第11讲 复数-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

第 11讲 复 数 一尧单项选择题 1. 若复数渊a2-3a+2冤+渊a-1冤i是纯虚数袁i为虚数单位袁则实数 a的值为 渊 冤 A. 1 B. 2 C. 1或 2 D. -1 2. 在复平面内袁渊1+3i冤渊3-i冤对应的点位于 渊 冤 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在复平面内袁复数 6+5i袁-2+3i渊i为虚数单位冤对应的点分别为 A袁B. 若 C为线段 A B的中点袁 则点 C对应的复数是 渊 冤 A. 4+8i B. 8+2i C. 2+4i D. 4+i 4. 设 z= 2姨 i袁则 z窑z = 渊 冤 A. -i B. 1 C. -1 D. 2 5. 复数 11-3i 渊i为虚数单位冤的虚部是 渊 冤 A. - 310 B. - 110 C. 110 D. 310 6. 已知复数 z= 3姨 +i渊1- 3姨 i冤2 袁i为虚数单位袁则 z = 渊 冤 A. 14 B. 12 C. 1 D. 2 7. z1袁z2都是复数袁则下列命题中正确的是 渊 冤 A. 若 z12+z22=0袁则 z1=z2=0 B. z1 2=z12 C. z1窑z2 = z1 窑 z2 D. z1 <1袁则-1<z1<1 8. 设复数 z 满足关系式 z+ z =2+i袁i为虚数单位袁则 z= 渊 冤 A. - 34 +i B. 34 -i C. - 34 -i D. 34 +i 9. 已知复数 z1=1+i是关于 x的方程 x2+px+q=0渊p袁q沂R冤的一个根袁若复数 z 满足 z-z1 = p-q 袁 复数 z 在复平面内对应的点 Z的集合为图形 M袁则 M围成的面积为 渊 冤 A. 仔 B. 4仔 C. 16仔 D. 25仔 10. 设 z1袁z2是复数袁则下列命题中为假命题的是 渊 冤 A. 若 z1-z2 =0袁则z1 =z2 B. 若 z1=z2 袁则z1 =z2 C. 若 z1 = z2 袁则 z1窑z1 =z2窑z2 D. 若 z1 = z2 袁则 z12=z22 11. 已知复数 z1袁z2袁下列说法正确的有 渊 冤 A. 若 z12+z22=0袁则 z1=z2=0 B. 若 z=1+2i是关于 x的方程 x2+px+q=0渊p袁q沂R冤的一个根袁则 p+q=7 C. 若 z1z1 =z2 z2 袁则 z1 窑 z2 D. 若 z1-z2 = z1 袁则 z2=0或 z2=2z1 12. 设吟ABC的三个顶点为复平面上的三点 z1袁z2袁z3袁满足 z1z2z3=0袁z1+z2+z3=8+2i袁z1z2+z2z3+z1z3=15+ 10i袁则吟ABC内心的复数坐标 z的虚部所在区间是 渊 冤 A. 渊0.5袁1冤 B. 渊0袁0.5冤 C. 渊1袁2冤 D. A尧B尧C都不对 102 二尧多项选择题 13. 下列关于复数 z=1- 3姨 i渊i为虚数单位冤的说法中正确的有 渊 冤 A. 复数 z 的虚部为 3姨 B. 复数 z 的共轭复数是 1+ 3姨 i C. 复数 z 的模是 4 D. 复数 z 对应的点在第四象限 14. i为虚数单位袁则下列命题正确的是 渊 冤 A. 3+2i>1+i B. i+i2+i3+i4=0 C. 若复数 z 满足 z=-3+4i袁则 z 对应的点在第四象限 D. 野a=0冶是野复数 z=a+bi渊a袁b沂R冤为纯虚数冶的必要不充分条件 15. 已知复数 z袁w均不为 0袁则 渊 冤 A. z2= z 2 B. z z = z2z 2 C. z-w =z -w D. z w = zw 三尧填空题 16. 已知渊a-i冤i=1+2i渊其中 i为虚数单位冤袁a沂R袁则 a= 曰 a-i = . 17. i是虚数单位袁复数 9+2i2+i = . 18. 已知虚数 z袁其实部为 1袁且 z+ 2z =m渊m沂R冤袁则实数 m为 . 19. 已知 z1袁z2沂C且 z1=iz2 渊i为虚数单位冤袁满足 z1-1 =1袁则 z1-z2 的取值范围为 . 四尧解答题 20. 已知复数 z=渊3m2-2m-1冤+渊6m2+5m+1冤i袁m沂R袁i为虚数单位. 渊1冤若复数 z 为纯虚数袁求 m的值. 渊2冤若复数 z 在复平面上对应的点 Z在第一象限袁求 m的取值范围. 21. 渊1冤计算 2-3i1+i + 2+3i1-i 渊i为虚数单位冤. 渊2冤已知复数 z 的共轭复数是z 袁且 z窑z -3i=1+3i窑z 袁i为虚数单位袁求 z. 103 22. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入袁经过达朗贝尔尧棣莫弗尧欧拉尧高斯等人 的工作袁此概念逐渐为数学家所接受. 形如 z=a+bi渊a袁b沂R冤的数称为复数的代数形式. 而任 何一个复数 z=a+bi都可以表示成 r渊cos 兹+isin 兹冤的形式袁即 a=rcos 兹袁b=rsin 兹袁嗓 其中 r为复数 z 的模袁兹 叫做复数 z 的辐角袁我们规定 0臆兹<2仔范围内的辐角 兹的值为辐角的主值袁记作 arg z. 复数 z=r渊cos 兹+isin 兹冤叫做复数的三角形式. 由复数的三角形式可得出袁若OZ1 =r1渊cos 兹1+isin 兹1冤袁 OZ2 =r2渊cos 兹2+isin 兹2冤袁则 r1渊cos 兹1+isin 兹1冤窑r2渊cos 兹2+isin 兹2冤=r1r2咱cos渊兹1+兹2冤+isin渊兹1+兹2冤暂. 其 几何意义是把向量OZ1绕点 O按逆时针方向旋转角 兹2渊如果 兹2<0袁就要把OZ1绕点 O按顺时 针方向旋转角 兹2 冤袁再把它的模变为原来的 r2倍. 渊1冤试将 z=1- 3姨 i写成三角形式. 渊2冤设复数 z1=2a- 3姨 i袁z2=2b+i袁z3=a+bi袁且 z3 =1. 若复数 z1袁z2在复平面上对应的点分别为 A袁B袁且 O为复平面的坐标原点. 向量OB逆时针旋转 90毅后与向量OA 重合袁求实数 a袁b 的值. 渊3冤已知单位圆以坐标原点 O为圆心袁点 A 为该圆上一动点渊纵坐标大于 0冤袁点 P渊2袁0冤袁以 PA 为边作等边吟PAQ袁且 Q在 AP上方. 求线段 OQ长度的最大值. 104 13. BCD揖解析铱若 b=0袁则 a袁c不一定平行袁A错误曰因为 1伊6屹 -3伊2袁即 a袁b不共线袁故 a袁b可作为平面向量的基底袁B正 确曰a在 b上的投影向量为 a窑bb 2窑b= 45窑渊4袁3冤= 165 袁 125蓸 蔀袁 C正确曰 m-n = m2+n2-2m窑n姨 = 7姨 袁D正确. 14. AC揖解析铱 OP1 = cos2琢+sin2琢姨 =1袁 OP2 = cos2茁+渊-sin 茁冤2姨 =1袁A正确曰 AP1 = 渊cos 琢-1冤2+sin2琢姨 = cos2琢+sin2琢-2cos 琢+1姨 = 2-2cos 琢姨 袁 AP2 = 渊cos 茁-1冤2+渊-sin 茁冤2姨 = cos2茁+sin2茁-2cos 茁+1姨 = 2-2cos 茁姨 袁B错误曰OA窑OP3 =1伊cos渊琢+茁冤+0伊sin渊琢+茁冤= cos渊琢+茁冤袁OP1窑OP2 =cos 琢cos 茁-sin 琢sin 茁=cos渊琢+茁冤袁C正确曰 OA窑OP1 =1伊cos 琢+0伊sin 琢=cos 琢袁OP2窑OP3 =cos 茁窑cos渊琢+ 茁冤-sin 茁sin渊琢+茁冤=cos咱茁+渊琢+茁冤暂=cos渊琢+2茁冤袁D错误. 15. ABD揖解析铱因为AE = 13 EB 袁所以AE = 14 AB . 又因为 D是 边 AC的三等分点且靠近点 C袁所以AD = 23 AC 袁所以DE = DA +AE =- 23 AC + 14 AB 袁A正确曰设CO =姿CE 袁则CO =姿CA + 姿4 AB =3姿CD + 姿4 渊AC +CB 冤= 9姿4 CD + 姿4 CB 袁因为 B袁O袁 D三点共线袁所以 9姿4 + 姿4 =1袁解得 姿= 25 袁故 S吟BOC= 25 S吟BCE= 25 伊 34 S吟ABC= 310 伊 3姨4 伊42= 6 3姨5 袁B正确曰因为OE = 34窑 OA + 14 OB 袁所以 2OE = 32 OA + 12窑 OB 袁 所以 32 OA + 12 OB +3OC = 2OE +3OC =0袁C 错误曰以线段 BC 的中点为坐标原点袁BC所在直线为x 轴袁 线段 BC的垂直平分线为 y轴袁 建立平面直角坐标系袁则点 A渊0袁2 3姨 冤袁B渊-2袁0冤袁C渊2袁0冤袁 设点 P渊x袁y冤袁则PA =渊-x袁2 3姨 -y冤袁PB =渊-2-x袁-y冤袁PC = 渊2-x袁-y冤袁则渊PA +PB 冤窑PC =2 x- 12蓸 蔀 2 +2 y- 3姨2蓸 蔀 2 - 6逸-6袁当且仅当 x= 12 袁y= 3姨2 时取等号袁所以最小值为 -6袁D正确. 三尧填空题 16. 15揖解析铱由 a椅b袁可得 2k-5伊6=0袁解得 k=15. 17援 2 3姨 揖解析铱 a垣2b 越 渊a垣2b冤2姨 越 a2+4a窑b+4b2姨 = 22+4伊2伊1伊cos 60毅+4伊12姨 =2 3姨 援 18援 23 AB + 13 AC 揖解析铱AD =AB +BD =AB + 13 BC =AB + 13窑 渊BA +AC 冤= 23 AB + 13 AC . 19. 43 - 518 揖解析铱BE =BA +AD +DE = BA +BC + 23 DC =BA +BC - 23 CD =BA + BC - 23 BA = 13 BA +BC 袁所以 姿= 13 袁滋= 1袁姿+滋= 43 袁如图所示袁设BF =mBE 渊0臆 m臆1冤袁则AF =AB +BF =-BA +mBE =-BA +m 13 BA +BC蓸 蔀= 13 m-1蓸 蔀BA +mBC 袁因为 G 为 AF中点袁所以DG =DA + AG =- BC + 12 AF =- BC + 12 窑 13 m-1蓸 蔀BA +mBC蓘 蓡 = 16 m- 12蓸 蔀BA + 12 m-1蓸 蔀 BC 袁因为正方形 ABCD 的边长 为 1袁所以BA 2=BC 2=1袁BA窑BC =0袁所以AF窑DG = 13 m-1蓸 蔀BA +mBC蓘 蓡窑 16 m- 12蓸 蔀BA + 12 m-1蓸 蔀BC蓘 蓡 = 59 m2- 43 m+ 12 袁对于函数 y= 59 m2- 43 m+ 12 袁对称轴为 m= 65 袁所以函数 y= 59 m2- 43 m+ 12 在咱0袁1暂上单调递减袁所以 当 m=1时袁函数 y取得最小值- 518 袁即AF窑DG 的最小值 为- 518 . 四尧解答题 20援 渊1冤渊2a原3b冤窑渊2a垣b冤越4 a 2原4a窑b原3 b 2越64原4a窑b原27越61袁 a窑b越原6袁cos 兹越 a窑ba b 越 -64伊3 越原 12 援 又 0臆兹臆仔袁所以 兹越 2仔3 援 渊2冤 a垣b 2越渊a垣b冤2越 a 2垣2a窑b垣 b 2越13袁所以 a垣b 越 13姨 援 渊3冤因为AB与BC的夹角 兹越 2仔3 袁蚁ABC越仔原 2仔3 越 仔3 援 所 以 S吟ABC越 12 AB BC 窑sin蚁ABC越3 3姨 援 21. 渊1冤因为 b彝c袁所以 b窑c=0袁即 b窑咱姿a+渊1-姿冤b暂=0袁所以 姿a窑 b+渊1-姿冤b2=0袁因为 a窑b= a 窑 b 窑cos 135毅=-1袁所以-姿+ 2渊1-姿冤=0袁解得 姿= 23 . 渊2冤 c 2= 姿a+渊1-姿冤b 2=姿2a2+2姿渊1-姿冤a窑b+渊1-姿冤2b2=5姿2- 6姿+2=5 姿- 35蓸 蔀 2 + 15 袁故当 姿= 35 时袁 c 最小为 5姨5 袁此 时 c= 35 a+ 25 b袁则 b窑c=b窑 35 a+ 25 b蓸 蔀= 35 a窑b+ 25 b2= 15 袁 又 c 窑 b = 10姨5 袁所以 cos掖c袁b业= c窑bc 窑 b = 10姨10 袁 所以向量 b与 c夹角的余弦值为 10姨10 . 22. 渊1冤当 兹=90毅时袁e2=渊0袁1冤袁所以AB窑e2=4伊0+5伊1=5袁 AB = 42+52姨 = 41姨 袁 e2 =1袁所以 cos掖AB 袁e2业= AB窑e2 AB 窑 e2 = 5 41姨41 . 渊2冤淤 a = e1 且掖a袁e1业=掖a袁e2业=掖e1袁e2业袁可得 兹=120毅袁a=-渊e1+e2冤=渊-1袁-1冤.于向量 a绕其起点逆时针旋转 90毅得 到向量 b袁设OB =b袁以OB 为对角线袁 OM袁ON为邻边作平行四边形 OMBN袁 如图所示袁因为蚁NOB=蚁MOB=30毅袁 OB =1袁所以 OM=ON= 3姨3 袁所以 B点的坐标为 3姨3 袁- 3姨3蓸 蔀袁即 b= 3姨3 袁- 3姨3蓸 蔀 . 第 11讲 复 数 一尧单项选择题 1. B揖解析铱由已知得 a2-3a+2=0袁a-1屹0袁解得 a=2. 2. A揖解析铱渊1+3i冤渊3-i冤=3-i+9i+3=6+8i袁则在复平面内袁渊1+3i冤窑 渊3-i冤对应的点的坐标为渊6袁8冤袁位于第一象限. 3. C揖解析铱由已知得 A渊6袁5冤袁B渊-2袁3冤袁C渊2袁4冤袁点 C对应的复 数是 2+4i. BA G F CED b e1 a B M NO e2 xCB P A y 211 4. D揖解析铱z= 2姨 i袁则 z窑z = 2姨 i窑渊- 2姨 i冤=2. 5. D揖解析铱因为 11-3i = 1+3i渊1-3i冤渊1+3i冤 = 110 + 310 i袁所以该复数 的虚部为 310 . 6. B揖解析铱因为 z= 3姨 +i-2-2 3姨 i = - 3姨 +i4 袁所以 z = - 3姨4蓸 蔀 2 + 14蓸 蔀 2姨 = 12 . 7. C揖解析铱取 z1=i袁z2=1袁有 z12+z22=-1+1=0袁A 错误曰设 z1=a+bi渊a袁b沂R冤袁当 a袁b 均不为 0时袁z12=渊a+bi冤2=a2-b2+2abi为虚 数袁而 z1 2=a2+b2为实数袁所以 z12= z1 2不成立袁B错误曰取 z1=a+bi袁z2=c +di渊a袁b袁c袁d沂R冤袁有 z1窑z2=ac -bd+渊ad+bc冤i袁 z1窑z2 = 渊ac-bd冤2+渊ad+bc冤2姨 = a2c2+a2d2+b2c2+b2d2姨 袁而 z1 窑 z2 = a2+b2姨 窑 c2+d2姨 = a2c2+a2d2+b2c2+b2d2姨 袁即 z1窑z2 = z1 窑 z2 袁C正确曰复数的模可以比较大小袁复数一 般不可比较大小袁只有复数是实数时才可比较大小袁D错误. 8. D揖解析铱设 z=a+bi渊a袁b沂R冤袁因为 a+bi+ a2+b2姨 =2+i袁由复 数相等可得 a+ a 2+b2姨 =2袁 b=员袁嗓 所以 a= 34 袁b=员袁嗓 z= 34 +i. 9. C揖解析铱z1=1+i是关于 x的方程 x2+px+q=0渊p袁q沂R冤的一个 根袁渊1+i冤2+p渊1+i冤+q=0袁化简得渊p+q冤+渊2+p冤i=0袁所以 p+q=0袁2+p=0袁嗓 解得 p=-2袁q=2袁所以 z-z1 = p-q = -2-2 =4袁由复数减 法的几何意义袁 z-z1 表示复数 z 对应的点和 z1=1+i表示的 点之间的距离袁而 z1=1+i表示点渊1袁1冤袁即复数 z 在复平面内 对应的点 Z的集合为以点渊1袁1冤为圆心袁4为半径的圆袁则 M 围成的面积为 S=仔伊42=16仔. 10. D揖解析铱设 z1=a+bi渊a袁b沂R冤袁z2=c+di渊c袁d沂R冤袁若 z1-z2 =0袁则 z1-z2=渊a-c冤+渊b -d冤i=0袁得 a=c袁b =d袁A 正确曰若 z1= z2 袁则 z1袁z2互为共轭复数袁B正确曰若 z1 = z2 袁则 a2+b2= c2+d2袁C正确曰若 z1=1袁z2=i袁则 z1 = z2 袁而 z12=1袁z22=-1袁D 错误. 11. C揖解析铱令 z1=1袁z2=i袁显然 z12+z22=1+i2=0袁但 z1袁z2都不等于0袁A错误曰由于一元二次方程的虚根是以共轭复数的形式 成对出现的袁所以若 z=1+2i是关于 x的方程 x2+px+q=0渊p袁 q沂R冤的一个根袁则z =1-2i也是方程的根袁从而由韦达定理 有 p+q=-渊z+z 冤+z窑z =-渊1+2i+1-2i冤+渊1+2i冤渊1-2i冤=-2+5=3袁 B 错误曰设 zk=xk+yki渊k=1袁2冤袁而 z1z1 =渊x1+y1i冤渊x1-y1i冤=x12+ y12= z1 2=z2z2 =渊x2+y2i冤渊x2-y2i冤=x22+y22= z2 2袁所以 z1 = z2 袁C正确曰取 z1=1袁z2=1+ 3姨2 + 12 i袁显然有 z1-z2 =1= z1 袁但不满足 z2=0或 z2=2z1袁D错误.12. A揖解析铱由对称性及 z1z2z3=0袁不妨 设 z3=0袁则 z1+z2=8+2i袁z1z2=15+10i. 由韦达定理知 z1袁z2是方程 z2-渊8+2i冤z+15+10i=0的两个根袁则方程 z2-渊8+2i冤z+15+10i=0的两根为 5袁 3+2i. 不妨设 z1=5袁z2=3+2i袁则吟ABC在复平面上的顶点坐 标为 A 渊5袁0冤袁B渊3袁2冤袁C渊0袁0冤袁则 a=BC= 13姨 袁b=AC=5袁 c=AB=2 2姨 袁设三角形内心为 I渊x1袁y1冤袁由内心的性质 aIA + bIB +cIC =0知袁 13姨 渊5-x1袁-y1冤+5渊3-x1袁2-y1冤+2 2姨 渊-x1袁 -y1冤=渊0袁0冤袁所以- 13姨 y1+10-5y1-2 2姨 y1=0袁解得 y1=10 5+2 2姨 + 13姨 袁又 10=5+2+3<5+2 2姨 + 13姨 <5+4+4<20袁 所以 y1沂渊0.5袁1冤. 二尧多项选择题 13. BD揖解析铱复数 z 的虚部为- 3姨 袁A 错误曰复数 z 的模为 z = 12+渊- 3姨 冤2姨 =2袁C错误. 14. BD揖解析铱虚数不能比较大小袁A 错误曰复数 z=-3+4i对应 的点渊-3袁4冤在第二象限袁C错误. 15. BCD揖解析铱因为复数 z袁w均不为 0袁不妨令 z=i袁则 z2=-1袁 z 2=1袁z2屹 z 2袁A错误曰 z z = z窑z z窑z = z2 z 2 袁B正确曰由复数 的运算性质袁可得z-w =z -w 袁C 正确曰 zw 2= zw窑 z w蓸 蔀 = z窑z w窑w = z 2 w 2 袁故 z w = zw 袁D正确. 三尧填空题 16. 2 缘姨 揖解析铱渊a原蚤冤蚤越员垣圆蚤袁则 a越圆曰 a原蚤 越 圆原蚤 越 缘姨 . 17. 源原蚤揖解析铱 怨垣圆蚤2垣蚤 越 渊怨垣圆蚤冤渊2原蚤冤渊2垣蚤冤渊2原蚤冤 越 员愿原怨蚤垣源蚤原圆蚤 2 缘 越源原蚤. 18. 2揖解析铱设 z=1+bi渊b屹0冤袁所以 z+ 2z =1+bi+ 21+bi =1+bi+ 2窑渊1-bi冤1+b2 =1+ 21+b2 + b- 2b1+b2蓸 蔀 i袁因为 m沂R袁所以 b- 2b1+b2 = 0袁解得 b=依1袁所以 m=2. 19. 咱0袁2+ 2姨 暂揖解析铱设 z1-1=cos 兹+isin 兹袁则 z1=1+cos 兹+isin 兹袁 因为 z1=i窑z2 袁所以 z2=sin 兹+i渊cos 兹+1冤袁所以 z1-z2 = 渊cos 兹-sin 兹+1冤2+渊sin 兹-cos 兹-1冤2姨 = 2 2姨 sin 兹-仔4蓸 蔀-1蓘 蓡 2姨 = 2姨 2姨 sin 兹-仔4蓸 蔀-1 袁显 然当 sin 兹-仔4蓸 蔀= 2姨2 时袁原式取最小值 0袁当 sin 兹-仔4蓸 蔀= -1时袁原式取最大值 2+ 2姨 袁故 z1-z2 的取值范围为咱0袁2+ 2姨 暂. 四尧解答题 20. 渊1冤由 猿皂2原圆皂原员越园袁6皂2+5皂+员屹园袁解得 皂=1. 渊2冤由 猿皂2原圆皂原员跃园袁远皂2垣缘皂垣员跃园袁嗓 解得 皂跃员或 皂约原 12 . 21. 渊1冤 2-3蚤1+蚤 + 2+3蚤1-蚤 = 渊2-3蚤冤渊1-蚤冤+渊2+3蚤冤渊1+蚤冤渊1+蚤冤渊1-蚤冤 = -22 =-1. 渊2冤设 z=a+b蚤渊a袁b沂R冤袁则z =a-b蚤袁有渊a+b蚤冤渊a-b蚤冤-3蚤=1+ 3蚤窑渊a-b蚤冤袁即 a2+b2-3蚤=1+3b+3a蚤袁所以 3a=-3袁a2+b2=1+3b袁嗓 解得 a= -1袁b=3或 a=-1袁b=0袁故 z=-1+3蚤或 z=-1. 22. 渊1冤由于 z=1- 3姨 i袁故 z =2袁所以 z=2 12 - 3姨2 i蓸 蔀 袁所 以 cos 兹= 12 袁sin 兹=- 3姨2 袁因为 0臆兹<2仔袁所以 兹= 5仔3 袁所 以 z=2 cos 5仔3 +isin 5仔3蓸 蔀 . 渊2冤由材料一复数的乘法几何意义可知袁复数 z2乘以一个 模长为 1袁辐角为 90毅的复数 z0袁即为复数 z1. 故 z2窑z0=渊2b+ i冤窑i=z1=2a- 3姨 i袁故 2b=- 3姨 袁-1=2a袁嗓 所以 a=- 12 袁b=- 3姨2 . 渊3冤设 A渊cos 兹袁sin 兹冤袁兹沂渊0袁仔冤袁PA 所表示的复数为 z4袁PQ所表示的复 数为 z5袁则 z4=cos 兹-2+isin 兹袁z5=z4窑 cos -仔3蓸 蔀+isin -仔3蓸 蔀蓘 蓡=cos 兹-仔3蓸 蔀- 1+i sin 兹-仔3蓸 蔀+ 3姨蓘 蓡袁故 xPO A Qy E C F A IG B a c b 212 Q cos 兹-仔3蓸 蔀+1袁sin 兹-仔3蓸 蔀+ 3姨蓸 蔀袁得 OQ = cos 兹-仔3蓸 蔀+1蓘 蓡 2 + sin 兹-仔3蓸 蔀+ 3姨蓘 蓡 2姨 = 5+4sin 兹-仔6蓸 蔀姨 袁所以当 sin 兹-仔6蓸 蔀=1时袁 OQ 取得最大 值 3袁故线段 OQ长度的最大值为 3. 第 12讲 空间几何体 一尧单项选择题 1. C揖解析铱正方体的对角线就是球的直径袁所以 2R = 3姨 伊 2 3姨 =6袁所以 R=3袁S=4仔R2=36仔. 2. D揖解析铱由直观图可知等腰梯形 A 忆B忆C忆D忆的面积 S忆= 12 伊 渊2+2+2 2姨 冤伊 2姨 =2 2姨 +2袁所以该平面图形的面积 S= 2 2姨 S忆越8垣4 2姨 援 3. B揖解析铱设圆锥的底面半径为 r袁圆锥的母线长为 3+r2姨 袁圆 柱和圆锥的侧面积相等袁可得 2 3姨 仔r=仔r伊 3+r2姨 袁解得 r=3袁圆锥的体积为 13 伊仔伊32伊 3姨 =3 3姨 仔. 4. B揖解析铱正四棱柱的八个顶点都在一个半径为 1的球 O的 球面上袁O到该正四棱柱侧面的距离为 12 袁所以正四棱柱的 底面边长为 1袁设正四棱柱的高为 h袁则正四棱柱的体对角 线即为其外接球的直径袁2R=2袁所以渊2R冤2=12+12+h2袁所以 h= 2姨 袁所以该正四棱柱的体积为 1伊1伊 2姨 = 2姨 . 5. D揖解析铱圆台的侧面展开图是一扇环袁设该扇环的圆心角为 琢袁则其面积为 12 伊琢伊42- 12 伊琢伊22=3仔袁得 琢=仔2 袁所以扇环的 两个圆弧长分别为 仔和 2仔袁设圆台的上尧下底半径分别为 r1袁r2袁圆台的高为 h袁则 2仔r1=仔袁2仔r2=2仔袁所以 r1= 12 袁r2=1袁又 圆台的母线长 l=4-2=2袁所以 h= 圆2- 1- 12蓸 蔀 2姨 = 15姨2 袁所 以圆台的体积 V= 13 伊仔 12蓸 蔀 2+12+ 12 伊1蓘 蓡伊 15姨2 = 7 15姨24 仔. 6. C揖解析铱作出正四棱锥的图象袁如 图袁底面 ABCD 是边长为 a的正 方形袁顶点 P在底面的投影为 O袁 OP=h袁H 为 BC 的中点袁PH 为侧 面吟PBC的高袁记为 h忆袁由已知得 h2= 12 ah忆=渊h忆冤2- a2蓸 蔀 2 袁则 1- a24h忆2 = 12窑ah忆 袁即 14 a h忆蓸 蔀 2 + 12窑 ah忆蓸 蔀-1=0袁解得 ah忆 = 5姨 -1渊- 5姨 - 1舍去冤. 7. B揖解析铱在三棱锥 P-ABC中袁线段 PC上的点 M 满足 PM= 13 PC袁线段 PB上的点 N满足 PN= 23 PB袁所以 S吟PMA= 13窑S吟PAC袁 设 N到平面 PAC的距离为 d1袁B到平面 PAC的距离为 d2袁 则 d1= 23 d2袁则三棱锥 P-AMN的体积为 V 三棱锥 P-AMN= V 三棱锥 N-APM= 13 SPAM窑d1= 13 伊 13 S吟PAC伊 23 d2= 29 V 三棱锥 B-PAC. 故 三棱锥 P-AMN和三棱锥 P-ABC的体积之比为 29 . 8. B揖解析铱设该圆锥的高为 h袁即 PO=h袁 取 AB的中点 E袁连接 PE袁OE袁由于 OA= OB= 3姨 袁蚁AOB=120毅袁故 AB= OA 2+OB2-2OA窑OB窑cos 120毅姨 =3袁同 时 OE=OA伊sin 30毅= 3姨2 袁吟PAB 中袁 PA=PB袁E为 AB的中点袁则有 PE彝AB袁 又 12 PE窑AB= 9 3姨4 袁可得 PE= 3 3姨2 袁而 PE= h2+ 34姨 袁则 有 h2+ 34 = 274 袁解得 h= 6姨 袁故该圆锥的体积 V = 13 仔伊 渊 3姨 冤2h= 6姨 仔.9. C揖解析铱蛋黄近似看成一个棱长为 9 cm 的正四面体的内 切球袁设内切球的球心为 O袁半径为 r袁则四面体的体积等于 以 O为顶点袁分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和袁 又四面体每个面的面积 S= 81 3姨4 袁所以正四面体的体积 V = 43 Sr袁又正四面体的高 h= 92- 3 3姨蓸 蔀 2姨 =3 6姨 袁可得 V = 13 Sh= 243 2姨4 袁r= 3V4S = 3 6姨4 袁可包裹的蛋黄的最大 体积为 43 仔 3 6姨4蓸 蔀 3 = 27 6姨8 仔抑26. 10. C揖解析铱底面放三个钢球袁上再落一个钢球时体积最小. 于 是把钢球的球心连接袁则又可得到一个棱长为 2的小正四 面体袁则不难求出这个小正四面体的高为 2 6姨3 袁正四面 体的中心到底面的距离是高的 14 袁且小正四面体的中心和 正四面体容器的中心应该是重合的袁所以小正四面体的中 心到底面的距离是 2 6姨3 伊 14 = 6姨6 袁正四面体的中心到 底面的距离是 6姨6 +1渊即小钢球的半径冤袁所以正四面体 的高的最小值为 6姨6 +1蓸 蔀伊4=4+ 2 6姨3 . 11. D揖解析铱如图 1所示袁设 B1D与平 面 ACD1相交于点 E袁连接 BD 交 AC于 O袁连接 OD1袁则交 B1D于点 E袁因为 BB1彝AC袁AC彝BD袁所以 AC彝平面 BDD1B1袁则 AC彝B1D袁 同理可得 AD1彝B1D袁所以 B1D彝 平面 ACD1袁所以 B1D彝PE袁所以 PE 是吟PB1D的高袁由 S吟PB1D= 12 B1D窑 PE= 3 3姨2 得 PE=1袁所以点 P的轨迹是以 E为圆心袁1为 半径的圆袁又 B1D彝平面 AD1P袁所以 DE彝平面 AD1P袁所以 V D-D1AP= 13 S吟AD1P窑DE袁因为 DE为常数袁所以当 S吟AD1P最大时袁 V D-D1AP取得最大值袁设 P到 AD1 的距离为 h袁所以 S吟AD1P=12 AD1窑h. 在四边形 DBB1D1中袁如图 2 所示袁D1O彝DB1袁 D1O= 3 6姨2 袁所以 OE= 6姨2 袁 D1E= 6姨 袁DE= 3姨 袁 D1ED1O = 23 袁 所以 E 到 AD1 的距离是 O 到 AD1 距离的 23 袁则 h的最大值为 B H C O A D P A EB O P B C C1 B1 OA E D A 1 D1 图 1 O BD E B1D1 图 2 213