC彝SA袁SA疑BA =A袁所以 BC彝平面 ASB袁直线 SC与 平面 SAB所成的角为蚁CSB=30毅袁D正确. 14. ABD揖解析铱如图袁由 A 1B1椅DC袁A 1B1= DC袁得四边形 DA 1B1C 为平行四边 形袁可得 DA 1椅B1C袁因为 BC1彝B1C袁 所以直线 BC1 与 DA 1 所成的角为90毅袁A 正确曰因为 A 1B1彝BC1袁BC1彝 B1C袁A 1B1疑B1C=B1袁所以 BC1彝平面 DA 1B1C袁而 CA 1奂平面 DA 1B1C袁所以 BC1彝CA 1袁即直线 BC1 与 CA 1 所成的角为 90毅袁B 正确曰设 A 1C1疑B1D1=O袁连接 BO袁可得 C1O彝平面 BB1D1D袁即蚁C1BO为直线 BC1与平面 BB1D1D所成的角袁因为 sin蚁C1BO= OC1BC1 = 12 袁所以直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角为 30毅袁C 错误曰因为 CC1彝底面 ABCD袁所以蚁C1BC为直线 BC1与平面 ABCD所成的角为45毅袁D正确. 15. ABD揖解析铱因为 AD彝DC袁AD彝DB忆袁且 DC疑DB忆越D袁DC袁 DB忆奂平面 DB忆C袁所以 AD彝平面 DB忆C袁A正确曰当 DB忆彝 DC时袁吟DB忆C的面积最大袁此时三棱锥 A原DB忆C的体积也 最大袁最大值为 13 伊 3姨2 伊 12 伊 12 伊 12 越 3姨48 袁B正确曰当 蚁B忆DC越60毅时袁吟DB忆C是等边三角形袁设 B忆C的中点为 E袁 连接 AE袁由 AB忆=AC知 AE彝B忆C袁则 AE的长即为点 A 到 B忆C的距离袁AE越 AC2-CE2姨 越 15姨4 袁C错误曰当蚁B忆DC越 90毅时袁CD彝DB忆袁CD彝AD袁故 CD彝平面 ADB忆袁则 CD的长 就是点 C到平面 ADB忆的距离袁即 12 袁D正确. 三尧填空题 16. 6姨3 揖解析铱因为 AB彝平面 BCD袁所以 AB彝BD袁AB彝CB袁 所以蚁CBD 就是二面角 D-AB-C 的平面角袁二面角 D- AB-C的余弦值为 BCDB = 2姨3姨 = 6姨3 . 17. 5姨 揖解析铱因为 AA 1彝平面 ABCD袁AC奂平面 ABCD袁所以 AA 1彝AC袁所以直线 A 1C与平面 ABCD所成角即为蚁ACA 1袁 AC= 12+22姨 = 5姨 袁所以 tan蚁ACA 1= 55姨 = 5姨 . 18. 5揖解析铱取 AD 的中点 P袁连接 PM袁 PN袁则 BD椅PM袁AC椅PN袁所以蚁MPN 渊或其补角冤即为异面直线 AC与 BD 所成的角袁蚁MPN越90毅袁PN越 12 AC越 4袁PM越 12 BD越3袁所以 MN越5. 19. 2 3姨 90毅揖解析铱如图 袁分别作 QA彝琢于点 A袁AC彝l于点 C袁PB彝茁 于点 B袁PD彝l于点 D袁连接 CQ袁BD袁 则蚁ACQ越蚁PDB越60毅袁AQ越2 3姨 袁 BP越 3姨 袁所以 AC越PD越2. 又因为 PQ越 AQ2+AP 2姨 越 12+AP 2姨 逸2 3姨 袁当且仅当 AP越0袁即 点 A 与点 P重合时取最小值袁此时 PQ彝平面 琢袁故 PQ与 平面 琢所成的角为 90毅. 四尧解答题 20. 渊1冤证明院连接 CD袁DE袁因为 CD彝平 面 PAB袁AP奂平面 PAB袁BP奂平面 PAB袁所以 CD彝AP袁CD彝BP袁又 CA= CP袁所以 D为 AP中点. 又 E为 BP中 点袁所以 DE椅AB袁又 AB彝BP袁所以 BP彝DE袁CD疑DE=D袁CD袁DE奂平面 CDE袁所以 BP彝平面 CDE. 渊2冤作 DF彝AB 于 F袁连接 CF袁因为 CD彝平面 PAB袁AB奂 平面 PAB袁则 CD彝AB袁又 CD疑DF=D袁CD袁DF奂平面 CDF袁 所以 AB彝平面 CDF袁而 CF奂平面 CDF袁所以 AB彝CF. 又 因为 CB=CP=CA袁所以 D袁F为 AP袁AB 的中点袁所以 DF椅 PB袁又 BP彝AB袁所以 DF彝AB. 则蚁CFD即为二面角 C-AB-P 的平面角. 在 Rt吟CDF中袁cos蚁CFD= DFCF . 设 CB=CA =a袁 AC彝CB袁则 CF= 12 AB= 2姨2 a. 因为 BP= 12 AP袁在 Rt吟ABP 中袁渊2BP冤2-BP2=AB2=渊 2姨 a冤2袁则 BP= 6姨3 a袁DF= 12 BP= 6姨6 a袁cos蚁CFD= 3姨3 . 21. 渊1冤AD椅BC袁故蚁DAP或其补角即为异面直线 AP与 BC所 成的角. 因为 AD彝平面 PDC袁PD奂平面 PDC袁所以 AD彝 PD. 在 Rt吟PDA 中袁AP越 AD2+PD2姨 越 5姨 袁故 cos蚁DAP越 AD AP 越 5姨5 袁所以异面直线 AP与 BC所成角的余弦值为 5姨5 . 渊2冤证明院因为 AD彝平面 PDC袁直线 PD奂平面 PDC袁所以 AD彝PD. 又 BC椅AD袁所以 PD彝BC袁又 PD彝PB袁BC疑PB越 B袁BC袁PB奂平面 PBC袁所以 PD彝平面 PBC. 渊3冤过点 D作 AB的平行线交 BC于 点 F袁连接 PF袁则 DF与平面 PBC所 成的角等于 AB与平面 PBC所成的 角. 因为 PD彝平面 PBC袁故 PF为 DF 在平面 PBC 上的射影袁所以蚁DFP 为直线 DF和平面 PBC 所成的角 . 由于 AD椅BC袁DF椅 AB袁故 BF越AD越1袁CF越BC原BF越2. 又 AD彝DC袁故 BC彝DC. 在 Rt吟DCF中袁可得 DF越 CD2+CF 2姨 越2 5姨 . 在 Rt吟DPF 中袁可得 sin蚁DFP越 PDDF 越 5姨5 袁所以直线 AB与平面 PBC 所成角的正弦值为 5姨5 . F C1A 1 B1 CA B E 琢 酌茁 H G B C B1 C1OD1 D A 1 A C N B D M A P B AD FC P 琢A P C l B D Q 茁 C PA B EF D 218 22. 渊1冤证明院因为吟ABC 是正三角 形袁且蚁ABD=蚁CBD袁AB=BD袁所 以吟ABD艺吟CBD袁所以 AD=CD袁 又吟ACD 是直角三角形 袁所以 蚁ADC=90毅袁取 AC 的中点 O袁连 接 OD袁OB袁则 OD彝AC袁OB彝AC袁 且 OD= 12 AC=1袁OB= 3姨 袁因为 BD=2袁所以 OB2+OD2=BD2袁 即 OD彝OB袁且蚁ODB=仔3 袁又 AC疑OB=O袁且 AC袁OB奂平 面 ABC袁所以 OD彝平面 ABC袁因为 OD奂平面 ACD袁所以 平面 ACD彝平面 ABC. 渊2冤连接 OE袁由渊1冤可得 OD彝AC袁OE彝AC袁所以蚁DOE就 是二面角 D-AC-E 的平面角袁即 tan蚁DOE=4 3姨 袁所以 sin蚁DOE= 4 3姨7 袁cos蚁DOE= 17 袁所以 sin蚁OED= sin渊蚁DOE+蚁ODB冤= 4 3姨7 伊 12 + 17 伊 3姨2 = 5 3姨14 袁在 吟ODE 中袁由正弦定理知袁 ODsin蚁OED = DEsin蚁DOE 袁所以 DE= 85 袁 DEDB = 45 . 渊3冤将四面体 ABCD的侧面 ABD和侧 面 CBD展开成如图所示的平面图形袁 连接 D1D2袁与 AB和 BC分别相交于点 M和 N袁 此时吟DMN周长取得最小 值袁即线段 D1D2的长袁在吟ABD1中袁 设蚁ABD1=琢袁琢沂 0袁仔2蓸 蔀袁由余弦定理 知袁cos 琢= AB2+D1B2-AD122AB窑D1B = 34 袁所以 sin 琢= 7姨4 袁sin 2琢=2sin 琢cos 琢= 3 7姨8 袁cos 2琢=2cos2琢-1= 18 袁所以 cos蚁D1BD2=cos 2琢+ 仔3蓸 蔀 =cos 2琢cos 仔3 -sin 2琢窑 sin 仔3 = 1-3 21姨16 袁由余弦定理知袁D1D22=BD12+BD22-2BD1窑 BD2cos蚁D1BD2= 15+3 21姨2 袁所以 D1D2= 15+3 21姨2姨 = 3+ 21姨2蓸 蔀 2姨 = 3+ 21姨2 袁故吟DMN 周长的最小值为 3+ 21姨2 . 第 15讲 统 计 一尧单项选择题 1. C揖解析铱常用的抽样方法有院简单随机抽样尧分层抽样和系 统抽样袁为了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差 异袁这种方式具有代表性袁用分层抽样法比较合理. 2. B揖解析铱该组的频数为 20伊0.25越5. 3. C揖解析铱初中部女教师的人数为 110伊70%=77曰高中部女教 师的人数为 150伊40%=60袁所以该校女教师的人数为 77+ 60=137. 4. B揖解析铱样本的容量为 66袁在咱31.5袁43.5暂内的样本数为 12垣 7垣3越22袁故总体中大于或等于 31.5 的数据约占 2266 越 13 . 5. B揖解析铱直径落在区间咱5.43袁5.47冤的频率为渊6.25+5冤伊0.02= 0.225袁则被抽取的零件中袁直径落在区间咱5.43袁5.47冤内的个 数为 0.225伊80=18个. 6. B揖解析铱将该组数据按由小到大的顺序排列袁得 4.6袁4.8袁5.1袁 5.3袁5.3袁5.6袁5.6袁5.6袁5.8袁6.4袁6.6袁7.1袁因为 12伊25%越3袁所以 25%分位数为 5.1+5.32 越5.2. 7. B揖解析铱前两组中的频数为 100伊渊0.05垣0.11冤越16. 因为后五 组频数和为 62袁所以前三组频数和为 38袁所以第三组频数 为 38原16越22. 又最大频率为 0.32袁故第四组频数为 0.32伊 100越32. 所以 a越22垣32越54. 8. B揖解析铱A项院E渊x冤=1伊0.1+2伊0.4+3伊0.4+4伊0.1=2.5袁所以 D渊x冤= 渊1 -2.5冤2伊0.1 +渊2 -2.5冤2伊0.4 +渊3 -2.5冤2伊0.4 +渊4 -2.5冤2伊0.1 = 0.65曰B项院E渊x冤=2.5袁D渊x冤=1.85曰C项院E渊x冤=2.5袁D渊x冤=1.05曰 D项院E渊x冤=2.5袁D渊x冤=1.45. 9. C揖解析铱任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增 长袁所以数据 10x1袁10x2袁噎袁10xn的方差为 100伊0.01=1.10. B揖解析铱由题意知数据挖掘的平均薪资最高. 数据开发的 平均薪资约为 1.5伊8%+2.5伊25%+3.5伊32%+4.5伊35%=3.44曰 同理可得数据分析的平均薪资约为 3.01曰数据产品的平均 薪资约为 3.54袁故数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析. 11. B揖解析铱若删除的数据既不是最大值袁也不是最小值袁则新 数据的极差等于原数据的极差袁A错误曰假设原来数据为 1袁2袁3袁4袁5袁若删除的数据是原来数据的中位数 3袁则新数 据的中位数等于 3袁B正确曰若x =y 袁则删除的数据恰好为 原来数据的平均数袁新数据的方差一定大于原数据方差袁C 错误曰假设原来数据为 1袁2袁3袁4袁5袁若x =y 袁新数据为 1袁2袁 4袁5袁原来数据的第 40百分位数 2.5袁新数据的第 40 百分 位数为 2袁D错误. 12. C揖解析铱样本的平均值为x = 3a+7b10 袁所以方差为 s2=咱渊x1- x 冤2+渊x2-x 冤2+渊x3-x 冤2+渊x4-x 冤2+噎+渊x10-x 冤2暂衣10=咱渊x1-a+a- x 冤2+渊x2-a+a-x 冤2+渊x3-a+a-x 冤2+渊x4-b+b-x 冤2+噎+渊x10-b+b- x 冤2暂衣10袁而渊x1-a+a-x 冤2+渊x2-a+a-x 冤2+渊x3-a+a-x 冤2=渊x1-a冤2+ 渊a-x 冤2+渊x2-a冤2+渊a-x 冤2+渊x3-a冤2+渊a-x 冤2+2 渊a-x 冤咱渊x1-a冤+ 渊x2-a冤+渊x3-a冤暂=3s12+3渊a-x 冤2+2渊a-x 冤渊x1+x2+x3-3a冤=3s12+ 3 a- 3a+7b10蓸 蔀 2袁同理可得袁渊x4-b+b-x 冤2+噎+渊x10-b+b-x 冤2= 7s22+7 b- 3a+7b10蓸 蔀 2 袁所以 s2= 310 s12+ a- 3a+7b10蓸 蔀 2蓘 蓡 + 710窑 s22+ b- 3a+7b10蓸 蔀 2蓘 蓡 . 二尧多项选择题 13. ACD揖解析铱平均数不大于最大值袁不小于最小值袁B错误. 14. ABC揖解析铱成绩在咱70袁80冤内的频率最高袁因此考生人数最 多袁A 正确曰成绩在咱40袁60冤内的频率为 10伊渊0.01垣0.015冤越 0.25袁因此不及格的人数为 4 000伊0.25越1 000渊人冤袁B正确曰平 均分约为 45伊0.1垣55伊0.15垣65伊0.2垣75伊0.3垣85伊0.15垣95伊0.1越 70.5渊分冤袁C 正确曰因为成绩在咱40袁70冤内的频率为 10伊 渊0.01垣0.015垣0.02冤越0.45袁在咱70袁80冤内的频率为 0.3袁所以 中位数为 70垣10伊 0.5-0.450.3 抑71.67袁D错误. 15. ABD揖解析铱设 10个样本数据从小到大排列分别为 x1袁x2袁 x3袁噎袁x10袁则剩下的 8个样本数据为 x2袁x3袁噎袁x9. 原样本数 据的中位数为 x5+x62 袁剩下的 8个样本数据中位数为 x5+x62 袁 A正确曰x1 = 18 渊x2+x3+噎+x9冤=x2 = 12 渊x1+x10冤袁故x = 110 渊x1+ x2+x3+噎+x9+x10冤=x1 袁B正确曰因为 8伊 14 =2袁故剩下 8个数 据的下四分位数为 12 渊x3+x4冤袁又 10伊 14 =2.5袁故原样本数 据的下四分位数为 x3袁又 x4逸x3袁故 12 渊x3+x4冤逸x3袁C错误曰 B D1 D2 琢 琢A C 图 2 M N C A B E D O 图 1 219